Страница 274 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите значение числового выражения (13-15):

13. а) $-640 \div (-80) - 560 \div 7 + 490 \div 7;$

б) $-540 \div 9 + (-450) \div 5 + 160;$

в) $720 \div (-36) - 840 \div (-42) - 753;$

г) $-860 \div 20 - 625 \div 25 + 75.$

а) $-640 \div (-80) - 560 \div 7 + 490 \div 7$

Для нахождения значения числового выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции деления, а затем — вычитание и сложение в порядке их следования (слева направо).

1. Первое действие — деление: $-640 \div (-80) = 8$.

2. Второе действие — деление: $560 \div 7 = 80$.

3. Третье действие — деление: $490 \div 7 = 70$.

4. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$8 - 80 + 70 = -72 + 70 = -2$.

Полное решение выглядит так: $-640 \div (-80) - 560 \div 7 + 490 \div 7 = 8 - 80 + 70 = -2$.

Ответ: -2

б) $-540 \div 9 + (-450) \div 5 + 160$

Сначала выполняем деление, затем сложение.

1. Первое деление: $-540 \div 9 = -60$.

2. Второе деление: $(-450) \div 5 = -90$.

3. Подставляем результаты в выражение и складываем:

$-60 + (-90) + 160 = -60 - 90 + 160 = -150 + 160 = 10$.

Полное решение: $-540 \div 9 + (-450) \div 5 + 160 = -60 - 90 + 160 = 10$.

Ответ: 10

в) $720 \div (-36) - 840 \div (-42) - 753$

Выполняем операции деления перед вычитанием.

1. Первое деление: $720 \div (-36) = -20$.

2. Второе деление: $840 \div (-42) = -20$.

3. Подставляем результаты в выражение: $-20 - (-20) - 753$.

4. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением. Выполняем действия слева направо:

$-20 + 20 - 753 = 0 - 753 = -753$.

Полное решение: $720 \div (-36) - 840 \div (-42) - 753 = -20 - (-20) - 753 = -20 + 20 - 753 = -753$.

Ответ: -753

г) $-860 \div 20 - 625 \div 25 + 75$

Следуем порядку действий: сначала деление, потом вычитание и сложение.

1. Первое деление: $-860 \div 20 = -43$.

2. Второе деление: $625 \div 25 = 25$.

3. Подставляем полученные значения и выполняем оставшиеся действия:

$-43 - 25 + 75 = -68 + 75 = 7$.

Полное решение: $-860 \div 20 - 625 \div 25 + 75 = -43 - 25 + 75 = 7$.

Ответ: 7

14. a) $222 : (-3996 : 54) + 333;$

Б) $-2376 : (-625 : 25 + 49);$

б) $256 \cdot (37 \cdot (-9) + 33) : (-1200);$

Г) $5100 : (-2279 : 53 + 26) \cdot (-17).$

а) $222 : (-3996 : 54) + 333$

Решим задачу по действиям, соблюдая правильный порядок выполнения операций: сначала действия в скобках, затем деление и сложение.

1. Выполним деление внутри скобок: $-3996 : 54$.

   $3996 : 54 = 74$.

   Следовательно, $-3996 : 54 = -74$.

2. Теперь выполним деление: $222 : (-74)$.

   Так как мы делим положительное число на отрицательное, результат будет отрицательным.

   $222 : (-74) = -3$.

3. И, наконец, выполним сложение:

   $-3 + 333 = 330$.

Ответ: 330.

б) $256 \cdot (37 \cdot (-9) + 33) : (-1200)$

Решим задачу по действиям: сначала операции в скобках (умножение, затем сложение), после чего умножение и деление слева направо.

1. Выполним умножение в скобках: $37 \cdot (-9)$.

   $37 \cdot (-9) = -333$.

2. Выполним сложение в скобках: $-333 + 33$.

   $-333 + 33 = -300$.

3. Теперь выполним умножение: $256 \cdot (-300)$.

   $256 \cdot (-300) = -76800$.

4. Выполним деление: $-76800 : (-1200)$.

   При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.

   $76800 : 1200 = 768 : 12 = 64$.

Ответ: 64.

в) $-2376 : (-625 : 25 + 49)$

Решим задачу по действиям: сначала операции в скобках (деление, затем сложение), а после этого основное деление.

1. Выполним деление в скобках: $-625 : 25$.

   $-625 : 25 = -25$.

2. Выполним сложение в скобках: $-25 + 49$.

   $-25 + 49 = 24$.

3. Выполним основное деление: $-2376 : 24$.

   При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.

   $-2376 : 24 = -99$.

Ответ: -99.

г) $5100 : (-2279 : 53 + 26) \cdot (-17)$

Решим задачу по действиям: сначала операции в скобках (деление, затем сложение), после чего деление и умножение слева направо.

1. Выполним деление в скобках: $-2279 : 53$.

   $2279 : 53 = 43$.

   Следовательно, $-2279 : 53 = -43$.

2. Выполним сложение в скобках: $-43 + 26$.

   $-43 + 26 = -17$.

3. Теперь выполним деление: $5100 : (-17)$.

   $5100 : (-17) = -300$.

4. И, наконец, выполним умножение: $-300 \cdot (-17)$.

   При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным.

   $-300 \cdot (-17) = 5100$.

Ответ: 5100.

15. a) $49 \cdot 68 + 51 \cdot 68 + 49 \cdot 12 + 51 \cdot 12;$

б) $87 \cdot 52 - 17 \cdot 52 + 87 \cdot 38 - 17 \cdot 38;$

в) $77 \cdot 99 + 23 \cdot 99 - 77 \cdot 29 - 23 \cdot 29;$

г) $108 \cdot 86 - 86 \cdot 18 - 108 \cdot 56 + 18 \cdot 56;$

д) $428 \cdot 356 + 72 \cdot 356 + 144 \cdot 428 + 72 \cdot 144.$

а) $49 \cdot 68 + 51 \cdot 68 + 49 \cdot 12 + 51 \cdot 12$

Для упрощения выражения сгруппируем слагаемые и применим распределительный закон (вынесение общего множителя за скобки). Сгруппируем слагаемые с общими множителями 49 и 51:
$(49 \cdot 68 + 49 \cdot 12) + (51 \cdot 68 + 51 \cdot 12) = 49 \cdot (68 + 12) + 51 \cdot (68 + 12)$
Теперь вынесем общий множитель $(68 + 12)$ за скобки:
$(49 + 51) \cdot (68 + 12)$
Вычислим значения в скобках и перемножим их:
$100 \cdot 80 = 8000$
Ответ: 8000

б) $87 \cdot 52 - 17 \cdot 52 + 87 \cdot 38 - 17 \cdot 38$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями 87 и 17:
$(87 \cdot 52 + 87 \cdot 38) + (-17 \cdot 52 - 17 \cdot 38) = 87 \cdot (52 + 38) - 17 \cdot (52 + 38)$
Вынесем общий множитель $(52 + 38)$ за скобки:
$(87 - 17) \cdot (52 + 38)$
Вычислим значения в скобках и найдем их произведение:
$70 \cdot 90 = 6300$
Ответ: 6300

в) $77 \cdot 99 + 23 \cdot 99 - 77 \cdot 29 - 23 \cdot 29$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями 99 и 29:
$(77 \cdot 99 + 23 \cdot 99) - (77 \cdot 29 + 23 \cdot 29)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$(77 + 23) \cdot 99 - (77 + 23) \cdot 29$
Теперь вынесем общий множитель $(77 + 23)$ за скобки:
$(77 + 23) \cdot (99 - 29)$
Вычислим значения в скобках и найдем их произведение:
$100 \cdot 70 = 7000$
Ответ: 7000

г) $108 \cdot 86 - 86 \cdot 18 - 108 \cdot 56 + 18 \cdot 56$

Сгруппируем слагаемые, чтобы удобно было выносить общие множители:
$(108 \cdot 86 - 108 \cdot 56) - (18 \cdot 86 - 18 \cdot 56)$
Вынесем общие множители 108 и 18 за скобки:
$108 \cdot (86 - 56) - 18 \cdot (86 - 56)$
Теперь вынесем общий множитель $(86 - 56)$ за скобки:
$(108 - 18) \cdot (86 - 56)$
Вычислим значения в скобках и найдем их произведение:
$90 \cdot 30 = 2700$
Ответ: 2700

д) $428 \cdot 356 + 72 \cdot 356 + 144 \cdot 428 + 72 \cdot 144$

Перегруппируем слагаемые для вынесения общих множителей:
$(428 \cdot 356 + 144 \cdot 428) + (72 \cdot 356 + 72 \cdot 144)$
Вынесем общие множители 428 и 72 за скобки:
$428 \cdot (356 + 144) + 72 \cdot (356 + 144)$
Теперь вынесем общий множитель $(356 + 144)$ за скобки:
$(428 + 72) \cdot (356 + 144)$
Вычислим значения в скобках и найдем их произведение:
$500 \cdot 500 = 250000$
Ответ: 250000

16. Два ученика по очереди пишут цифры десятизначного числа.

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

а) Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 3, если первый старается ему помешать?

Да, второй ученик может этого добиться. Для этого ему достаточно придерживаться определенной стратегии на своем последнем ходу.

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Обозначим итоговое десятизначное число как $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8 d_9 d_{10}$. Первый ученик ставит цифры на нечетные позиции ($d_1, d_3, \dots, d_9$), а второй — на четные ($d_2, d_4, \dots, d_{10}$). Всего каждый ученик делает по 5 ходов.

Ключевым моментом является то, что второй ученик делает последний, десятый ход. К началу его последнего хода уже записаны первые девять цифр, и их сумма $S_9 = d_1 + d_2 + \dots + d_9$ известна. Второму ученику нужно выбрать последнюю цифру $d_{10}$ так, чтобы итоговая сумма $S = S_9 + d_{10}$ делилась на 3.

Рассмотрим, какой может быть сумма $S_9$ по модулю 3:

1. Если $S_9$ делится на 3, то есть $S_9 \equiv 0 \pmod 3$, то второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая также делится на 3. У него есть выбор: 0, 3, 6 или 9.
2. Если $S_9$ дает остаток 1 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 1 \pmod 3$, то второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 2 при делении на 3 (так как $1+2=3$). У него есть выбор: 2, 5 или 8.
3. Если $S_9$ дает остаток 2 при делении на 3, то есть $S_9 \equiv 2 \pmod 3$, то второму ученику нужно выбрать цифру $d_{10}$, которая дает остаток 1 при делении на 3 (так как $2+1=3$). У него есть выбор: 1, 4 или 7.

Таким образом, независимо от того, какие цифры ставил первый ученик (и какие цифры сам второй ученик ставил до этого), на последнем ходу у второго ученика всегда есть хотя бы три варианта для выбора цифры $d_{10}$, чтобы итоговая сумма цифр делилась на 3. Следовательно, второй ученик всегда может добиться своей цели.

Ответ: Да, может.

б) Может ли первый ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если второй старается ему помешать?

Нет, первый ученик не может этого гарантировать.

Аналогично пункту а), число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр $S$ делится на 9. Первый ученик хочет, чтобы итоговая сумма $S$ была кратна 9, а второй ученик — чтобы не была кратна 9.

И снова решающим является последний ход, который делает второй ученик. К моменту выбора цифры $d_{10}$ сумма первых девяти цифр $S_9$ уже определена. Цель первого ученика будет достигнута, если второй ученик будет вынужден поставить такую цифру $d_{10}$, что $S_9 + d_{10}$ будет кратно 9.

Однако второй ученик может этому помешать. Его задача — выбрать $d_{10}$ так, чтобы $S_9 + d_{10}$ не делилось на 9. Для любого значения $S_9$ существует ровно одна цифра (или две, если остаток 0), которую нужно прибавить, чтобы получить сумму, кратную 9.

Пусть $k$ — это остаток от деления $S_9$ на 9 ($k = S_9 \pmod 9$). Чтобы итоговая сумма делилась на 9, второй ученик должен был бы выбрать цифру $d_{10}$, которая удовлетворяет условию $d_{10} \equiv (9-k) \pmod 9$.

Задача второго ученика — просто не выбирать такую цифру.

• Если $S_9 \equiv 0 \pmod 9$, то для делимости на 9 нужна цифра $d_{10}$, для которой $d_{10} \equiv 0 \pmod 9$. Это цифры 0 и 9. Второй ученик может выбрать любую другую из восьми оставшихся цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
• Если $S_9$ не делится на 9, то для делимости на 9 нужна ровно одна цифра $d_{10} = (9 - (S_9 \pmod 9))$. Например, если $S_9 \equiv 4 \pmod 9$, нужна цифра 5. Второй ученик может выбрать любую из девяти других цифр.

Поскольку у второго ученика на последнем ходу всегда есть выбор из как минимум восьми цифр, которые не приведут к сумме, кратной 9, он всегда может помешать первому ученику. Следовательно, первый ученик не может гарантировать, что число будет делиться на 9.

Ответ: Нет, не может.

17. Делится ли число 12345678910111213...979899 на 3; на 9?

Для того чтобы определить, делится ли число на 3 или на 9, используется признак делимости, основанный на сумме цифр числа. Если сумма цифр делится на 3 (или на 9), то и само число делится на 3 (или на 9).

Заданное число образовано последовательной записью всех натуральных чисел от 1 до 99. Следовательно, чтобы найти сумму его цифр, нам нужно найти сумму цифр всех чисел от 1 до 99.

Рассчитаем эту сумму. Рассмотрим все числа от 1 до 99. Удобно сгруппировать их по десяткам.

1. Однозначные числа (1-9):
Сумма их цифр: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.

2. Двузначные числа (10-99):
Можно рассмотреть цифры в разряде десятков и в разряде единиц отдельно.
- Цифры в разряде десятков: цифра '1' встречается 10 раз (от 10 до 19), '2' - 10 раз (от 20 до 29), и так далее до '9' (от 90 до 99). Сумма цифр в разряде десятков: $10 \times (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 10 \times 45 = 450$.
- Цифры в разряде единиц: в каждом десятке (10-19, 20-29, ..., 90-99) встречаются все цифры от 0 до 9. Таких десятков 9 (с первого по девятый). Сумма цифр в разряде единиц: $9 \times (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 9 \times 45 = 405$.

Общая сумма цифр $S$ всего числа равна сумме цифр однозначных и двузначных чисел:
$S = (\text{сумма цифр 1-9}) + (\text{сумма цифр 10-99}) = 45 + (450 + 405) = 45 + 855 = 900$.

Теперь, зная сумму цифр ($S=900$), проверим делимость.

на 3
Проверяем, делится ли сумма цифр $S=900$ на 3.
$900 \div 3 = 300$
Сумма цифр делится на 3 без остатка, следовательно, и исходное число делится на 3.
Ответ: Да, делится.

на 9
Проверяем, делится ли сумма цифр $S=900$ на 9.
$900 \div 9 = 100$
Сумма цифр делится на 9 без остатка, следовательно, и исходное число делится на 9.
Ответ: Да, делится.

ДОКАЗЫВАЕМ

18. Докажите, что если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число кратно 11.

Пусть дано произвольное трёхзначное число. Обозначим его цифры слева направо как $a$, $b$ и $c$. Это означает, что $a$ — цифра в разряде сотен, $b$ — в разряде десятков, а $c$ — в разряде единиц. Любое такое число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых:

$N = 100a + 10b + c$

Согласно условию задачи, средняя цифра равна сумме крайних цифр. В наших обозначениях это можно записать в виде равенства:

$b = a + c$

Теперь подставим это выражение для $b$ в формулу, представляющую наше трёхзначное число:

$N = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$N = 100a + 10a + 10c + c$

$N = 110a + 11c$

Теперь мы можем вынести общий множитель 11 за скобки:

$N = 11(10a + c)$

Так как $a$ и $c$ — это цифры (являются целыми числами), то выражение в скобках $(10a + c)$ также является целым числом. Полученная запись означает, что наше число $N$ является произведением числа 11 и некоторого целого числа. По определению, это означает, что число $N$ делится на 11 нацело, то есть кратно 11. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано. Если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, его можно представить в виде $11 \cdot (10a + c)$, где $a$ — цифра сотен, а $c$ — цифра единиц. Так как это выражение является произведением числа 11 и целого числа $(10a+c)$, исходное число всегда кратно 11.

19. Разность двух нечётных чисел равна 8. Докажите, что эти числа взаимно простые.

Пусть даны два нечётных числа, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Для определённости предположим, что $a > b$. По условию задачи, их разность равна 8: $a - b = 8$.

Нам необходимо доказать, что эти числа являются взаимно простыми. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$. По определению НОД, число $d$ должно делить как $a$, так и $b$. Из свойств делимости следует, что если число делит два других числа, то оно делит и их разность. Таким образом, $d$ должен делить разность $(a - b)$.

Так как $a - b = 8$, то $d$ является делителем числа 8. Натуральные делители числа 8 — это 1, 2, 4, 8. Значит, $d$ может быть одним из этих чисел.

С другой стороны, по условию задачи, числа $a$ и $b$ — нечётные. Любой общий делитель двух нечётных чисел также должен быть нечётным. Следовательно, их наибольший общий делитель $d$ также должен быть нечётным числом.

Сравнивая два условия для $d$, мы видим, что $d$ должен быть делителем числа 8 и одновременно быть нечётным. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это 1.

Следовательно, $\text{НОД}(a, b) = 1$. Это означает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку любой общий делитель этих чисел должен быть нечётным делителем их разности (числа 8), единственным таким делителем является 1. Следовательно, числа взаимно простые.

20. Чтобы узнать, является ли число 2503 простым, его стали по-следовательно делить на простые числа: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$. На каком простом числе можно прекратить испытание?

Чтобы определить, является ли число $n$ простым, достаточно проверить его делимость на все простые числа $p$, которые не превышают квадратный корень из $n$ (то есть, $p \le \sqrt{n}$). Если число $n$ не делится ни на одно из этих простых чисел, то оно является простым. Это следует из того, что если составное число $n$ можно представить в виде произведения двух множителей $a$ и $b$ ($n = a \cdot b$), то хотя бы один из этих множителей будет меньше или равен $\sqrt{n}$.

В данном случае мы проверяем число 2503. Найдём, до какого простого числа нужно проводить проверку. Для этого вычислим квадратный корень из 2503.

Оценим значение $\sqrt{2503}$:

$50^2 = 2500$

$51^2 = 2601$

Поскольку $2500 < 2503 < 2601$, то и $\sqrt{2500} < \sqrt{2503} < \sqrt{2601}$, а значит $50 < \sqrt{2503} < 51$.

Таким образом, нам нужно проверить делимость числа 2503 на все простые числа, которые меньше или равны $\sqrt{2503}$, то есть на все простые числа до 50.

Перечислим простые числа, не превышающие 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Последнее простое число в этом списке, на которое нужно проверить делимость, — это 47. Если 2503 не разделится ни на одно из этих чисел, можно будет сделать вывод, что оно простое, и дальнейшие проверки не потребуются.

Ответ: 47

21. Из утверждений «А делится на 2», «А делится на 4», «А делится на 8», «А делится на 16» три верных, а одно неверное. Какое? Объясните ваш ответ.

Неверным является утверждение «А делится на 16».

Данные четыре утверждения о делимости числа А логически связаны. Делители 2, 4, 8, 16 — это последовательные степени числа 2 ($2^1, 2^2, 2^3, 2^4$). Из свойств делимости следует, что если число делится на старшую степень, оно обязательно делится и на все младшие.

В нашем случае это означает, что:
• если «А делится на 16» верно, то верны и все остальные утверждения (так как 16 делится на 8, 4 и 2).
• если «А делится на 8» верно, то верны и утверждения «А делится на 4» и «А делится на 2».
• если «А делится на 4» верно, то верно и утверждение «А делится на 2».

По условию, из четырёх утверждений три верных и одно неверное. Разберем все возможные варианты, чтобы найти единственный неверный тезис.

1. Предположим, неверно утверждение «А делится на 2». Тогда А — нечетное число, и оно не может делиться на 4, 8 или 16. В этом случае все четыре утверждения были бы неверными, что противоречит условию.

2. Предположим, неверно утверждение «А делится на 4». Тогда А не может делиться и на 8, и на 16 (так как 8 и 16 кратны 4). В этом случае неверными были бы как минимум три утверждения, что противоречит условию.

3. Предположим, неверно утверждение «А делится на 8». Тогда А не может делиться и на 16. В этом случае неверными были бы как минимум два утверждения, что противоречит условию.

4. Предположим, неверно утверждение «А делится на 16». В этом случае остальные три утверждения («А делится на 8», «А делится на 4», «А делится на 2») должны быть верными. Эта ситуация логически непротиворечива. Если «А делится на 8» — верное утверждение, то из этого автоматически следует, что А делится на 4 и на 2. Таким образом, мы получаем три верных утверждения. Примером такого числа А может быть 8 (8 делится на 2, 4, 8, но не на 16) или 24.

Этот единственный вариант полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Неверное утверждение — «А делится на 16».

22. Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 2, ни на 3?

Для решения этой задачи определим, сколько чисел от 1 до 100 делится на 2, сколько на 3, а затем воспользуемся принципом включения-исключения, чтобы найти искомое количество.

1. Количество чисел, делящихся на 2.

Чтобы найти количество чисел от 1 до 100, которые делятся на 2, нужно 100 разделить на 2 и взять целую часть:

$N_2 = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

Всего 50 чисел делятся на 2.

2. Количество чисел, делящихся на 3.

Аналогично находим количество чисел, которые делятся на 3:

$N_3 = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

Всего 33 числа делятся на 3.

3. Количество чисел, делящихся и на 2, и на 3.

Если число делится одновременно на 2 и на 3, то оно делится на их наименьшее общее кратное, то есть на 6. Найдем количество таких чисел:

$N_6 = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

Всего 16 чисел делятся одновременно на 2 и на 3.

4. Количество чисел, делящихся на 2 или на 3.

Теперь найдем общее количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 3). Для этого сложим количество чисел, кратных 2 и 3, и вычтем количество чисел, кратных 6, так как мы их посчитали дважды:

$N_{2 \text{ или } 3} = N_2 + N_3 - N_6 = 50 + 33 - 16 = 67$

Таким образом, 67 чисел от 1 до 100 делятся на 2 или на 3.

5. Количество чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3.

Нас интересуют числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Чтобы их найти, нужно из общего количества чисел (100) вычесть количество чисел, которые делятся на 2 или на 3:

$100 - N_{2 \text{ или } 3} = 100 - 67 = 33$

Ответ: 33

23. Сравните дроби $\frac{12}{13}$ и $\frac{16}{17}$, не приводя их к общему знаменателю.

Для сравнения дробей $\frac{12}{13}$ и $\frac{16}{17}$ без приведения их к общему знаменателю можно использовать несколько способов.

Обе дроби являются правильными и близки к 1. Можно определить, какая из них "ближе" к единице, то есть какая из них меньше отличается от 1.

Вычислим, на сколько каждая дробь меньше единицы:

Для первой дроби: $1 - \frac{12}{13} = \frac{13}{13} - \frac{12}{13} = \frac{1}{13}$

Для второй дроби: $1 - \frac{16}{17} = \frac{17}{17} - \frac{16}{17} = \frac{1}{17}$

Теперь нам нужно сравнить полученные разности: $\frac{1}{13}$ и $\frac{1}{17}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) больше та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $13 < 17$, то $\frac{1}{13} > \frac{1}{17}$.

Это означает, что дробь $\frac{12}{13}$ отстоит от единицы на большее расстояние, чем дробь $\frac{16}{17}$. Следовательно, дробь $\frac{12}{13}$ меньше.

Итак, $\frac{12}{13} < \frac{16}{17}$.

Ответ: $\frac{12}{13} < \frac{16}{17}$

Чтобы сравнить две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, можно сравнить произведения числителя первой дроби на знаменатель второй ($a \times d$) и числителя второй дроби на знаменатель первой ($c \times b$).

Сравним дроби $\frac{12}{13}$ и $\frac{16}{17}$. Для этого нужно сравнить произведения $12 \times 17$ и $13 \times 16$.

Вычисляем первое произведение: $12 \times 17 = 204$.

Вычисляем второе произведение: $13 \times 16 = (10 + 3) \times 16 = 160 + 48 = 208$.

Сравниваем полученные результаты: $204 < 208$.

Так как произведение $12 \times 17$ меньше произведения $13 \times 16$, то и первая дробь $\frac{12}{13}$ меньше второй дроби $\frac{16}{17}$.

Ответ: $\frac{12}{13} < \frac{16}{17}$

24. Сравните дроби:

а) $\frac{2323}{6464}$ и $\frac{23}{64}$;

б) $\frac{71}{98}$ и $\frac{7171}{9898}$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{2323}{6464}$ и $\frac{23}{64}$, упростим первую дробь. Заметим, что числитель $2323$ можно представить как $23 \times 101$, а знаменатель $6464$ — как $64 \times 101$. Сократим дробь на общий множитель $101$:
$\frac{2323}{6464} = \frac{23 \times 101}{64 \times 101} = \frac{23}{64}$.
После сокращения мы видим, что первая дробь равна второй.
Ответ: $\frac{2323}{6464} = \frac{23}{64}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{71}{98}$ и $\frac{7171}{9898}$, поступим аналогично и упростим вторую дробь. Числитель $7171$ можно представить как $71 \times 101$, а знаменатель $9898$ — как $98 \times 101$. Сократим дробь на общий множитель $101$:
$\frac{7171}{9898} = \frac{71 \times 101}{98 \times 101} = \frac{71}{98}$.
Таким образом, вторая дробь равна первой.
Ответ: $\frac{71}{98} = \frac{7171}{9898}$.

Найдите значение числового выражения (25–32):

25. а) $\frac{11}{15} \cdot \left(4\frac{1}{2} - 3\frac{2}{5} : \frac{17}{20}\right) + 1\frac{11}{20}$;

б) $5\frac{4}{7} : 1\frac{5}{21} - \left(5\frac{2}{15} \cdot \frac{3}{22} + 1\frac{14}{15}\right)$;

в) $7\frac{2}{3} + 4\frac{1}{6} \cdot \left(6\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7}\right)$;

г) $4\frac{2}{7} : 1\frac{5}{21} + \left(4\frac{3}{13} \cdot \frac{14}{15} - 3\frac{1}{3}\right)$.

a) $ \frac{11}{15} \cdot (4\frac{1}{2} - 3\frac{2}{5} : \frac{17}{20}) + 1\frac{11}{20} $
Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций.
1. Выполним деление в скобках: $ 3\frac{2}{5} : \frac{17}{20} = \frac{17}{5} : \frac{17}{20} = \frac{17}{5} \cdot \frac{20}{17} = \frac{20}{5} = 4 $.
2. Выполним вычитание в скобках: $ 4\frac{1}{2} - 4 = \frac{1}{2} $.
3. Выполним умножение: $ \frac{11}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{30} $.
4. Выполним сложение: $ \frac{11}{30} + 1\frac{11}{20} = \frac{11}{30} + \frac{31}{20} $. Приведем дроби к общему знаменателю 60: $ \frac{11 \cdot 2}{60} + \frac{31 \cdot 3}{60} = \frac{22}{60} + \frac{93}{60} = \frac{115}{60} $. Сократим дробь на 5: $ \frac{115 \div 5}{60 \div 5} = \frac{23}{12} $. Преобразуем в смешанное число: $ \frac{23}{12} = 1\frac{11}{12} $.
Ответ: $ 1\frac{11}{12} $.

б) $ 5\frac{4}{7} : 1\frac{5}{21} - (5\frac{2}{15} \cdot \frac{3}{22} + 1\frac{14}{15}) $
Решим по действиям.
1. Выполним умножение в скобках: $ 5\frac{2}{15} \cdot \frac{3}{22} = \frac{77}{15} \cdot \frac{3}{22} = \frac{7 \cdot 11}{5 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 11} = \frac{7}{10} $.
2. Выполним сложение в скобках: $ \frac{7}{10} + 1\frac{14}{15} = \frac{7}{10} + \frac{29}{15} $. Общий знаменатель 30: $ \frac{7 \cdot 3}{30} + \frac{29 \cdot 2}{30} = \frac{21+58}{30} = \frac{79}{30} $.
3. Выполним деление: $ 5\frac{4}{7} : 1\frac{5}{21} = \frac{39}{7} : \frac{26}{21} = \frac{39}{7} \cdot \frac{21}{26} = \frac{3 \cdot 13}{7} \cdot \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 13} = \frac{9}{2} $.
4. Выполним вычитание: $ \frac{9}{2} - \frac{79}{30} $. Общий знаменатель 30: $ \frac{9 \cdot 15}{30} - \frac{79}{30} = \frac{135 - 79}{30} = \frac{56}{30} $. Сократим на 2: $ \frac{28}{15} $. Преобразуем в смешанное число: $ 1\frac{13}{15} $.
Ответ: $ 1\frac{13}{15} $.

в) $ 7\frac{2}{3} + 4\frac{1}{6} \cdot (6\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7}) $
Решим по действиям.
1. Выполним вычитание в скобках: $ 6\frac{2}{7} - 3\frac{5}{7} = 5\frac{9}{7} - 3\frac{5}{7} = 2\frac{4}{7} $.
2. Выполним умножение: $ 4\frac{1}{6} \cdot 2\frac{4}{7} = \frac{25}{6} \cdot \frac{18}{7} = \frac{25 \cdot 3}{7} = \frac{75}{7} $.
3. Выполним сложение: $ 7\frac{2}{3} + \frac{75}{7} = \frac{23}{3} + \frac{75}{7} $. Общий знаменатель 21: $ \frac{23 \cdot 7}{21} + \frac{75 \cdot 3}{21} = \frac{161+225}{21} = \frac{386}{21} $. Преобразуем в смешанное число: $ 18\frac{8}{21} $.
Ответ: $ 18\frac{8}{21} $.

г) $ 4\frac{2}{7} : 1\frac{5}{21} + (4\frac{3}{13} \cdot \frac{14}{15} - 3\frac{1}{3}) $
Решим по действиям.
1. Выполним умножение в скобках: $ 4\frac{3}{13} \cdot \frac{14}{15} = \frac{55}{13} \cdot \frac{14}{15} = \frac{11 \cdot 5}{13} \cdot \frac{14}{3 \cdot 5} = \frac{11 \cdot 14}{13 \cdot 3} = \frac{154}{39} $.
2. Выполним вычитание в скобках: $ \frac{154}{39} - 3\frac{1}{3} = \frac{154}{39} - \frac{10}{3} $. Общий знаменатель 39: $ \frac{154}{39} - \frac{10 \cdot 13}{39} = \frac{154 - 130}{39} = \frac{24}{39} $. Сократим на 3: $ \frac{8}{13} $.
3. Выполним деление: $ 4\frac{2}{7} : 1\frac{5}{21} = \frac{30}{7} : \frac{26}{21} = \frac{30}{7} \cdot \frac{21}{26} = \frac{30 \cdot 3}{26} = \frac{15 \cdot 3}{13} = \frac{45}{13} $.
4. Выполним сложение: $ \frac{45}{13} + \frac{8}{13} = \frac{45+8}{13} = \frac{53}{13} $. Преобразуем в смешанное число: $ 4\frac{1}{13} $.
Ответ: $ 4\frac{1}{13} $.