Страница 273 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите значение числового выражения (1–7):

1. а) $14957 - (2586 + 4298);$

б) $598 \cdot 99 \div 299;$

в) $758 \cdot 809 - 180492 \div 356;$

г) $682 - 480 \div (123 + 37).$

а) $14957 - (2586 + 4298)$

Для решения этого выражения необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем вычитание, следуя порядку выполнения арифметических операций.

1. Выполним сложение в скобках: $2586 + 4298 = 6884$.

2. Теперь выполним вычитание: $14957 - 6884 = 8073$.

Ответ: 8073

б) $598 \cdot 99 : 299$

В этом выражении умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Для упрощения вычислений можно заметить, что число 598 в два раза больше числа 299 ($598 = 2 \cdot 299$).

1. Перепишем выражение, используя это свойство: $(2 \cdot 299) \cdot 99 : 299$.

2. Так как от перестановки множителей произведение не меняется, мы можем сначала разделить 299 на 299: $2 \cdot (299 : 299) \cdot 99 = 2 \cdot 1 \cdot 99$.

3. Умножим оставшиеся числа: $2 \cdot 99 = 198$.

Ответ: 198

в) $758 \cdot 809 - 180492 : 356$

Согласно порядку действий, сначала выполняются умножение и деление, а затем вычитание.

1. Выполним умножение: $758 \cdot 809 = 613222$.

2. Выполним деление: $180492 : 356 = 507$.

3. Выполним вычитание результатов: $613222 - 507 = 612715$.

Ответ: 612715

г) $682 - 480 : (123 + 37)$

В данном выражении сначала выполняется действие в скобках, затем деление и в последнюю очередь — вычитание.

1. Выполним сложение в скобках: $123 + 37 = 160$.

2. Теперь выполним деление: $480 : 160 = 3$.

3. Наконец, выполним вычитание: $682 - 3 = 679$.

Ответ: 679

2. a) $795 \cdot 848 : 848;$

b) $6111 : 679 \cdot 679;$

б) $456 \cdot 759 : 759;$

г) $6768 : 846 \cdot 846.$

а) 795 · 848 : 848

В данном выражении используются взаимно обратные операции: умножение и деление на одно и то же число. Порядок действий выполняется слева направо, но можно заметить, что если число сначала умножить, а затем разделить на одно и то же число (отличное от нуля), то в результате получится исходное число.
Это свойство можно записать в виде формулы: $(a \cdot b) : b = a$.
В нашем случае $a = 795$ и $b = 848$.
Применяя это правило, получаем: $795 \cdot 848 : 848 = 795$.
Для проверки выполним действия по порядку:
1) $795 \cdot 848 = 674160$
2) $674160 : 848 = 795$
Результат подтверждается.
Ответ: 795

в) 6111 : 679 · 679

Это выражение также содержит взаимно обратные операции, но в другом порядке: сначала деление, а затем умножение. Если число разделить, а потом умножить на одно и то же число (отличное от нуля), результат будет равен исходному числу.
Формула для этого случая: $(a : b) \cdot b = a$.
В данном примере $a = 6111$ и $b = 679$.
Следовательно: $6111 : 679 \cdot 679 = 6111$.
Проверим, выполнив вычисления по порядку:
1) $6111 : 679 = 9$
2) $9 \cdot 679 = 6111$
Результат верен.
Ответ: 6111

б) 456 · 759 : 759

Аналогично первому примеру, мы умножаем число на $759$, а затем делим результат на это же число. Это возвращает нас к исходному числу.
Используем правило: $(a \cdot b) : b = a$.
Здесь $a = 456$ и $b = 759$.
Решение: $456 \cdot 759 : 759 = 456$.
Проверка:
1) $456 \cdot 759 = 346104$
2) $346104 : 759 = 456$
Результат подтвержден.
Ответ: 456

г) 6768 : 846 · 846

В этом выражении, как и в примере 'в', выполняется сначала деление, а затем умножение на одно и то же число.
Применяем правило: $(a : b) \cdot b = a$.
В данном выражении $a = 6768$ и $b = 846$.
Таким образом: $6768 : 846 \cdot 846 = 6768$.
Проверка:
1) $6768 : 846 = 8$
2) $8 \cdot 846 = 6768$
Результат верен.
Ответ: 6768

3. а) $48 - 48 : (17 - 9) + 40;$

б) $54 - (48 - 39) \cdot 5 - 5;$

в) $67 - (62 - 38) : 6 - 4;$

г) $48 : (31 - 19) : 2 + 2.$

а) $48 - 48 : (17 - 9) + 40$

Решим пример по действиям, соблюдая их правильный порядок. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1. Первым действием выполним вычитание в скобках: $17 - 9 = 8$.

2. Теперь выражение выглядит так: $48 - 48 : 8 + 40$. Следующим действием по приоритету будет деление: $48 : 8 = 6$.

3. Выражение принимает вид: $48 - 6 + 40$. Далее выполняем вычитание: $48 - 6 = 42$.

4. Последнее действие — сложение: $42 + 40 = 82$.

Ответ: 82

б) $54 - (48 - 39) \cdot 5 - 5$

Решаем по порядку действий.

1. Сначала выполняем действие в скобках: $48 - 39 = 9$.

2. Теперь выражение выглядит так: $54 - 9 \cdot 5 - 5$. Следующим по приоритету является умножение: $9 \cdot 5 = 45$.

3. Выражение принимает вид: $54 - 45 - 5$. Выполняем вычитание слева направо: $54 - 45 = 9$.

4. И последнее действие: $9 - 5 = 4$.

Ответ: 4

в) $67 - (62 - 38) : 6 - 4$

Соблюдаем порядок выполнения арифметических действий.

1. Первое действие в скобках: $62 - 38 = 24$.

2. Выражение теперь выглядит так: $67 - 24 : 6 - 4$. Выполняем деление: $24 : 6 = 4$.

3. Выражение стало: $67 - 4 - 4$. Выполняем вычитание слева направо: $67 - 4 = 63$.

4. Завершающее действие: $63 - 4 = 59$.

Ответ: 59

г) $48 : (31 - 19) : 2 + 2$

Решаем по порядку действий.

1. Сначала вычисляем значение в скобках: $31 - 19 = 12$.

2. Выражение принимает вид: $48 : 12 : 2 + 2$. Деление выполняется последовательно слева направо. Первое деление: $48 : 12 = 4$.

3. Выражение стало: $4 : 2 + 2$. Выполняем второе деление: $4 : 2 = 2$.

4. Последнее действие — сложение: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

4. a) $(7529 + 4356) + (644 + 1901);$

В) $(8935 + 6639) + (7361 + 125);$

б) $753 + (2747 + 3998) + 1002;$

г) $4957 + (8243 + 495) + 7205.$

а)

Для решения данного примера необходимо сначала выполнить сложение в каждой паре скобок, а затем сложить полученные результаты, следуя порядку действий.

1. Вычислим сумму в первой скобке:

$7529 + 4356 = 11885$

2. Вычислим сумму во второй скобке:

$644 + 1901 = 2545$

3. Сложим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$11885 + 2545 = 14430$

Таким образом, $(7529 + 4356) + (644 + 1901) = 14430$.

Ответ: 14430.

б)

Для упрощения вычислений в этом примере можно использовать переместительное и сочетательное свойства сложения. Это позволяет нам перегруппировать слагаемые.

$753 + (2747 + 3998) + 1002 = 753 + 2747 + 3998 + 1002$

Сгруппируем слагаемые так, чтобы получить в сумме "круглые" числа:

1. Сложим первое и второе слагаемые:

$(753 + 2747) = 3500$

2. Сложим третье и четвертое слагаемые:

$(3998 + 1002) = 5000$

3. Сложим полученные результаты:

$3500 + 5000 = 8500$

Ответ: 8500.

в)

Решим данный пример по порядку действий: сначала сложение в скобках, затем сложение результатов.

1. Вычислим сумму в первой скобке:

$8935 + 6639 = 15574$

2. Вычислим сумму во второй скобке:

$7361 + 125 = 7486$

3. Сложим полученные результаты:

$15574 + 7486 = 23060$

Таким образом, $(8935 + 6639) + (7361 + 125) = 23060$.

Ответ: 23060.

г)

Как и в примере "б", воспользуемся свойствами сложения для упрощения вычислений, раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые.

$4957 + (8243 + 495) + 7205 = 4957 + 8243 + 495 + 7205$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

1. Найдем сумму первого и второго слагаемых:

$(4957 + 8243) = 13200$

2. Найдем сумму третьего и четвертого слагаемых:

$(495 + 7205) = 7700$

3. Сложим полученные суммы:

$13200 + 7700 = 20900$

Ответ: 20900.

5. a) $468 - 396 : (42 - 42 : 7) + 8;$

б) $324 - 297 : (36 - 36 : 4) + 5;$

в) $4221 - 294 : (98 : 14 - 5);$

г) $5864 - 79 : (72 : 9 - 7) + 1001.$

а)

Для решения примера $468 - 396 : (42 - 42 : 7) + 8$ необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, при этом деление имеет приоритет перед вычитанием. Затем выполняются остальные действия: деление, вычитание и сложение.

1. Выполним деление в скобках: $42 : 7 = 6$.

2. Выполним вычитание в скобках: $42 - 6 = 36$.

3. Теперь выражение выглядит так: $468 - 396 : 36 + 8$. Выполним деление: $396 : 36 = 11$.

4. Далее выполняем вычитание: $468 - 11 = 457$.

5. Последнее действие — сложение: $457 + 8 = 465$.

Ответ: 465

б)

Решим пример $324 - 297 : (36 - 36 : 4) + 5$ по действиям. Порядок действий аналогичен предыдущему примеру: сначала скобки (деление, затем вычитание), потом деление, затем вычитание и сложение слева направо.

1. Деление в скобках: $36 : 4 = 9$.

2. Вычитание в скобках: $36 - 9 = 27$.

3. Выражение принимает вид: $324 - 297 : 27 + 5$. Выполняем деление: $297 : 27 = 11$.

4. Выполняем вычитание: $324 - 11 = 313$.

5. Выполняем сложение: $313 + 5 = 318$.

Ответ: 318

в)

Решим пример $4221 - 294 : (98 : 14 - 5)$. Сначала выполняем действия в скобках.

1. Деление в скобках: $98 : 14 = 7$.

2. Вычитание в скобках: $7 - 5 = 2$.

3. Теперь выражение выглядит так: $4221 - 294 : 2$. Выполняем деление: $294 : 2 = 147$.

4. Последнее действие — вычитание: $4221 - 147 = 4074$.

Ответ: 4074

г)

Решим пример $5864 - 79 : (72 : 9 - 7) + 1001$. Соблюдаем порядок действий.

1. Деление в скобках: $72 : 9 = 8$.

2. Вычитание в скобках: $8 - 7 = 1$.

3. Выражение принимает вид: $5864 - 79 : 1 + 1001$. Выполняем деление: $79 : 1 = 79$.

4. Выполняем вычитание: $5864 - 79 = 5785$.

5. Выполняем сложение: $5785 + 1001 = 6786$.

Ответ: 6786

6. а) $ (756 \cdot 242 + 326 \cdot 9) \cdot 0; $

б) $ 14304 : 596 \cdot (777 : 7 - 888 : 8). $

а) $(756 \cdot 242 + 326 \cdot 9) \cdot 0$

В данном выражении результат вычислений в скобках умножается на ноль. Согласно свойству умножения, произведение любого числа на ноль равно нулю. Следовательно, результат всего выражения равен 0, независимо от значения в скобках.

Для проверки выполним действия по порядку:
1) $756 \cdot 242 = 182952$
2) $326 \cdot 9 = 2934$
3) $182952 + 2934 = 185886$
4) $185886 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б) $14304 : 596 \cdot (777 : 7 - 888 : 8)$

Решим пример по действиям, соблюдая их правильный порядок: сначала выполняются действия в скобках (деление, затем вычитание), а затем остальные действия слева направо (деление, затем умножение).

1) Первое действие в скобках: $777 : 7 = 111$
2) Второе действие в скобках: $888 : 8 = 111$
3) Третье действие — вычитание в скобках: $111 - 111 = 0$
4) Четвертое действие — деление: $14304 : 596 = 24$
5) Пятое действие — умножение: $24 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

7. a) $248 : 2 - 124 + 963 : 3 - 321 + 4;$

б) $808 : 8 - 909 : 9 + 424 : 2 - 636 : 3 + 5.$

а) $248 : 2 - 124 + 963 : 3 - 321 + 4$

Для решения данного выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются операции деления слева направо, а затем — сложение и вычитание, также в порядке их следования.

1. Выполним первое действие деления: $248 : 2 = 124$.

2. Выполним второе действие деления: $963 : 3 = 321$.

3. Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение:

$124 - 124 + 321 - 321 + 4$

4. Выполним оставшиеся действия сложения и вычитания по порядку слева направо:

$124 - 124 = 0$

$0 + 321 = 321$

$321 - 321 = 0$

$0 + 4 = 4$

Итоговый результат: 4.

Ответ: 4

б) $808 : 8 - 909 : 9 + 424 : 2 - 636 : 3 + 5$

Как и в предыдущем примере, сначала выполняем все операции деления в том порядке, в котором они появляются в выражении, а затем — вычитание и сложение.

1. Выполним операции деления слева направо:

Первое деление: $808 : 8 = 101$.

Второе деление: $909 : 9 = 101$.

Третье деление: $424 : 2 = 212$.

Четвертое деление: $636 : 3 = 212$.

2. Подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$101 - 101 + 212 - 212 + 5$

3. Выполним оставшиеся действия вычитания и сложения по порядку слева направо:

$101 - 101 = 0$

$0 + 212 = 212$

$212 - 212 = 0$

$0 + 5 = 5$

Итоговый результат: 5.

Ответ: 5

Вычислите, применяя законы арифметических действий (8–9):

8. а) $239 \cdot 324 - 156 \cdot 315 + 156 \cdot 315;$

б) $31905 : 45 + 571 \cdot 33 - 33 \cdot 571;$

в) $22796 : 41 + 505 \cdot 707 - 22796 : 41;$

г) $896 \cdot 127 + 9702 : 77 - 127 \cdot 896.$

а) В выражении $239 \cdot 324 - 156 \cdot 315 + 156 \cdot 315$ два последних слагаемых ($-156 \cdot 315$ и $+156 \cdot 315$) являются противоположными числами, и их сумма равна нулю. Это свойство противоположных чисел.
Таким образом, выражение упрощается:
$239 \cdot 324 - 156 \cdot 315 + 156 \cdot 315 = 239 \cdot 324 + 0 = 239 \cdot 324$.
Вычислим оставшееся произведение:
$239 \cdot 324 = 77436$.
Ответ: $77436$.

б) В выражении $31 905 : 45 + 571 \cdot 33 - 33 \cdot 571$ применим переместительный (коммутативный) закон умножения для последнего слагаемого: $33 \cdot 571 = 571 \cdot 33$.
Тогда выражение примет вид: $31 905 : 45 + 571 \cdot 33 - 571 \cdot 33$.
Слагаемые $+571 \cdot 33$ и $-571 \cdot 33$ в сумме дают ноль.
Выражение упрощается до $31 905 : 45$.
Вычислим частное:
$31 905 : 45 = 709$.
Ответ: $709$.

в) В выражении $22 796 : 41 + 505 \cdot 707 - 22 796 : 41$ применим переместительный (коммутативный) закон сложения, чтобы сгруппировать одинаковые члены:
$(22 796 : 41 - 22 796 : 41) + 505 \cdot 707$.
Разность в скобках равна нулю.
$0 + 505 \cdot 707 = 505 \cdot 707$.
Вычислим оставшееся произведение:
$505 \cdot 707 = 357035$.
Ответ: $357035$.

г) В выражении $896 \cdot 127 + 9702 : 77 - 127 \cdot 896$ применим переместительный закон сложения и умножения.
Сгруппируем члены с одинаковыми множителями: $(896 \cdot 127 - 127 \cdot 896) + 9702 : 77$.
Поскольку $896 \cdot 127 = 127 \cdot 896$, выражение в скобках равно нулю.
$0 + 9702 : 77 = 9702 : 77$.
Вычислим оставшееся частное:
$9702 : 77 = 126$.
Ответ: $126$.

9. a) $35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25;$

б) $36 \cdot 35 - 35 \cdot 34 + 34 \cdot 33 - 33 \cdot 32 + 32 \cdot 31 - 31 \cdot 30 + 30 \cdot 29 - 29 \cdot 28 + 28 \cdot 27 - 27 \cdot 26 + 26 \cdot 25 - 25 \cdot 24.$

а)

Для вычисления суммы $35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25$ сгруппируем слагаемые парами. Сложим первое число с последним, второе с предпоследним и так далее. Это удобно, так как суммы в каждой паре будут одинаковыми.

$(35 + 25) + (33 + 27) + (31 + 29) = 60 + 60 + 60 = 180$.

Сумма трех одинаковых слагаемых равна $3 \cdot 60 = 180$.

Ответ: 180

б)

Рассмотрим выражение $36 \cdot 35 - 35 \cdot 34 + 34 \cdot 33 - 33 \cdot 32 + 32 \cdot 31 - 31 \cdot 30 + 30 \cdot 29 - 29 \cdot 28 + 28 \cdot 27 - 27 \cdot 26 + 26 \cdot 25 - 25 \cdot 24$.

Для упрощения вычислений сгруппируем слагаемые попарно и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки:

$(36 \cdot 35 - 35 \cdot 34) + (34 \cdot 33 - 33 \cdot 32) + (32 \cdot 31 - 31 \cdot 30) + (30 \cdot 29 - 29 \cdot 28) + (28 \cdot 27 - 27 \cdot 26) + (26 \cdot 25 - 25 \cdot 24)$

Выносим множители:

$= 35 \cdot (36 - 34) + 33 \cdot (34 - 32) + 31 \cdot (32 - 30) + 29 \cdot (30 - 28) + 27 \cdot (28 - 26) + 25 \cdot (26 - 24)$

Выполним вычитание в каждой скобке. Заметим, что разность везде равна 2.

$= 35 \cdot 2 + 33 \cdot 2 + 31 \cdot 2 + 29 \cdot 2 + 27 \cdot 2 + 25 \cdot 2$

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки:

$= 2 \cdot (35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25)$

Выражение в скобках — это в точности сумма из пункта а), которая, как мы уже вычислили, равна 180.

Следовательно, получаем:

$2 \cdot 180 = 360$.

Ответ: 360

10. а) Вычислите:

$7 \cdot 11;$

$24 \cdot 101;$

$378 \cdot 1001;$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77;$

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424.$

б) Докажите, не выполняя всех вычислений, что:

$275 \cdot 346346 - 346 \cdot 275275 = 0;$

$1996 \cdot 19971997 - 1997 \cdot 19961996 = 0.$

а) Вычислим значения выражений:

$7 \cdot 11 = 77$

$24 \cdot 101 = 24 \cdot (100 + 1) = 24 \cdot 100 + 24 \cdot 1 = 2400 + 24 = 2424$

$378 \cdot 1001 = 378 \cdot (1000 + 1) = 378 \cdot 1000 + 378 \cdot 1 = 378000 + 378 = 378378$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77 = 7 \cdot (2 \cdot 11) - 2 \cdot (7 \cdot 11) = (7 \cdot 2 \cdot 11) - (2 \cdot 7 \cdot 11) = 154 - 154 = 0$.
Здесь уменьшаемое и вычитаемое равны, поэтому их разность равна нулю.

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424$.
Заметим, что $1313 = 13 \cdot 101$ и $2424 = 24 \cdot 101$.
Подставим эти значения в выражение:
$24 \cdot (13 \cdot 101) - 13 \cdot (24 \cdot 101)$.
Используя сочетательное и переместительное свойства умножения, получаем:
$(24 \cdot 13 \cdot 101) - (13 \cdot 24 \cdot 101)$.
Так как оба члена выражения равны, их разность равна нулю.

Ответ: $77$; $2424$; $378378$; $0$; $0$.

б) Докажем равенства, не выполняя всех вычислений.

1) $275 \cdot 346\,346 - 346 \cdot 275\,275 = 0$
Заметим, что число, состоящее из двух повторений трехзначного числа $\overline{abc}$, можно записать как $\overline{abc} \cdot 1001$. Это следует из того, что $\overline{abcabc} = \overline{abc} \cdot 1000 + \overline{abc} = \overline{abc} \cdot (1000+1) = \overline{abc} \cdot 1001$.
Применим это свойство к числам в выражении:
$346\,346 = 346 \cdot 1001$
$275\,275 = 275 \cdot 1001$
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$275 \cdot (346 \cdot 1001) - 346 \cdot (275 \cdot 1001)$
В силу свойств коммутативности и ассоциативности умножения, мы можем записать:
$(275 \cdot 346 \cdot 1001) - (346 \cdot 275 \cdot 1001)$
Поскольку $275 \cdot 346 = 346 \cdot 275$, мы получаем разность двух одинаковых чисел, которая равна нулю. Равенство доказано.

2) $1996 \cdot 19\,971\,997 - 1997 \cdot 19\,961\,996 = 0$
Аналогично предыдущему пункту, число, состоящее из двух повторений четырехзначного числа $\overline{abcd}$, можно записать как $\overline{abcd} \cdot 10001$.
Следовательно:
$19\,971\,997 = 1997 \cdot 10001$
$19\,961\,996 = 1996 \cdot 10001$
Подставим эти значения в выражение:
$1996 \cdot (1997 \cdot 10001) - 1997 \cdot (1996 \cdot 10001)$
Перегруппировав множители, получим:
$(1996 \cdot 1997 \cdot 10001) - (1997 \cdot 1996 \cdot 10001)$
Поскольку $1996 \cdot 1997 = 1997 \cdot 1996$, выражение равно нулю. Равенство доказано.

Ответ: Равенства доказаны.

11. Проверьте справедливость равенств:

$10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$, $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$.

Используя данные равенства, вычислите:

a) $(10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2) : 365$;

б) $(3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3) : 54.$

Сначала проверим справедливость данных равенств.

Для первого равенства $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$:

Вычислим левую часть: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365$.
Вычислим правую часть: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$.
Поскольку $365 = 365$, равенство верно.

Для второго равенства $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$:

Вычислим левую часть: $3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.
Вычислим правую часть: $6^3 = 216$.
Поскольку $216 = 216$, это равенство также верно.

Теперь вычислим значения выражений, используя эти равенства.

а) $(10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2) : 365$

Выражение в скобках можно представить в виде суммы двух групп: $( (10^2 + 11^2 + 12^2) + (13^2 + 14^2) )$.
Из первого проверенного равенства мы знаем, что $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$. А также мы вычислили, что обе эти части равны 365.
Тогда выражение в скобках равно $365 + 365 = 730$.
Выполним деление: $730 : 365 = 2$.
Ответ: 2

б) $(3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3) : 54$

Используем второе проверенное равенство $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$.
Заменим сумму $(3^3 + 4^3 + 5^3)$ в исходном выражении на $6^3$.
Получим: $(6^3 + 6^3) : 54$.
Это равно $(2 \cdot 6^3) : 54$.
Мы знаем, что $6^3 = 216$.
Подставляем значение: $(2 \cdot 216) : 54 = 432 : 54 = 8$.
Ответ: 8

12. Проверьте справедливость равенств:

$1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3$;

$11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$;

$108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$.

Используя данные равенства, вычислите:

a) ($1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3$) : 27;

б) ($11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3$) : 1000;

в) ($108^2 + 109^2 + 110^2 - 133^2 - 134^2$) : 365.

Сначала проверим справедливость данных равенств, выполнив вычисления для левой и правой частей каждого из них.

1. Равенство $1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3$:

• Левая часть: $1^3 + 6^3 + 8^3 = 1 + 216 + 512 = 729$.
• Правая часть: $9^3 = 729$.

Поскольку $729 = 729$, равенство справедливо.

2. Равенство $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$:

• Левая часть: $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 1331 + 1728 + 2197 + 2744 = 8000$.
• Правая часть: $20^3 = 8000$.

Поскольку $8000 = 8000$, равенство справедливо.

3. Равенство $108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$:

• Левая часть: $108^2 + 109^2 + 110^2 = 11664 + 11881 + 12100 = 35645$.
• Правая часть: $133^2 + 134^2 = 17689 + 17956 = 35645$.

Поскольку $35645 = 35645$, равенство справедливо.

Теперь, используя доказанную справедливость равенств, вычислим значения выражений.

а) $(1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3) : 27$
В данном выражении заменим сумму $1^3 + 6^3 + 8^3$ на равное ей значение $9^3$, как было установлено в первом равенстве.
$(1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3) : 27 = (9^3 + 9^3) : 27 = (2 \cdot 9^3) : 27$
Так как $9^3 = 729$, получаем:
$(2 \cdot 729) : 27 = 1458 : 27 = 54$.
Ответ: 54

б) $(11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3) : 1000$
Используем второе равенство $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$ и подставим его в выражение.
$(11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3) : 1000 = (20^3 + 20^3) : 1000 = (2 \cdot 20^3) : 1000$
Так как $20^3 = 8000$, получаем:
$(2 \cdot 8000) : 1000 = 16000 : 1000 = 16$.
Ответ: 16

в) $(108^2 + 109^2 + 110^2 - 133^2 - 134^2) : 365$
Из третьего равенства мы знаем, что $108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$.
Это означает, что разность между левой и правой частями этого равенства равна нулю:
$(108^2 + 109^2 + 110^2) - (133^2 + 134^2) = 0$.
Таким образом, значение всего выражения в скобках равно 0.
$0 : 365 = 0$.
Ответ: 0