Страница 280 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

70. В двух магазинах было 452 холодильника. После того как оба магазина продали холодильников поровну, в одном осталось 72, а в другом — 84 холодильника. Сколько холодильников было в каждом магазине первоначально?

Обозначим количество холодильников, которое продал каждый магазин, как $x$. Пусть в первом магазине первоначально было $N_1$ холодильников, а во втором — $N_2$.

Согласно условию, всего в двух магазинах было 452 холодильника: $N_1 + N_2 = 452$

После того как каждый магазин продал по $x$ холодильников, в них осталось 72 и 84 холодильника соответственно: $N_1 - x = 72$ $N_2 - x = 84$

Чтобы решить задачу, выполним следующие шаги:

1. Найдем, сколько всего холодильников осталось в двух магазинах после продажи. Для этого сложим количество оставшихся холодильников в каждом из магазинов.

$72 + 84 = 156$ (холодильников)

2. Теперь узнаем, сколько всего холодильников было продано обоими магазинами. Для этого вычтем из общего первоначального количества общее количество оставшихся холодильников.

$452 - 156 = 296$ (холодильников)

3. Так как оба магазина продали одинаковое количество холодильников, разделим общее число проданных холодильников на 2, чтобы найти, сколько продал каждый магазин.

$296 / 2 = 148$ (холодильников)

4. Наконец, найдем первоначальное количество холодильников в каждом магазине. Для этого к количеству оставшихся холодильников в каждом магазине прибавим количество проданных холодильников.

В первом магазине (где осталось 72):
$72 + 148 = 220$ (холодильников)

Во втором магазине (где осталось 84):
$84 + 148 = 232$ (холодильника)

Для проверки сложим полученные значения: $220 + 232 = 452$, что соответствует начальному условию.

Ответ: первоначально в одном магазине было 220 холодильников, а в другом — 232 холодильника.

71. Первый цех железобетонных изделий расходует в день 25 т цемента. Сколько цемента расходует в день второй цех завода, если привезённых 870 т цемента хватит на 15 дней их совместной работы?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия.

1. Найдём, сколько цемента оба цеха расходуют вместе за один день.

Известно, что 870 тонн цемента хватает на 15 дней совместной работы. Чтобы найти общий суточный расход, разделим общее количество цемента на количество дней:

$870 \div 15 = 58$ (т)

Таким образом, совместный расход двух цехов составляет 58 тонн цемента в день.

2. Найдём, сколько цемента расходует в день второй цех.

Мы знаем, что общий расход составляет 58 тонн в день, а первый цех из них расходует 25 тонн в день. Чтобы найти расход второго цеха, вычтем из общего расхода расход первого цеха:

$58 - 25 = 33$ (т)

Ответ: второй цех завода расходует в день 33 т цемента.

72. Завод по плану должен изготовить 7920 приборов за 24 дня. За сколько дней завод выполнит это задание, если будет изготавливать в день на 30 приборов больше, чем намечено по плану?

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Найдем плановую производительность завода в день.

   Для этого разделим общее количество приборов, которое нужно изготовить, на количество запланированных дней.

   $7920 \div 24 = 330$ (приборов/день)

   Таким образом, по плану завод должен изготавливать 330 приборов в день.

2. Найдем фактическую производительность завода в день.

   По условию задачи, завод будет изготавливать на 30 приборов в день больше, чем было запланировано.

   $330 + 30 = 360$ (приборов/день)

   Следовательно, фактическая производительность составит 360 приборов в день.

3. Найдем, за сколько дней завод выполнит задание с новой производительностью.

   Для этого разделим общее количество приборов на фактическую дневную производительность.

   $7920 \div 360 = 22$ (дня)

Ответ: завод выполнит это задание за 22 дня.

73. Токарь должен за 6 ч обточить 96 деталей. Применяя усовершенствованный резец, он может обтачивать в час на 8 деталей больше. Сколько времени сэкономит токарь на обточке 96 деталей, применяя усовершенствованный резец?

1. Найдём первоначальную производительность токаря (количество деталей в час).
Для этого разделим общее количество деталей на запланированное время работы:$96 \text{ деталей} \div 6 \text{ ч} = 16$ (деталей/час).

2. Найдём новую производительность токаря с усовершенствованным резцом.
По условию, он может обтачивать на 8 деталей в час больше. Следовательно, новая производительность равна:$16 \text{ деталей/час} + 8 \text{ деталей/час} = 24$ (детали/час).

3. Рассчитаем время, которое потребуется токарю на обточку 96 деталей с новой производительностью.
Для этого разделим общее количество деталей на новую производительность:$96 \text{ деталей} \div 24 \text{ детали/час} = 4$ (часа).

4. Определим, сколько времени сэкономит токарь.
Для этого вычтем из первоначального времени новое время, затраченное на работу:$6 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 2$ (часа).

Ответ: 2 часа.

74. Нужно проверить 360 тетрадей с диктантом. Первый учитель может проверить их за 15 ч, второй — за 10 ч, третий — за 6 ч.

За сколько времени они проверят тетради втроём?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить производительность каждого учителя (сколько тетрадей в час проверяет каждый), затем найти их общую производительность и, наконец, рассчитать общее время работы.

1. Вычислим производительность первого учителя

Первый учитель проверяет 360 тетрадей за 15 часов. Его производительность равна:

$360 \text{ тетрадей} \div 15 \text{ часов} = 24 \text{ тетради/час}$

2. Вычислим производительность второго учителя

Второй учитель проверяет 360 тетрадей за 10 часов. Его производительность равна:

$360 \text{ тетрадей} \div 10 \text{ часов} = 36 \text{ тетрадей/час}$

3. Вычислим производительность третьего учителя

Третий учитель проверяет 360 тетрадей за 6 часов. Его производительность равна:

$360 \text{ тетрадей} \div 6 \text{ часов} = 60 \text{ тетрадей/час}$

4. Найдем общую производительность

Чтобы узнать, сколько тетрадей в час они проверяют вместе, сложим их производительности:

$24 + 36 + 60 = 120 \text{ тетрадей/час}$

5. Рассчитаем общее время работы

Теперь разделим общее количество тетрадей на общую производительность, чтобы найти время, за которое они справятся с работой втроем:

$360 \text{ тетрадей} \div 120 \text{ тетрадей/час} = 3 \text{ часа}$

Ответ: 3 часа.

75. $A$, $B$ и $C$ сыграли три партии, причём проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежавшие остальным в начале партии. Проиграли последовательно $A$, $B$ и $C$, и в результате у всех троих оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них вначале?

Для решения этой задачи используется метод обратного анализа, то есть вычисления производятся в порядке, обратном событиям игры.

Сначала определим общую сумму денег, которая остается неизменной на протяжении всех партий, так как деньги лишь переходят от одного игрока к другому. В конце у каждого из троих оказалось по $48$ р. Значит, общая сумма денег составляет $48 \times 3 = 144$ р.

1. Расчет состояния перед третьей партией (проиграл С)

В конце у всех было по $48$ р. Третью партию проиграл С, а значит, он удвоил деньги игроков А и В. Чтобы узнать, сколько у них было до этого, нужно их текущие суммы разделить на два:

Сумма у А перед третьей партией: $48 / 2 = 24$ р.
Сумма у В перед третьей партией: $48 / 2 = 24$ р.

Игрок С отдал им в сумме $24 + 24 = 48$ р. Следовательно, его собственная сумма до проигрыша была на $48$ р. больше:

Сумма у С перед третьей партией: $48 + 48 = 96$ р.
Итак, перед третьей партией у игроков было: А — $24$ р., В — $24$ р., С — $96$ р. (Проверка: $24+24+96=144$ р.)

2. Расчет состояния перед второй партией (проиграл В)

Теперь мы знаем суммы перед третьей партией. Вторую партию проиграл В, удвоив деньги игроков А и С. Рассчитаем, сколько у них было до этого момента:

Сумма у А перед второй партией: $24 / 2 = 12$ р.
Сумма у С перед второй партией: $96 / 2 = 48$ р.

Игрок В отдал им $12 + 48 = 60$ р. Значит, его сумма до проигрыша была:

Сумма у В перед второй партией: $24 + 60 = 84$ р.
Итак, перед второй партией у игроков было: А — $12$ р., В — $84$ р., С — $48$ р. (Проверка: $12+84+48=144$ р.)

3. Расчет начального состояния (проиграл А)

Мы знаем суммы перед второй партией. Первую партию проиграл А, удвоив деньги В и С. Рассчитаем их первоначальные суммы:

Начальная сумма В: $84 / 2 = 42$ р.
Начальная сумма С: $48 / 2 = 24$ р.

Игрок А отдал им $42 + 24 = 66$ р. Следовательно, его начальная сумма была:

Начальная сумма А: $12 + 66 = 78$ р.
Таким образом, в самом начале у игроков было: А — $78$ р., В — $42$ р., С — $24$ р.

Ответ: Вначале у А было 78 р., у В – 42 р., а у С – 24 р.

76. А, В, С и D сыграли четыре партии, причём проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежавшие остальным в начале партии. Проиграли последовательно А, В, С и D, и в результате у всех четверых оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них вначале?

Для решения этой задачи необходимо использовать метод обратного счёта, то есть двигаться от конечного результата к начальному, отменяя действия в обратном порядке.

Общая сумма денег у всех игроков не меняется на протяжении всей игры. В конце у каждого было по 48 р., следовательно, общая сумма составляет $4 \times 48 = 192$ р.

Расчёт сумм перед последней (четвёртой) партией

В последней партии проиграл D. Это значит, что он удвоил деньги игроков A, B и C, после чего у всех стало по 48 р. Чтобы найти, сколько денег было у A, B и C до этого удвоения, нужно их текущую сумму разделить на 2.

• Сумма у A до удвоения: $48 / 2 = 24$ р.
• Сумма у B до удвоения: $48 / 2 = 24$ р.
• Сумма у C до удвоения: $48 / 2 = 24$ р.

Игрок D отдал остальным $24 + 24 + 24 = 72$ р. Значит, до того, как он проиграл, у него было $48 + 72 = 120$ р.

Ответ: перед четвёртой партией у игроков было: A — 24 р., B — 24 р., C — 24 р., D — 120 р.

Расчёт сумм перед третьей партией

В третьей партии проиграл C. Он удвоил деньги игроков A, B и D. Используем суммы, которые у них были в начале четвёртой партии: A — 24, B — 24, D — 120.

• Сумма у A до удвоения: $24 / 2 = 12$ р.
• Сумма у B до удвоения: $24 / 2 = 12$ р.
• Сумма у D до удвоения: $120 / 2 = 60$ р.

Игрок C отдал остальным $12 + 12 + 60 = 84$ р. На тот момент у него было 24 р., значит, до проигрыша у него было $24 + 84 = 108$ р.

Ответ: перед третьей партией у игроков было: A — 12 р., B — 12 р., C — 108 р., D — 60 р.

Расчёт сумм перед второй партией

Во второй партии проиграл B. Он удвоил деньги игроков A, C и D. Используем суммы, которые у них были в начале третьей партии: A — 12, C — 108, D — 60.

• Сумма у A до удвоения: $12 / 2 = 6$ р.
• Сумма у C до удвоения: $108 / 2 = 54$ р.
• Сумма у D до удвоения: $60 / 2 = 30$ р.

Игрок B отдал остальным $6 + 54 + 30 = 90$ р. На тот момент у него было 12 р., значит, до проигрыша у него было $12 + 90 = 102$ р.

Ответ: перед второй партией у игроков было: A — 6 р., B — 102 р., C — 54 р., D — 30 р.

Расчёт начальных сумм (перед первой партией)

В первой партии проиграл A. Он удвоил деньги игроков B, C и D. Используем суммы, которые у них были в начале второй партии: B — 102, C — 54, D — 30.

• Сумма у B до удвоения: $102 / 2 = 51$ р.
• Сумма у C до удвоения: $54 / 2 = 27$ р.
• Сумма у D до удвоения: $30 / 2 = 15$ р.

Игрок A отдал остальным $51 + 27 + 15 = 93$ р. На тот момент у него было 6 р., значит, в самом начале у него было $6 + 93 = 99$ р.

Ответ: в самом начале у игроков были следующие суммы: A — 99 р., B — 51 р., C — 27 р., D — 15 р.

77. а) У крестьянина было несколько поросят и несколько ягнят. Три поросёнка и два ягнёнка весят 23 кг, а два поросёнка и три ягнёнка весят 22 кг. Сколько весят один поросёнок и один ягнёнок в отдельности?

б) В трёх маленьких и четырёх больших коробках 150 цветных карандашей, а в четырёх маленьких и трёх больших коробках 144 цветных карандаша. Сколько цветных карандашей в большой коробке?

а)

Для решения этой задачи введём переменные. Пусть $p$ — это вес одного поросёнка в килограммах, а $l$ — это вес одного ягнёнка в килограммах.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

1. Три поросёнка и два ягнёнка весят 23 кг: $3p + 2l = 23$

2. Два поросёнка и три ягнёнка весят 22 кг: $2p + 3l = 22$

Есть несколько способов решить эту систему. Один из них — метод сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(3p + 2l) + (2p + 3l) = 23 + 22$

$5p + 5l = 45$

Теперь разделим обе части полученного уравнения на 5:

$p + l = 9$

Это уравнение показывает, что один поросёнок и один ягнёнок вместе весят 9 кг. Теперь мы можем выразить одну переменную через другую, например, $p = 9 - l$.

Подставим это выражение в первое исходное уравнение ($3p + 2l = 23$):

$3(9 - l) + 2l = 23$

$27 - 3l + 2l = 23$

$27 - l = 23$

Отсюда находим вес ягнёнка:

$l = 27 - 23 = 4$

Итак, один ягнёнок весит 4 кг. Теперь найдём вес поросёнка:

$p = 9 - l = 9 - 4 = 5$

Один поросёнок весит 5 кг.

Проверим наши результаты, подставив их во второе исходное уравнение ($2p + 3l = 22$):

$2(5) + 3(4) = 10 + 12 = 22$

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: один поросёнок весит 5 кг, один ягнёнок весит 4 кг.

б)

Обозначим количество карандашей в маленькой коробке как $s$, а в большой — как $b$.

Из условия задачи составим систему уравнений:

1. В трёх маленьких и четырёх больших коробках 150 карандашей: $3s + 4b = 150$

2. В четырёх маленьких и трёх больших коробках 144 карандаша: $4s + 3b = 144$

Для решения этой системы можно использовать метод сложения, как и в предыдущей задаче. Сложим оба уравнения:

$(3s + 4b) + (4s + 3b) = 150 + 144$

$7s + 7b = 294$

Разделим обе части уравнения на 7:

$s + b = 42$

Теперь выразим $s$ через $b$: $s = 42 - b$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы ($3s + 4b = 150$):

$3(42 - b) + 4b = 150$

$126 - 3b + 4b = 150$

$126 + b = 150$

Теперь найдём $b$:

$b = 150 - 126 = 24$

Таким образом, в одной большой коробке 24 карандаша.

Чтобы убедиться в правильности решения, найдём количество карандашей в маленькой коробке: $s = 42 - b = 42 - 24 = 18$.

Проверим со вторым уравнением ($4s + 3b = 144$):

$4(18) + 3(24) = 72 + 72 = 144$

Равенство выполняется, следовательно, ответ верный.

Ответ: в большой коробке 24 цветных карандаша.

78. a) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров в час скорость лодки по течению реки больше скорости против течения? Зависит ли ответ от собственной скорости лодки?

б) Скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на 6 км/ч. Какова скорость течения?

а)

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$V_{соб}$ – собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде).
$V_{теч}$ – скорость течения реки.
$V_{по}$ – скорость лодки по течению реки.
$V_{пр}$ – скорость лодки против течения реки.

Скорость лодки по течению равна сумме её собственной скорости и скорости течения:
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$
Скорость лодки против течения равна разности её собственной скорости и скорости течения:
$V_{пр} = V_{соб} - V_{теч}$

Чтобы найти, на сколько километров в час скорость лодки по течению больше скорости против течения, необходимо найти разность этих скоростей:
$V_{по} - V_{пр} = (V_{соб} + V_{теч}) - (V_{соб} - V_{теч})$
Раскроем скобки:
$V_{по} - V_{пр} = V_{соб} + V_{теч} - V_{соб} + V_{теч} = 2 \cdot V_{теч}$

Из условия известно, что скорость течения реки $V_{теч} = 2$ км/ч. Подставим это значение в полученную формулу:
$2 \cdot V_{теч} = 2 \cdot 2 = 4$ км/ч.

Теперь ответим на второй вопрос: зависит ли ответ от собственной скорости лодки?
Как видно из формулы $V_{по} - V_{пр} = 2 \cdot V_{теч}$, собственная скорость лодки ($V_{соб}$) сокращается при вычислении разности. Таким образом, разница между скоростью по течению и против течения зависит только от скорости течения и не зависит от собственной скорости лодки.

Ответ: Скорость лодки по течению реки больше скорости против течения на 4 км/ч. Ответ не зависит от собственной скорости лодки.

б)

В этом пункте нам нужно найти скорость течения ($V_{теч}$). Воспользуемся формулой, выведенной в пункте а): разность между скоростью по течению и скоростью против течения равна удвоенной скорости течения.
$V_{по} - V_{пр} = 2 \cdot V_{теч}$

По условию, скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на 6 км/ч. Это означает, что:
$V_{по} - V_{пр} = 6$ км/ч.

Приравняем правые части двух выражений:
$2 \cdot V_{теч} = 6$
Теперь найдем скорость течения, разделив обе части уравнения на 2:
$V_{теч} = 6 / 2$
$V_{теч} = 3$ км/ч.

Ответ: Скорость течения равна 3 км/ч.