Номер 19, страница 274 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 19, страница 274.

Условие.

19. Разность двух нечётных чисел равна 8. Докажите, что эти числа взаимно простые.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть даны два нечётных числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Для определённости предположим, что $a > b$. По условию задачи, их разность равна 8: $a - b = 8$.

Нам необходимо доказать, что эти числа являются взаимно простыми. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$. По определению НОД, число $d$ должно делить как $a$, так и $b$. Из свойств делимости следует, что если число делит два других числа, то оно делит и их разность. Таким образом, $d$ должен делить разность $(a - b)$.

Так как $a - b = 8$, то $d$ является делителем числа 8. Натуральные делители числа 8 — это 1, 2, 4, 8. Значит, $d$ может быть одним из этих чисел.

С другой стороны, по условию задачи, числа $a$ и $b$ — нечётные. Любой общий делитель двух нечётных чисел также должен быть нечётным. Следовательно, их наибольший общий делитель $d$ также должен быть нечётным числом.

Сравнивая два условия для $d$, мы видим, что $d$ должен быть делителем числа 8 и одновременно быть нечётным. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это 1.

Следовательно, $\text{НОД}(a, b) = 1$. Это означает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку любой общий делитель этих чисел должен быть нечётным делителем их разности (числа 8), единственным таким делителем является 1. Следовательно, числа взаимно простые.