Страница 283 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

96. a) Заготовленного корма хватило бы корове на 60 дней или овцам на 90 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит заготовленного корма и корове, и овцам вместе.

б) Крестьянин подсчитал, что заготовленного сена хватит для коровы на 80 дней или для овец на 120 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит заготовленного сена и корове, и овцам вместе.

а)

Это задача на совместную работу. Примем весь объем заготовленного корма за 1 (единицу).

1. Определим, какую часть корма съедает корова за один день. Если всего корма ей хватает на 60 дней, то за один день она съедает:

$1 : 60 = \frac{1}{60}$ (часть корма)

2. Определим, какую часть корма съедают овцы за один день. Если всего корма им хватает на 90 дней, то за один день они съедают:

$1 : 90 = \frac{1}{90}$ (часть корма)

3. Теперь найдем, какую часть корма корова и овцы съедят вместе за один день. Для этого сложим их дневные нормы потребления:

$\frac{1}{60} + \frac{1}{90}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 60 и 90 — это 180.

$\frac{1 \cdot 3}{60 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{90 \cdot 2} = \frac{3}{180} + \frac{2}{180} = \frac{5}{180}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{180} = \frac{1}{36}$ (часть корма в день съедают вместе)

4. Чтобы найти, на сколько дней хватит всего корма, нужно разделить весь объем корма (1) на ту часть, которую они съедают вместе за один день ($\frac{1}{36}$):

$1 : \frac{1}{36} = 1 \cdot \frac{36}{1} = 36$ (дней)

Ответ: заготовленного корма корове и овцам вместе хватит на 36 дней.

б)

Решим эту задачу аналогично предыдущей, приняв весь объем заготовленного сена за 1 (единицу).

1. Определим, какую часть сена съедает корова за один день:

$1 : 80 = \frac{1}{80}$ (часть сена)

2. Определим, какую часть сена съедают овцы за один день:

$1 : 120 = \frac{1}{120}$ (часть сена)

3. Найдем, какую часть сена корова и овцы съедят вместе за один день:

$\frac{1}{80} + \frac{1}{120}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 80 и 120 — это 240.

$\frac{1 \cdot 3}{80 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{120 \cdot 2} = \frac{3}{240} + \frac{2}{240} = \frac{5}{240}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{5}{240} = \frac{1}{48}$ (часть сена в день съедают вместе)

4. Чтобы найти, на сколько дней хватит всего сена, разделим весь объем (1) на совместную дневную норму потребления ($\frac{1}{48}$):

$1 : \frac{1}{48} = 1 \cdot \frac{48}{1} = 48$ (дней)

Ответ: заготовленного сена корове и овцам вместе хватит на 48 дней.

97. Из села в город вышел пешеход. Одновременно с ним из города в село выехал велосипедист. Пешеход пришёл в город через 6 ч, а велосипедист приехал в село через 3 ч. Через сколько часов после начала движения они встретились?

Для решения этой задачи удобнее всего принять всё расстояние между селом и городом за 1 (одну целую часть). Тогда мы можем выразить скорости пешехода и велосипедиста как долю этого расстояния, преодолеваемую за час.

1. Найдём скорость пешехода.
Пешеход проходит всё расстояние (1) за 6 часов. Следовательно, его скорость ($v_{п}$) составляет $\frac{1}{6}$ часть пути в час.
$v_{п} = \frac{1}{6}$ (пути/час)

2. Найдём скорость велосипедиста.
Велосипедист проезжает всё расстояние (1) за 3 часа. Следовательно, его скорость ($v_{в}$) составляет $\frac{1}{3}$ часть пути в час.
$v_{в} = \frac{1}{3}$ (пути/час)

3. Найдём скорость сближения.
Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения ($v_{сбл}$), равна сумме их скоростей.
$v_{сбл} = v_{п} + v_{в} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$
Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю 6:
$v_{сбл} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (пути/час)
Это значит, что за один час пешеход и велосипедист вместе преодолевают половину всего расстояния.

4. Найдём время до встречи.
Чтобы найти время ($t$), через которое они встретятся, нужно всё расстояние (1) разделить на их скорость сближения.
$t = 1 \div v_{сбл} = 1 \div \frac{1}{2} = 1 \cdot 2 = 2$ (часа)

Ответ: они встретились через 2 часа после начала движения.

98. Из пункта А в пункт В отправили плот вниз по реке. Одновременно с ним из пункта В в пункт А вышел катер, который прибыл в пункт А через 5 ч. Через сколько часов катер встретил плот, если плот прибыл в пункт В через 20 ч после начала движения?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами A и B (в км).
• $v_k$ – собственная скорость катера, т.е. скорость в стоячей воде (в км/ч).
• $v_p$ – скорость течения реки (в км/ч).

Плот не имеет собственного двигателя, поэтому его скорость равна скорости течения реки ($v_p$). Плот движется из пункта A в пункт B, то есть вниз по реке.

Катер движется из пункта B в пункт A, то есть против течения реки. Его скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_k - v_p$.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. Уравнение движения для плота

Плот проплывает расстояние $S$ от A до B за 20 часов. Его скорость равна $v_p$.

$S = v_p \cdot 20$

Из этого уравнения мы можем выразить скорость течения реки через расстояние:

$v_p = \frac{S}{20}$

2. Уравнение движения для катера

Катер проходит расстояние $S$ от B до A (против течения) за 5 часов. Его скорость равна $v_k - v_p$.

$S = (v_k - v_p) \cdot 5$

Отсюда можем выразить скорость катера против течения:

$v_k - v_p = \frac{S}{5}$

3. Нахождение времени встречи

Плот и катер начинают движение одновременно навстречу друг другу. Время до их встречи ($t_{встр}$) можно найти, разделив начальное расстояние между ними ($S$) на их скорость сближения ($v_{сбл}$).

Скорость сближения равна сумме их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу:

$v_{сбл} = (\text{скорость плота}) + (\text{скорость катера против течения})$

$v_{сбл} = v_p + (v_k - v_p) = v_k$

Таким образом, скорость их сближения равна собственной скорости катера.

Теперь найдем время встречи:

$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{S}{v_k}$

Для вычисления времени нам нужно найти $v_k$. Воспользуемся уравнениями из первых двух пунктов. Подставим выражение для $v_p$ из первого пункта в уравнение из второго:

$v_k - \frac{S}{20} = \frac{S}{5}$

Теперь выразим собственную скорость катера $v_k$:

$v_k = \frac{S}{5} + \frac{S}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю (20):

$v_k = \frac{4S}{20} + \frac{S}{20} = \frac{5S}{20} = \frac{S}{4}$

Мы нашли, что собственная скорость катера равна четверти расстояния в час.

Наконец, подставим найденное значение $v_k$ в формулу для времени встречи:

$t_{встр} = \frac{S}{v_k} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = S \cdot \frac{4}{S} = 4$

Следовательно, катер и плот встретятся через 4 часа после начала движения.

Ответ: 4 ч.

99. Опытный токарь выполнит задание за 1 ч 20 мин, а его ученик — за 4 ч. За сколько минут они выполнят задание при совместной работе?

Для решения задачи необходимо определить производительность (скорость выполнения работы) каждого работника, затем найти их общую производительность при совместной работе и, наконец, вычислить время, которое им потребуется для выполнения всего задания.

1. Перевод времени в единую единицу измерения (минуты)

Сначала переведем время, данное в условии, в минуты, так как ответ требуется дать в минутах.

• Время опытного токаря: 1 час 20 минут. В одном часе 60 минут, поэтому $t_1 = 1 \cdot 60 + 20 = 80$ минут.
• Время ученика: 4 часа. $t_2 = 4 \cdot 60 = 240$ минут.

2. Расчет производительности каждого работника

Примем весь объем работы за 1 (единицу). Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за минуту).

• Производительность опытного токаря ($P_1$) составляет: $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{80}$ (часть задания в минуту).
• Производительность ученика ($P_2$) составляет: $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{240}$ (часть задания в минуту).

3. Расчет общей производительности

При совместной работе их производительности складываются:

$P_{общая} = P_1 + P_2 = \frac{1}{80} + \frac{1}{240}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 80 и 240 — это 240.

$P_{общая} = \frac{1 \cdot 3}{80 \cdot 3} + \frac{1}{240} = \frac{3}{240} + \frac{1}{240} = \frac{4}{240}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общая} = \frac{4 \div 4}{240 \div 4} = \frac{1}{60}$ (часть задания в минуту).

Это означает, что, работая вместе, они выполняют $\frac{1}{60}$ часть всего задания каждую минуту.

4. Расчет времени выполнения задания при совместной работе

Чтобы найти общее время ($t_{общ}$), необходимо весь объем работы (1) разделить на общую производительность:

$t_{общ} = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{60}} = 60$ минут.

Ответ: 60 минут.

100. Первый турист может пройти расстояние между городами за 4 ч, а второй — за 6 ч. Как-то раз они вышли одновременно из этих городов навстречу друг другу. Хватит ли им 2,5 ч на движение до встречи?

Для решения задачи примем все расстояние между городами за 1 условную единицу.

1. Определим скорость первого туриста. Он проходит все расстояние (1) за 4 часа, следовательно, его скорость $v_1$ составляет $\frac{1}{4}$ всего расстояния в час.

$v_1 = \frac{1}{4}$ (расстояния/час)

2. Определим скорость второго туриста. Он проходит все расстояние (1) за 6 часов, следовательно, его скорость $v_2$ составляет $\frac{1}{6}$ всего расстояния в час.

$v_2 = \frac{1}{6}$ (расстояния/час)

3. Туристы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения $v_{сбл}$:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 12:

$v_{сбл} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ (расстояния/час)

Это означает, что за один час туристы вместе проходят $\frac{5}{12}$ всего расстояния.

4. Теперь найдем время $t_{встр}$, через которое туристы встретятся. Для этого нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{1}{v_{сбл}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = 1 \cdot \frac{12}{5} = \frac{12}{5}$ часа.

5. Переведем полученное время в десятичную дробь для удобства сравнения:

$t_{встр} = \frac{12}{5} = 2,4$ часа.

6. Сравним время, необходимое для встречи, с временем, указанным в условии задачи (2,5 ч):

$2,4 \text{ ч} < 2,5 \text{ ч}$

Поскольку время, которое требуется туристам для встречи (2,4 часа), меньше, чем 2,5 часа, им этого времени хватит.

Ответ: да, 2,5 часов хватит на движение до встречи.

101. Первая бригада может выполнить задание за 5 недель, а вторая — за 3 недели. Хватит ли им двух недель на выполнение задания при совместной работе?

Чтобы определить, хватит ли двум бригадам двух недель для выполнения задания, нужно найти их совместную производительность и посчитать, какую часть работы они успеют сделать за это время.

1. Определим производительность каждой бригады.

Примем весь объем работы за 1.

Первая бригада выполняет всю работу за 5 недель, значит, ее производительность ($P_1$) составляет $\frac{1}{5}$ часть задания в неделю.

Вторая бригада выполняет всю работу за 3 недели, значит, ее производительность ($P_2$) составляет $\frac{1}{3}$ часть задания в неделю.

2. Найдем совместную производительность.

При совместной работе производительности складываются:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{5} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$P_{общ} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}$

Таким образом, работая вместе, бригады выполняют $\frac{8}{15}$ часть задания за одну неделю.

3. Рассчитаем, какую часть работы они выполнят за две недели.

Для этого умножим их совместную производительность на 2:

Работа за 2 недели = $P_{общ} \times 2 = \frac{8}{15} \times 2 = \frac{16}{15}$

4. Сравним выполненную работу с общим объемом задания.

За две недели бригады выполнят $\frac{16}{15}$ часть задания. Так как $\frac{16}{15} = 1\frac{1}{15}$, это больше, чем вся работа (которая равна 1). Это означает, что они не только успеют выполнить задание, но и сделают это раньше, чем за две недели.

Другой способ — найти точное время выполнения работы:

Время = $\frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{8}{15}} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ недели.

Поскольку $1\frac{7}{8} < 2$, двух недель им будет достаточно.

Ответ: да, хватит.

102. Задача Я. И. Перельмана. Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу в 2 ч, менее опытная — в 3 ч. Во сколько времени перепишут они доклад, если разделят между собой работу так, чтобы выполнить её в кратчайший срок?

Для того чтобы выполнить работу в кратчайший срок, машинистки должны работать одновременно, и время окончания их работы должно совпадать. Этого можно достичь, если они разделят работу и будут выполнять свои части параллельно. В этом случае мы можем рассчитать их общую производительность.

Примем весь объем работы (весь доклад) за 1.

1. Определим производительность каждой машинистки.

Производительность (скорость работы) — это объем работы, выполняемый за единицу времени.

• Производительность более опытной машинистки: $P_1 = \frac{1}{2}$ доклада в час.
• Производительность менее опытной машинистки: $P_2 = \frac{1}{3}$ доклада в час.

2. Найдем их общую производительность.

При совместной работе их производительности складываются:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю (6):

$P_{общ} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ доклада в час.

3. Рассчитаем общее время выполнения работы.

Время $t$, необходимое для выполнения всей работы, равно отношению всего объема работы к общей производительности:

$t = \frac{\text{Объем работы}}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{5}{6}} = 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$ часа.

4. Переведем полученное время в часы и минуты.

$t = \frac{6}{5} \text{ часа} = 1 \frac{1}{5} \text{ часа} = 1.2 \text{ часа}$.

Целая часть — это 1 час. Дробную часть $0.2$ часа переведем в минуты, умножив на 60:

$0.2 \times 60 = 12$ минут.

Следовательно, на переписку всего доклада при оптимальном разделении работы уйдет 1 час 12 минут.

Ответ: 1 час 12 минут.

103. Имеющихся денег хватит на школьные завтраки на 24 учебных дня или на обеды на 12 дней. На сколько дней хватит этих денег, если завтракать и обедать в школе?

Примем всю сумму имеющихся денег за 1 (одну целую).

Согласно условию, этой суммы хватает на 24 завтрака. Значит, стоимость одного завтрака составляет $ \frac{1}{24} $ от всей суммы.

Также известно, что этой же суммы хватает на 12 обедов. Следовательно, стоимость одного обеда составляет $ \frac{1}{12} $ от всей суммы.

Чтобы определить, какую часть денег будут тратить в день, если покупать и завтрак, и обед, нужно сложить их стоимости (доли от общей суммы):

$ \frac{1}{24} + \frac{1}{12} $

Для сложения приведем дроби к общему знаменателю 24:

$ \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{1 + 2}{24} = \frac{3}{24} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{3}{24} = \frac{1}{8} $

Таким образом, на завтрак и обед вместе каждый день будет уходить $ \frac{1}{8} $ часть всех денег.

Чтобы найти, на сколько дней хватит денег, нужно всю сумму (1) разделить на ежедневный расход ($ \frac{1}{8} $):

$ 1 \div \frac{1}{8} = 1 \times 8 = 8 $ (дней)

Ответ: этих денег хватит на 8 дней.

104. Мама с дочкой потратили на уборку квартиры 30 мин. Одна мама убрала бы квартиру за 50 мин. За сколько минут убрала бы квартиру дочь?

Это задача на совместную работу. Чтобы её решить, нужно найти производительность (скорость работы) каждого участника.

1. Определим производительность совместной работы.

Примем всю работу по уборке квартиры за 1. Мама с дочкой выполняют эту работу за 30 минут. Значит, их совместная производительность (часть квартиры, убираемая за 1 минуту) равна:

$P_{общ} = \frac{1}{30}$ (часть квартиры в минуту)

2. Определим производительность мамы.

Одна мама убирает квартиру за 50 минут. Её производительность равна:

$P_{мама} = \frac{1}{50}$ (часть квартиры в минуту)

3. Вычислим производительность дочки.

Совместная производительность — это сумма производительностей мамы и дочки ($P_{общ} = P_{мама} + P_{дочь}$). Чтобы найти производительность дочки, нужно из общей производительности вычесть производительность мамы:

$P_{дочь} = P_{общ} - P_{мама} = \frac{1}{30} - \frac{1}{50}$

Приведем дроби к общему знаменателю (150):

$\frac{1}{30} - \frac{1}{50} = \frac{5}{150} - \frac{3}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$

Значит, дочка за одну минуту убирает $\frac{1}{75}$ часть квартиры.

4. Найдем время, которое потребуется дочке на всю уборку.

Чтобы найти общее время, нужно всю работу (1) разделить на производительность дочки:

$T_{дочь} = \frac{1}{P_{дочь}} = \frac{1}{\frac{1}{75}} = 1 \cdot 75 = 75$ минут.

Ответ: 75 минут.

105. (Греция.) Бассейн наполняется четырьмя трубами, из которых первая может наполнить бассейн за 1 день, вторая — за 1 день, третья — за 3, четвёртая — за 4. За какое время наполнится бассейн через четыре трубы?

Для решения этой задачи необходимо найти общую скорость наполнения бассейна, когда все четыре трубы работают одновременно. Для этого сначала определим скорость (производительность) каждой трубы в отдельности, приняв объем всего бассейна за 1.

1. Производительность первой трубы: она наполняет бассейн за 1 день, значит, её производительность составляет $P_1 = \frac{1}{1} = 1$ бассейн/день.

2. Производительность второй трубы: она также наполняет бассейн за 1 день, её производительность $P_2 = \frac{1}{1} = 1$ бассейн/день.

3. Производительность третьей трубы: она наполняет бассейн за 3 дня, её производительность $P_3 = \frac{1}{3}$ бассейна/день.

4. Производительность четвертой трубы: она наполняет бассейн за 4 дня, её производительность $P_4 = \frac{1}{4}$ бассейна/день.

Теперь найдем общую производительность, сложив производительности всех четырех труб:

$P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

Чтобы сложить эти числа, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 это 12.

$P_{общая} = \frac{12}{12} + \frac{12}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{12 + 12 + 4 + 3}{12} = \frac{31}{12}$

Таким образом, все четыре трубы вместе наполняют $\frac{31}{12}$ бассейна за один день.

Чтобы найти время $t$, необходимое для наполнения всего бассейна (объем 1), нужно разделить объем на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{31}{12}} = 1 \times \frac{12}{31} = \frac{12}{31}$ дня.

Ответ: Бассейн наполнится через четыре трубы за $\frac{12}{31}$ дня.