Страница 287 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

136. Пешеход прошёл расстояние между сёлами со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Если бы он проходил в час на $1 \text{ км}$ больше, то ему потребовалось бы на тот же путь на $1 \text{ ч}$ меньше. Сколько времени шёл пешеход и какой путь он прошёл?

Для решения этой задачи введём переменные. Пусть $t$ (в часах) — это время, которое пешеход шёл, и $S$ (в км) — это путь, который он прошёл.

По условию, начальная скорость пешехода $v_1 = 4$ км/ч. Связь между расстоянием, скоростью и временем выражается формулой $S = v \cdot t$. Таким образом, для нашего случая:

$S = 4t$

Далее, рассмотрим гипотетическую ситуацию. Если бы пешеход проходил в час на 1 км больше, его скорость была бы $v_2 = 4 + 1 = 5$ км/ч. В этом случае ему потребовалось бы на 1 час меньше, то есть время в пути составило бы $t - 1$ часа. Расстояние $S$ осталось бы тем же. Составим второе уравнение:

$S = 5(t - 1)$

Так как расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части двух полученных уравнений:

$4t = 5(t - 1)$

Теперь решим это линейное уравнение, чтобы найти время $t$:

$4t = 5t - 5$

$5t - 4t = 5$

$t = 5$

Мы нашли первоначальное время, которое пешеход был в пути.

Сколько времени шёл пешеход

Пешеход шёл 5 часов.

Ответ: 5 часов.

Теперь, зная время, мы можем легко найти пройденный путь, подставив значение $t$ в первое уравнение:

$S = 4t = 4 \cdot 5 = 20$

Проверим себя, подставив $t$ во второе уравнение: $S = 5(t-1) = 5(5-1) = 5 \cdot 4 = 20$. Результаты совпадают, значит, решение верное.

Какой путь он прошёл

Пешеход прошёл путь равный 20 км.

Ответ: 20 км.

137. Поезд прошёл расстояние между двумя городами со скоростью 80 км/ч. Если бы его скорость была на 20 км/ч меньше, то ему потребовалось бы на 1 ч больше. Найдите расстояние между двумя городами.

Для решения задачи введем переменные:

• пусть $S$ (км) — расстояние между городами;
• $v_1$ = 80 км/ч — первоначальная скорость поезда;
• $t_1$ (ч) — время, затраченное на поездку с первоначальной скоростью.

Время в пути можно выразить через расстояние и скорость по формуле $t = S/v$.

Таким образом, первоначальное время в пути составляет:

$t_1 = S / v_1 = S / 80$

По условию задачи, если бы скорость поезда была на 20 км/ч меньше, то новая скорость $v_2$ составила бы:

$v_2 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

При этой скорости поезду потребовалось бы на 1 час больше. Обозначим новое время в пути как $t_2$. Тогда:

$t_2 = t_1 + 1$

С другой стороны, новое время $t_2$ можно выразить через то же расстояние $S$ и новую скорость $v_2$:

$t_2 = S / v_2 = S / 60$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для $t_2$. Для этого подставим выражение для $t_1$ в формулу $t_2 = t_1 + 1$:

$S/80 + 1 = S/60$

Решим это уравнение относительно $S$. Перенесем слагаемые, содержащие $S$, в одну сторону:

$1 = S/60 - S/80$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 60 и 80 равно 240.

$1 = (4 \cdot S) / (4 \cdot 60) - (3 \cdot S) / (3 \cdot 80)$

$1 = (4S) / 240 - (3S) / 240$

$1 = (4S - 3S) / 240$

$1 = S / 240$

Отсюда находим расстояние $S$:

$S = 240$

Таким образом, расстояние между двумя городами составляет 240 км.

Проверка:

Время при скорости 80 км/ч: $t_1 = 240 / 80 = 3$ часа.

Время при скорости 60 км/ч: $t_2 = 240 / 60 = 4$ часа.

Разница во времени: $t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: 240 км.

138. Тракторист может вспахать поле за 5 дней. Увеличив выработку на 2,5 га в день, он выполнил работу за 4 дня. Какова площадь поля?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $S$ — искомая площадь поля в гектарах (га), а $v$ — первоначальная производительность (выработка) тракториста в гектарах в день (га/день).

По условию, всю работу (вспашку поля площадью $S$) тракторист мог выполнить за 5 дней. Связь между работой, производительностью и временем выражается формулой $S = v \times t$.
Таким образом, первоначальную производительность можно выразить через площадь поля:
$v = \frac{S}{5}$

Затем тракторист увеличил свою выработку на 2,5 га в день, и его новая производительность стала $(v + 2,5)$ га/день. С этой новой производительностью он выполнил ту же работу за 4 дня. Составим уравнение для этого случая:
$S = (v + 2,5) \times 4$

Теперь подставим выражение для $v$ из первого шага во второе уравнение:
$S = (\frac{S}{5} + 2,5) \times 4$

Решим полученное уравнение относительно $S$:
$S = \frac{4S}{5} + 2,5 \times 4$
$S = \frac{4S}{5} + 10$
Перенесем слагаемое с $S$ в левую часть уравнения:
$S - \frac{4S}{5} = 10$
$\frac{5S}{5} - \frac{4S}{5} = 10$
$\frac{S}{5} = 10$
$S = 10 \times 5$
$S = 50$

Таким образом, площадь поля составляет 50 гектаров.

Ответ: 50 га.

139. Чтобы выполнить задание к сроку, цех должен был в день изготавливать по 30 приборов. Повысив производительность труда, рабочие цеха стали изготавливать в день по 34 прибора и выполнили задание на 2 дня раньше срока. Сколько приборов нужно было изготовить по плану и за сколько дней?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $t$ — это количество дней, запланированное на выполнение задания.

По плану, общее количество приборов, которое должен был изготовить цех, составляет произведение плановой производительности на плановое время:

Общее количество приборов = $30 \times t$

Рабочие повысили производительность до 34 приборов в день и выполнили задание на 2 дня раньше срока. Это означает, что они работали $(t - 2)$ дня. Фактически изготовленное количество приборов:

Общее количество приборов = $34 \times (t - 2)$

Так как общее количество приборов, которое нужно было изготовить, не изменилось, мы можем приравнять два этих выражения:

$30t = 34(t - 2)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $t$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$30t = 34t - 68$

Перенесем слагаемые с переменной $t$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$34t - 30t = 68$

$4t = 68$

Найдем $t$:

$t = \frac{68}{4}$

$t = 17$

Итак, плановое время на выполнение задания составляло 17 дней.

Теперь, зная плановое количество дней, мы можем найти общее количество приборов, которое нужно было изготовить по плану:

Количество приборов = $30 \times 17 = 510$

Проверим решение:
Плановое время: $510 \text{ приборов} / 30 \text{ приборов/день} = 17$ дней.
Фактическое время: $510 \text{ приборов} / 34 \text{ прибора/день} = 15$ дней.
Разница во времени: $17 - 15 = 2$ дня, что соответствует условию задачи.

Ответ: по плану нужно было изготовить 510 приборов за 17 дней.

140. Завод получил заказ на изготовление некоторого числа машин к определённому сроку. Если завод будет выпускать ежедневно по 250 машин, то к сроку будет изготовлено на 1000 машин меньше, чем заказано. Если же завод будет выпускать ежедневно по 320 машин, то к сроку будет изготовлено на 400 машин больше, чем заказано. Сколько машин надо изготавливать в день, чтобы выполнить заказ в срок?

$250D = N - 1000$

$320D = N + 400$

$X \cdot D = N$

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $N$ — общее количество машин в заказе.
• Пусть $t$ — количество дней, отведённое на выполнение заказа (срок).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Если завод выпускает ежедневно по 250 машин, то к сроку будет изготовлено на 1000 машин меньше, чем заказано. Это можно записать в виде уравнения:

$250 \cdot t = N - 1000$

2. Если завод выпускает ежедневно по 320 машин, то к сроку будет изготовлено на 400 машин больше, чем заказано. Это можно записать в виде второго уравнения:

$320 \cdot t = N + 400$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 250t = N - 1000 \\ 320t = N + 400 \end{cases}$

Выразим $N$ из первого уравнения:

$N = 250t + 1000$

Подставим это выражение для $N$ во второе уравнение:

$320t = (250t + 1000) + 400$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t$:

$320t = 250t + 1400$

$320t - 250t = 1400$

$70t = 1400$

$t = \frac{1400}{70} = 20$

Таким образом, срок выполнения заказа составляет 20 дней.

Теперь, зная $t$, мы можем найти общее количество машин в заказе $N$, подставив значение $t$ в любое из первоначальных уравнений. Воспользуемся выражением $N = 250t + 1000$:

$N = 250 \cdot 20 + 1000 = 5000 + 1000 = 6000$

Итак, всего по заказу нужно изготовить 6000 машин за 20 дней.

Чтобы найти, сколько машин надо изготавливать в день для выполнения заказа в срок, разделим общее количество машин на количество дней:

Необходимая дневная норма $= \frac{N}{t} = \frac{6000}{20} = 300$ машин в день.

Ответ: 300 машин.

141.Если раздать учащимся по 1 тетради, останется 36 тетрадей, а если раздать по 3 тетради, не хватит 12. Сколько тетрадей и сколько учащихся?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество учащихся, а $y$ — общее количество тетрадей.

Исходя из первого условия задачи, «если раздать учащимся по 1 тетради, останется 36 тетрадей», мы можем составить первое уравнение:
$y = 1 \cdot x + 36$ или просто $y = x + 36$

Из второго условия, «а если раздать по 3 тетради, не хватит 12», мы можем составить второе уравнение. Это означает, что для раздачи по 3 тетради нужно на 12 тетрадей больше, чем есть:
$y = 3 \cdot x - 12$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными. Поскольку левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество учащихся $x$:
$x + 36 = 3x - 12$

Решим полученное уравнение:
$36 + 12 = 3x - x$
$48 = 2x$
$x = \frac{48}{2}$
$x = 24$
Таким образом, в классе 24 учащихся.

Теперь, зная количество учащихся, мы можем найти общее количество тетрадей $y$, подставив значение $x$ в любое из первоначальных уравнений. Используем первое уравнение:
$y = x + 36$
$y = 24 + 36$
$y = 60$
Следовательно, всего было 60 тетрадей.

Ответ: 24 учащихся и 60 тетрадей.

142. Ученики собираются выписать газету. Если они соберут с каждого по 15 к., то им не хватит 2 р., а если каждый внесёт по 25 к., то получится лишних 2 р. Сколько было учеников? Сколько стоит подписка на газету?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество учеников, а $y$ — стоимость подписки на газету в копейках. Для удобства вычислений переведем рубли в копейки: 2 р. = 200 к.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Если ученики соберут с каждого по 15 копеек, общая сумма будет $15x$. Им не хватит 200 копеек, значит, стоимость подписки на 200 копеек больше: $y = 15x + 200$.

2. Если каждый внесет по 25 копеек, общая сумма будет $25x$. Получится лишних 200 копеек, значит, стоимость подписки на 200 копеек меньше: $y = 25x - 200$.

Так как левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество учеников $x$.

$15x + 200 = 25x - 200$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую.

$200 + 200 = 25x - 15x$

$400 = 10x$

$x = \frac{400}{10}$

$x = 40$

Таким образом, в классе было 40 учеников.

Ответ: было 40 учеников.

Теперь, зная количество учеников ($x=40$), мы можем вычислить стоимость подписки $y$, подставив это значение в любое из двух первоначальных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$y = 15x + 200$

$y = 15 \cdot 40 + 200$

$y = 600 + 200$

$y = 800$ (копеек)

Для проверки подставим $x=40$ во второе уравнение:

$y = 25x - 200$

$y = 25 \cdot 40 - 200$

$y = 1000 - 200$

$y = 800$ (копеек)

Результаты совпали. Теперь переведем стоимость из копеек в рубли: 800 копеек = 8 рублей.

Ответ: подписка на газету стоит 8 рублей.

143. (Китай, I в.) Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесёт по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3. Если каждый человек внесёт по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Для решения задачи введем две переменные:

Пусть $x$ — это количество людей.

Пусть $y$ — это стоимость вещи в денежных единицах.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений.

1. Из первого условия: если каждый человек внесет по 8 денежных единиц, общая сумма составит $8x$. Этой суммы хватает на покупку вещи, и еще остается 3 единицы. Значит, стоимость вещи на 3 единицы меньше собранной суммы:

$y = 8x - 3$

2. Из второго условия: если каждый человек внесет по 7 денежных единиц, общая сумма составит $7x$. Этой суммы не хватает для покупки, и недостаток составляет 4 единицы. Значит, стоимость вещи на 4 единицы больше собранной суммы:

$y = 7x + 4$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} y = 8x - 3 \\ y = 7x + 4 \end{cases}$

Так как левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$.

Количество людей

Приравняем правые части уравнений:

$8x - 3 = 7x + 4$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$8x - 7x = 4 + 3$

$x = 7$

Таким образом, мы нашли количество людей.

Ответ: 7 человек.

Стоимость вещи

Теперь, когда мы знаем количество людей ($x = 7$), мы можем найти стоимость вещи ($y$), подставив это значение в любое из двух исходных уравнений.

Используем первое уравнение: $y = 8x - 3$.

$y = 8 \cdot 7 - 3$

$y = 56 - 3$

$y = 53$

Для проверки подставим значение $x$ и во второе уравнение: $y = 7x + 4$.

$y = 7 \cdot 7 + 4$

$y = 49 + 4$

$y = 53$

Результаты совпадают, что подтверждает правильность нашего решения. Стоимость вещи составляет 53 денежные единицы.

Ответ: 53 денежные единицы.

144. (Китай, II в.) Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесёт по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесёт по 6, то не хватит 16. Найти число людей и стоимость курицы.

Пусть $x$ — это число людей, а $y$ — стоимость курицы в денежных единицах.

Согласно первому условию, если каждый человек внесёт по 9 денежных единиц, то общая собранная сумма составит $9x$. Эта сумма на 11 единиц больше стоимости курицы, что можно записать в виде уравнения:

$9x = y + 11$

Из этого уравнения можно выразить стоимость курицы:

$y = 9x - 11$

Согласно второму условию, если каждый внесёт по 6 денежных единиц, то общая собранная сумма составит $6x$. Этой суммы не хватит на 16 единиц для покупки курицы. Это можно записать в виде второго уравнения:

$6x = y - 16$

Из этого уравнения также выразим стоимость курицы:

$y = 6x + 16$

Поскольку левые части обоих полученных выражений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество людей $x$:

$9x - 11 = 6x + 16$

Теперь решим это линейное уравнение:

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$9x - 6x = 16 + 11$

$3x = 27$

$x = \frac{27}{3}$

$x = 9$

Таким образом, число людей равно 9.

Теперь, зная число людей, найдем стоимость курицы $y$, подставив значение $x=9$ в любое из ранее полученных выражений для $y$. Например, во второе:

$y = 6x + 16$

$y = 6 \cdot 9 + 16$

$y = 54 + 16$

$y = 70$

Стоимость курицы составляет 70 денежных единиц.

Проверка:
1) 9 человек по 9 денежных единиц = 81. $81 - 70 = 11$ (остаток). Верно.
2) 9 человек по 6 денежных единиц = 54. $70 - 54 = 16$ (не хватает). Верно.

Ответ: число людей — 9, стоимость курицы — 70 денежных единиц.