Номер 16, страница 274 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 16, страница 274.

Условие.

16. Два ученика по очереди пишут цифры десятизначного числа.

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

Да, второй ученик может этого добиться. Для этого ему достаточно придерживаться определенной стратегии на своем последнем ходу.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Обозначим итоговое десятизначное число как $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8 d_9 d_{10}$. Первый ученик ставит цифры на нечетные позиции ($d_1, d_3, \dots, d_9$), а второй — на четные ($d_2, d_4, \dots, d_{10}$). Всего каждый ученик делает по 5 ходов.

Ключевым моментом является то, что второй ученик делает последний, десятый ход. К началу его последнего хода уже записаны первые девять цифр, и их сумма $S_9 = d_1 + d_2 + \dots + d_9$ известна. Второму ученику нужно выбрать последнюю цифру $d_{10}$ так, чтобы итоговая сумма $S = S_9 + d_{10}$ делилась на 3.

Рассмотрим, какой может быть сумма $S_9$ по модулю 3:

1. Если $S_9$ делится на 3, то есть $S_9 \equiv 0 \pmod 3$, то второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая также делится на 3. У него есть выбор: 0, 3, 6 или 9.
2. Если $S_9$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 1 \pmod 3$, то второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 2 при делении на 3 (так как $1+2=3$). У него есть выбор: 2, 5 или 8.
3. Если $S_9$ дает остаток 2 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 2 \pmod 3$, то второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 1 при делении на 3 (так как $2+1=3$). У него есть выбор: 1, 4 или 7.

Таким образом, независимо от того, какие цифры ставил первый ученик (и какие цифры сам второй ученик ставил до этого), на последнем ходу у второго ученика всегда есть хотя бы три варианта для выбора цифры $d_{10}$, чтобы итоговая сумма цифр делилась на 3. Следовательно, второй ученик всегда может добиться своей цели.

Ответ: Да, может.

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

Нет, первый ученик не может этого гарантировать.

Аналогично пункту а), число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр $S$ делится на 9. Первый ученик хочет, чтобы итоговая сумма $S$ была кратна 9, а второй ученик — чтобы не была кратна 9.

И снова решающим является последний ход, который делает второй ученик. К моменту выбора цифры $d_{10}$ сумма первых девяти цифр $S_9$ уже определена. Цель первого ученика будет достигнута, если второй ученик будет вынужден поставить такую цифру $d_{10}$, что $S_9 + d_{10}$ будет кратно 9.

Однако второй ученик может этому помешать. Его задача — выбрать $d_{10}$ так, чтобы $S_9 + d_{10}$ не делилось на 9. Для любого значения $S_9$ существует ровно одна цифра (или две, если остаток 0), которую нужно прибавить, чтобы получить сумму, кратную 9.

Пусть $k$ — это остаток от деления $S_9$ на 9 ($k = S_9 \pmod 9$). Чтобы итоговая сумма делилась на 9, второй ученик должен был бы выбрать цифру $d_{10}$, которая удовлетворяет условию $d_{10} \equiv (9-k) \pmod 9$.

Задача второго ученика — просто не выбирать такую цифру.

• Если $S_9 \equiv 0 \pmod 9$, то для делимости на 9 нужна цифра $d_{10}$, для которой $d_{10} \equiv 0 \pmod 9$. Это цифры 0 и 9. Второй ученик может выбрать любую другую из восьми оставшихся цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
• Если $S_9$ не делится на 9, то для делимости на 9 нужна ровно одна цифра $d_{10} = (9 - (S_9 \pmod 9))$. Например, если $S_9 \equiv 4 \pmod 9$, нужна цифра 5. Второй ученик может выбрать любую из девяти других цифр.

Поскольку у второго ученика на последнем ходу всегда есть выбор из как минимум восьми цифр, которые не приведут к сумме, кратной 9, он всегда может помешать первому ученику. Следовательно, первый ученик не может гарантировать, что число будет делиться на 9.

Ответ: Нет, не может.