Номер 18, страница 274 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 18, страница 274.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

18. Докажите, что если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число кратно 11.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть дано произвольное трёхзначное число. Обозначим его цифры слева направо как $a$, $b$ и $c$. Это означает, что $a$ — цифра в разряде сотен, $b$ — в разряде десятков, а $c$ — в разряде единиц. Любое такое число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых:

$N = 100a + 10b + c$

Согласно условию задачи, средняя цифра равна сумме крайних цифр. В наших обозначениях это можно записать в виде равенства:

$b = a + c$

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу, представляющую наше трёхзначное число:

$N = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$N = 100a + 10a + 10c + c$

$N = 110a + 11c$

Теперь мы можем вынести общий множитель 11 за скобки:

$N = 11(10a + c)$

Так как $a$ и $c$ — это цифры (являются целыми числами), то выражение в скобках $(10a + c)$ также является целым числом. Полученная запись означает, что наше число $N$ является произведением числа 11 и некоторого целого числа. По определению, это означает, что число $N$ делится на 11 нацело, то есть кратно 11. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано. Если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, его можно представить в виде $11 \cdot (10a + c)$, где $a$ — цифра сотен, а $c$ — цифра единиц. Так как это выражение является произведением числа 11 и целого числа $(10a+c)$, исходное число всегда кратно 11.