Номер 10, страница 273 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 10, страница 273.

Условие.

10. а) Вычислите:

$7 \cdot 11;$

$24 \cdot 101;$

$378 \cdot 1001;$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77;$

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424.$

б) Докажите, не выполняя всех вычислений, что:

$275 \cdot 346346 - 346 \cdot 275275 = 0;$

$1996 \cdot 19971997 - 1997 \cdot 19961996 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Вычислим значения выражений:

$7 \cdot 11 = 77$

$24 \cdot 101 = 24 \cdot (100 + 1) = 24 \cdot 100 + 24 \cdot 1 = 2400 + 24 = 2424$

$378 \cdot 1001 = 378 \cdot (1000 + 1) = 378 \cdot 1000 + 378 \cdot 1 = 378000 + 378 = 378378$

$7 \cdot 22 - 2 \cdot 77 = 7 \cdot (2 \cdot 11) - 2 \cdot (7 \cdot 11) = (7 \cdot 2 \cdot 11) - (2 \cdot 7 \cdot 11) = 154 - 154 = 0$.
Здесь уменьшаемое и вычитаемое равны, поэтому их разность равна нулю.

$24 \cdot 1313 - 13 \cdot 2424$.
Заметим, что $1313 = 13 \cdot 101$ и $2424 = 24 \cdot 101$.
Подставим эти значения в выражение:
$24 \cdot (13 \cdot 101) - 13 \cdot (24 \cdot 101)$.
Используя сочетательное и переместительное свойства умножения, получаем:
$(24 \cdot 13 \cdot 101) - (13 \cdot 24 \cdot 101)$.
Так как оба члена выражения равны, их разность равна нулю.

Ответ: $77$; $2424$; $378378$; $0$; $0$.

б) Докажем равенства, не выполняя всех вычислений.

1) $275 \cdot 346\,346 - 346 \cdot 275\,275 = 0$
Заметим, что число, состоящее из двух повторений трехзначного числа $\overline{abc}$, можно записать как $\overline{abc} \cdot 1001$. Это следует из того, что $\overline{abcabc} = \overline{abc} \cdot 1000 + \overline{abc} = \overline{abc} \cdot (1000+1) = \overline{abc} \cdot 1001$.
Применим это свойство к числам в выражении:
$346\,346 = 346 \cdot 1001$
$275\,275 = 275 \cdot 1001$
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$275 \cdot (346 \cdot 1001) - 346 \cdot (275 \cdot 1001)$
В силу свойств коммутативности и ассоциативности умножения, мы можем записать:
$(275 \cdot 346 \cdot 1001) - (346 \cdot 275 \cdot 1001)$
Поскольку $275 \cdot 346 = 346 \cdot 275$, мы получаем разность двух одинаковых чисел, которая равна нулю. Равенство доказано.

2) $1996 \cdot 19\,971\,997 - 1997 \cdot 19\,961\,996 = 0$
Аналогично предыдущему пункту, число, состоящее из двух повторений четырехзначного числа $\overline{abcd}$, можно записать как $\overline{abcd} \cdot 10001$.
Следовательно:
$19\,971\,997 = 1997 \cdot 10001$
$19\,961\,996 = 1996 \cdot 10001$
Подставим эти значения в выражение:
$1996 \cdot (1997 \cdot 10001) - 1997 \cdot (1996 \cdot 10001)$
Перегруппировав множители, получим:
$(1996 \cdot 1997 \cdot 10001) - (1997 \cdot 1996 \cdot 10001)$
Поскольку $1996 \cdot 1997 = 1997 \cdot 1996$, выражение равно нулю. Равенство доказано.

Ответ: Равенства доказаны.