Номер 17, страница 274 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 17, страница 274.

Условие.

17. Делится ли число 12345678910111213...979899 на 3; на 9?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, делится ли число на 3 или на 9, используется признак делимости, основанный на сумме цифр числа. Если сумма цифр делится на 3 (или на 9), то и само число делится на 3 (или на 9).

Заданное число образовано последовательной записью всех натуральных чисел от 1 до 99. Следовательно, чтобы найти сумму его цифр, нам нужно найти сумму цифр всех чисел от 1 до 99.

Рассчитаем эту сумму. Рассмотрим все числа от 1 до 99. Удобно сгруппировать их по десяткам.

1. Однозначные числа (1-9):
Сумма их цифр: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.

2. Двузначные числа (10-99):
Можно рассмотреть цифры в разряде десятков и в разряде единиц отдельно.
- Цифры в разряде десятков: цифра '1' встречается 10 раз (от 10 до 19), '2' - 10 раз (от 20 до 29), и так далее до '9' (от 90 до 99). Сумма цифр в разряде десятков: $10 \times (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 10 \times 45 = 450$.
- Цифры в разряде единиц: в каждом десятке (10-19, 20-29, ..., 90-99) встречаются все цифры от 0 до 9. Таких десятков 9 (с первого по девятый). Сумма цифр в разряде единиц: $9 \times (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 9 \times 45 = 405$.

Общая сумма цифр $S$ всего числа равна сумме цифр однозначных и двузначных чисел:
$S = (\text{сумма цифр 1-9}) + (\text{сумма цифр 10-99}) = 45 + (450 + 405) = 45 + 855 = 900$.

Теперь, зная сумму цифр ($S=900$), проверим делимость.

на 3
Проверяем, делится ли сумма цифр $S=900$ на 3.
$900 \div 3 = 300$
Сумма цифр делится на 3 без остатка, следовательно, и исходное число делится на 3.
Ответ: Да, делится.

на 9
Проверяем, делится ли сумма цифр $S=900$ на 9.
$900 \div 9 = 100$
Сумма цифр делится на 9 без остатка, следовательно, и исходное число делится на 9.
Ответ: Да, делится.