Страница 281 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

79. Расстояние, равное 3,6 км, проплыли по течению за 30 мин, а против течения за 40 мин. Определите скорость течения реки. За сколько часов это же расстояние проплывут плоты?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние, равное 3,6 км.
• $t_{по}$ – время движения по течению, равное 30 мин.
• $t_{против}$ – время движения против течения, равное 40 мин.
• $v_{соб}$ – собственная скорость пловца/лодки.
• $v_{теч}$ – скорость течения реки.
• $v_{по}$ – скорость по течению, $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$.
• $v_{против}$ – скорость против течения, $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$.

1. Сначала переведем время из минут в часы, чтобы все единицы были согласованы (расстояние в км, скорость будет в км/ч).

$t_{по} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0,5 \text{ ч}$

$t_{против} = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$

2. Найдем скорость движения по течению и против течения, используя формулу $v = \frac{S}{t}$.

Скорость по течению:

$v_{по} = \frac{S}{t_{по}} = \frac{3,6 \text{ км}}{0,5 \text{ ч}} = 7,2 \text{ км/ч}$

Скорость против течения:

$v_{против} = \frac{S}{t_{против}} = \frac{3,6 \text{ км}}{2/3 \text{ ч}} = 3,6 \cdot \frac{3}{2} \text{ км/ч} = 1,8 \cdot 3 \text{ км/ч} = 5,4 \text{ км/ч}$

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 7,2 \\ v_{соб} - v_{теч} = 5,4 \end{cases}$

Чтобы найти скорость течения $v_{теч}$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 7,2 - 5,4$

$v_{соб} + v_{теч} - v_{соб} + v_{теч} = 1,8$

$2 \cdot v_{теч} = 1,8$

$v_{теч} = \frac{1,8}{2} = 0,9 \text{ км/ч}$

Ответ: 0,9 км/ч.

Плоты не имеют собственной скорости, они движутся со скоростью течения реки. Следовательно, скорость плотов $v_{плота}$ равна скорости течения $v_{теч}$.

$v_{плота} = v_{теч} = 0,9 \text{ км/ч}$

Теперь найдем время, за которое плоты проплывут расстояние $S = 3,6$ км, используя формулу $t = \frac{S}{v}$.

$t_{плота} = \frac{S}{v_{плота}} = \frac{3,6 \text{ км}}{0,9 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: 4 ч.

80. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за 3 мин. За сколько минут поднимется пассажир, если будет идти вверх со скоростью 25 м/мин и длина эскалатора 150 м?

Для того чтобы найти время, за которое пассажир поднимется, идя по эскалатору, необходимо сначала определить скорость самого эскалатора, а затем сложить её со скоростью пассажира, чтобы получить их общую скорость.

1. Вычисление скорости эскалатора.
Пассажир, стоя на ступеньке, поднимается исключительно за счет скорости эскалатора.Длина эскалатора (расстояние) $S = 150$ м.Время подъема стоя $t_1 = 3$ мин.Скорость эскалатора $v_э$ вычисляется по формуле:
$v_э = \frac{S}{t_1} = \frac{150 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 50 \text{ м/мин}$

2. Вычисление общей скорости.
Когда пассажир идет вверх по движущемуся эскалатору, его собственная скорость ($v_п = 25$ м/мин) складывается со скоростью эскалатора ($v_э$), так как они направлены в одну сторону.Общая скорость $v_{общ}$ будет равна:
$v_{общ} = v_э + v_п = 50 \text{ м/мин} + 25 \text{ м/мин} = 75 \text{ м/мин}$

3. Вычисление времени подъема идущего пассажира.
Теперь, зная общую скорость и расстояние, можно найти время подъема $t_2$:
$t_2 = \frac{S}{v_{общ}} = \frac{150 \text{ м}}{75 \text{ м/мин}} = 2 \text{ мин}$

Ответ: 2 минуты.

81. Стоя неподвижно на ступени эскалатора метро, человек поднимается вверх за 1 мин. Тот же человек, взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, поднимается вверх за 40 с. За какое время тот же человек взбежит вверх по движущемуся эскалатору?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина эскалатора.
• $v_э$ – скорость эскалатора.
• $v_ч$ – скорость человека относительно ступеней эскалатора.
• $t_1$ – время подъема человека, стоящего на движущемся эскалаторе.
• $t_2$ – время подъема человека по неподвижному эскалатору.
• $t$ – искомое время подъема человека по движущемуся эскалатору.

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$t_2 = 40 \text{ с}$

Решение:

1. Рассмотрим первый случай: человек стоит на движущемся эскалаторе. Его скорость относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$. За время $t_1$ он преодолевает расстояние $L$.

$L = v_э \cdot t_1$

Отсюда можно выразить скорость эскалатора:

$v_э = \frac{L}{t_1}$

2. Рассмотрим второй случай: человек взбегает по неподвижному эскалатору. Его скорость относительно земли равна его собственной скорости $v_ч$. За время $t_2$ он преодолевает то же расстояние $L$.

$L = v_ч \cdot t_2$

Отсюда выразим собственную скорость человека:

$v_ч = \frac{L}{t_2}$

3. Теперь рассмотрим третий случай: человек взбегает по движущемуся эскалатору. Его скорость относительно земли является суммой скорости эскалатора и его собственной скорости.

$v_{общ} = v_э + v_ч$

За искомое время $t$ он должен преодолеть расстояние $L$ с этой общей скоростью:

$L = v_{общ} \cdot t = (v_э + v_ч) \cdot t$

4. Подставим в последнее уравнение выражения для $v_э$ и $v_ч$, полученные в пунктах 1 и 2:

$L = (\frac{L}{t_1} + \frac{L}{t_2}) \cdot t$

Поскольку длина эскалатора $L$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $L$:

$1 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot t$

Выразим отсюда искомое время $t$:

$t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$

Приведем дробь в знаменателе к общему знаменателю:

$t = \frac{1}{\frac{t_2 + t_1}{t_1 \cdot t_2}} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$

5. Подставим числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{2400}{100} = 24 \text{ с}$

Ответ: человек взбежит вверх по движущемуся эскалатору за 24 секунды.

82. Дачник пришёл от своей дачи на станцию как раз к отходу электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 мин меньше, то пришёл бы на 12 мин раньше. Далеко ли от станции живёт дачник?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $s$ – это расстояние от дачи до станции в километрах (км), а $t$ – время в минутах, которое дачник тратил на прохождение одного километра изначально.

В таком случае, общее время, которое дачник потратил на дорогу до станции, можно выразить формулой:
$T_1 = s \cdot t$

По условию задачи, если бы дачник на каждый километр тратил на 3 минуты меньше, то время на прохождение одного километра составило бы $(t - 3)$ минут. Тогда новое общее время в пути было бы:
$T_2 = s \cdot (t - 3)$

Также из условия известно, что в этом случае дачник пришел бы на 12 минут раньше. Это означает, что разница между первоначальным и новым временем составляет 12 минут:
$T_1 - T_2 = 12$

Теперь подставим выражения для $T_1$ и $T_2$ в это уравнение:
$s \cdot t - s \cdot (t - 3) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$s \cdot t - s \cdot t + 3s = 12$

Взаимно уничтожим слагаемые $s \cdot t$ и $-s \cdot t$:
$3s = 12$

Чтобы найти расстояние $s$, разделим обе части уравнения на 3:
$s = \frac{12}{3}$
$s = 4$

Следовательно, расстояние от дачи до станции составляет 4 километра.

Ответ: 4 км.

83. а) Колонна автобусов с детьми длиной $1 \text{ км}$ двигалась по шоссе со скоростью $50 \text{ км/ч}$. Автоинспектору, машина которого замыкала колонну, понадобилось подъехать к головному автобусу. Сколько минут уйдёт у инспектора на путь туда и обратно, если он будет ехать со скоростью $70 \text{ км/ч}$?

б) Колонна солдат длиной $250 \text{ м}$ движется со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$. Из конца колонны в её начало отправляется сержант со скоростью $5,5 \text{ км/ч}$, затем с той же скоростью он возвращается в конец колонны. Сколько минут затратит сержант на путь туда и обратно?

а)

Для решения этой задачи рассмотрим движение инспектора относительно колонны. Обозначим:

• $L$ – длина колонны, $L = 1$ км.
• $v_к$ – скорость колонны, $v_к = 50$ км/ч.
• $v_и$ – скорость инспектора, $v_и = 70$ км/ч.

1. Движение к головному автобусу.

Когда инспектор едет от хвоста колонны к ее началу, он движется в том же направлении, что и колонна. Его скорость относительно колонны (скорость сближения) равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = v_и - v_к = 70 - 50 = 20$ км/ч.

Чтобы преодолеть расстояние, равное длине колонны ($L$), инспектору потребуется время $t_1$:

$t_1 = \frac{L}{v_{сближения}} = \frac{1 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = \frac{1}{20}$ часа.

2. Движение обратно к хвосту колонны.

На обратном пути инспектор движется от головы колонны к ее хвосту. В системе отсчета, связанной с землей, инспектор и хвост колонны движутся навстречу друг другу. Их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{возврата} = v_и + v_к = 70 + 50 = 120$ км/ч.

Время, которое инспектор потратит на обратный путь, равно $t_2$:

$t_2 = \frac{L}{v_{возврата}} = \frac{1 \text{ км}}{120 \text{ км/ч}} = \frac{1}{120}$ часа.

3. Общее время.

Общее время $T$ на путь туда и обратно равно сумме $t_1$ и $t_2$:

$T = t_1 + t_2 = \frac{1}{20} + \frac{1}{120} = \frac{6}{120} + \frac{1}{120} = \frac{7}{120}$ часа.

Чтобы выразить это время в минутах, умножим полученное значение на 60:

$T_{мин} = \frac{7}{120} \times 60 = \frac{7}{2} = 3,5$ минуты.

Ответ: 3,5 минуты.

б)

Эта задача решается по тому же принципу. Сначала приведем все данные к единым единицам измерения (километры и часы).

• $L$ – длина колонны, $L = 250$ м $= 0,25$ км.
• $v_к$ – скорость колонны, $v_к = 4,5$ км/ч.
• $v_с$ – скорость сержанта, $v_с = 5,5$ км/ч.

1. Путь в начало колонны.

Сержант движется из конца в начало колонны, обгоняя ее. Его относительная скорость сближения с головой колонны:

$v_{сближения} = v_с - v_к = 5,5 - 4,5 = 1$ км/ч.

Время, затраченное на этот путь, $t_1$:

$t_1 = \frac{L}{v_{сближения}} = \frac{0,25 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 0,25$ часа.

2. Путь обратно в конец колонны.

Сержант возвращается из начала в конец колонны, двигаясь навстречу ее хвосту. Их относительная скорость сближения равна сумме скоростей:

$v_{возврата} = v_с + v_к = 5,5 + 4,5 = 10$ км/ч.

Время, затраченное на обратный путь, $t_2$:

$t_2 = \frac{L}{v_{возврата}} = \frac{0,25 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0,025$ часа.

3. Общее время.

Суммарное время $T$, которое сержант потратит на весь путь:

$T = t_1 + t_2 = 0,25 + 0,025 = 0,275$ часа.

Переведем общее время в минуты:

$T_{мин} = 0,275 \times 60 = 16,5$ минуты.

Ответ: 16,5 минуты.

84. а) Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу с двух станций, удалённых друг от друга на $520 \text{ км}$. Через какое время расстояние между поездами будет равно $65 \text{ км}$, если их скорости $60 \text{ км/ч}$ и $70 \text{ км/ч}$?

б) Два поезда, расстояние между которыми $685 \text{ км}$, вышли одновременно навстречу друг другу. Через какое время расстояние между поездами будет равно $95 \text{ км}$, если их скорости $55 \text{ км/ч}$ и $45 \text{ км/ч}$?

а)

Для решения задачи определим общую скорость, с которой поезда приближаются друг к другу (скорость сближения), и расстояние, которое им необходимо вместе преодолеть.

1. Скорость сближения поездов равна сумме их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу:
$v_{сбл} = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$

2. Расстояние, которое поезда должны проехать вместе, чтобы между ними осталось 65 км, равно разности начального и конечного расстояний:
$S_{пройд} = 520 \text{ км} - 65 \text{ км} = 455 \text{ км}$

3. Время, через которое расстояние между поездами станет 65 км, находим по формуле $t = S/v$ :
$t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{455 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 3,5 \text{ часа}$

Ответ: через 3,5 часа.

б)

Решение аналогично пункту а).

1. Находим скорость сближения поездов:
$v_{сбл} = 55 \text{ км/ч} + 45 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$

2. Вычисляем расстояние, которое поездам нужно проехать суммарно, чтобы между ними осталось 95 км:
$S_{пройд} = 685 \text{ км} - 95 \text{ км} = 590 \text{ км}$

3. Находим время, разделив общее пройденное расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{590 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 5,9 \text{ часа}$

Ответ: через 5,9 часа.

85. После четырёх стирок от куска мыла осталась только третья часть. На сколько стирок хватит оставшейся части?

Примем первоначальный размер куска мыла за 1 (единицу).

После четырёх стирок от куска осталась третья часть, то есть $\frac{1}{3}$.

Найдём, какая часть мыла была израсходована за эти четыре стирки. Для этого из целого куска вычтем оставшуюся часть: $1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Получается, что $\frac{2}{3}$ куска мыла были израсходованы за 4 стирки.

Оставшаяся часть, $\frac{1}{3}$, в два раза меньше, чем израсходованная часть ($\frac{2}{3}$). $\frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = 2$

Следовательно, если израсходованной части хватило на 4 стирки, то оставшейся части хватит на количество стирок в два раза меньшее: $4 \div 2 = 2$

Ответ: 2 стирки.

86. Двум ученикам поручено подклеить в библиотеке несколько книг. Когда они закончили работу, то первый сказал, что подклеил $\frac{3}{5}$ всех книг, а второй сказал, что подклеил $\frac{2}{3}$ всех книг.

Их товарищ заметил, что ребята ошиблись в расчётах. Как он догадался?

Товарищ догадался, что ребята ошиблись, потому что сумма частей работы, которую они якобы выполнили, превышает всю работу целиком. Все книги, которые нужно было подклеить, представляют собой единое целое, или 1.

Первый ученик утверждает, что подклеил $ \frac{3}{5} $ всех книг.

Второй ученик утверждает, что подклеил $ \frac{2}{3} $ всех книг.

Чтобы понять, какую часть работы они выполнили вместе (согласно их словам), нужно сложить эти дроби. Для сложения дробей с разными знаменателями их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 5 и 3 является 15.

Приведем первую дробь к знаменателю 15:

$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} $

Приведем вторую дробь к знаменателю 15:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $

Теперь сложим полученные дроби, чтобы найти общую часть подклеенных книг:

$ \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15} $

Результат $ \frac{19}{15} $ является неправильной дробью, так как числитель больше знаменателя. Это означает, что сумма больше единицы:

$ \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15} > 1 $

Получается, что ученики вместе подклеили больше книг, чем было всего. Это логически невозможно, поэтому их товарищ и понял, что они ошиблись в расчётах.

Ответ: Товарищ сложил доли книг, которые подклеили ученики ($ \frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{19}{15} $), и обнаружил, что их сумма больше единицы ($ \frac{19}{15} > 1 $), что является невозможным, так как они не могли подклеить больше книг, чем было всего.