Номер 12, страница 273 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 12, страница 273.

Условие.

12. Проверьте справедливость равенств:

$1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3$;

$11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$;

$108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$.

Используя данные равенства, вычислите:

a) ($1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3$) : 27;

б) ($11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3$) : 1000;

в) ($108^2 + 109^2 + 110^2 - 133^2 - 134^2$) : 365.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Сначала проверим справедливость данных равенств, выполнив вычисления для левой и правой частей каждого из них.

1. Равенство $1^3 + 6^3 + 8^3 = 9^3$:

• Левая часть: $1^3 + 6^3 + 8^3 = 1 + 216 + 512 = 729$.
• Правая часть: $9^3 = 729$.

Поскольку $729 = 729$, равенство справедливо.

2. Равенство $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$:

• Левая часть: $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 1331 + 1728 + 2197 + 2744 = 8000$.
• Правая часть: $20^3 = 8000$.

Поскольку $8000 = 8000$, равенство справедливо.

3. Равенство $108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$:

• Левая часть: $108^2 + 109^2 + 110^2 = 11664 + 11881 + 12100 = 35645$.
• Правая часть: $133^2 + 134^2 = 17689 + 17956 = 35645$.

Поскольку $35645 = 35645$, равенство справедливо.

Теперь, используя доказанную справедливость равенств, вычислим значения выражений.

а) $(1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3) : 27$
В данном выражении заменим сумму $1^3 + 6^3 + 8^3$ на равное ей значение $9^3$, как было установлено в первом равенстве.
$(1^3 + 6^3 + 8^3 + 9^3) : 27 = (9^3 + 9^3) : 27 = (2 \cdot 9^3) : 27$
Так как $9^3 = 729$, получаем:
$(2 \cdot 729) : 27 = 1458 : 27 = 54$.
Ответ: 54

б) $(11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3) : 1000$
Используем второе равенство $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 20^3$ и подставим его в выражение.
$(11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 + 20^3) : 1000 = (20^3 + 20^3) : 1000 = (2 \cdot 20^3) : 1000$
Так как $20^3 = 8000$, получаем:
$(2 \cdot 8000) : 1000 = 16000 : 1000 = 16$.
Ответ: 16

в) $(108^2 + 109^2 + 110^2 - 133^2 - 134^2) : 365$
Из третьего равенства мы знаем, что $108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2$.
Это означает, что разность между левой и правой частями этого равенства равна нулю:
$(108^2 + 109^2 + 110^2) - (133^2 + 134^2) = 0$.
Таким образом, значение всего выражения в скобках равно 0.
$0 : 365 = 0$.
Ответ: 0