Страница 270 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.157. Мальчики составляют $45\%$ всех учащихся школы. Известно, что $30\%$ всех мальчиков и $40\%$ всех девочек учатся без троек. Сколько процентов всех учащихся школы учатся без троек?

Для решения этой задачи найдем, какую долю от общего числа учащихся составляют мальчики и девочки, которые учатся без троек, а затем сложим эти доли.

1. Найдем процент девочек в школе.
Если мальчики составляют 45% всех учащихся, то процент девочек от общего числа учащихся равен:
$100\% - 45\% = 55\%$

2. Найдем долю мальчиков, учащихся без троек, от общего числа учащихся.
Известно, что 30% всех мальчиков учатся без троек. Поскольку мальчики составляют 45% от всех учащихся школы, доля мальчиков, учащихся без троек, от общего числа всех учащихся в школе составляет:
$0,45 \text{ (доля мальчиков)} \times 0,30 \text{ (доля мальчиков без троек)} = 0,135$

3. Найдем долю девочек, учащихся без троек, от общего числа учащихся.
Известно, что 40% всех девочек учатся без троек. Поскольку девочки составляют 55% от всех учащихся школы, доля девочек, учащихся без троек, от общего числа всех учащихся в школе составляет:
$0,55 \text{ (доля девочек)} \times 0,40 \text{ (доля девочек без троек)} = 0,22$

4. Найдем общую долю учащихся без троек.
Чтобы найти общую долю учащихся, которые учатся без троек, сложим доли мальчиков и девочек:
$0,135 + 0,22 = 0,355$

5. Переведем полученную долю в проценты.
Для этого умножим полученное значение на 100%:
$0,355 \times 100\% = 35,5\%$

Ответ: 35,5% всех учащихся школы учатся без троек.

6.158. Рядовой Сидоров почистил бак картошки за 4 ч, и у него 20 % всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такой же (по массе) бак картошки?

Для решения задачи определим, какую часть бака составляет очищенная картошка после чистки.

1. Изначально у нас есть 1 полный бак картошки, что составляет 100% массы.

2. В очистки уходит 20% от всей массы. Следовательно, масса очищенной картошки составляет:

$100\% - 20\% = 80\%$

Это означает, что почистив один бак картошки, рядовой Сидоров получает $0.8$ бака очищенной картошки. На это у него уходит 4 часа.

3. Теперь нам нужно найти, сколько времени потребуется, чтобы получить 1 полный бак очищенной картошки. Составим пропорцию:

$0.8$ бака очищенной картошки — $4$ часа

$1$ бак очищенной картошки — $x$ часов

4. Решим эту пропорцию:

$ \frac{0.8}{1} = \frac{4}{x} $

Чтобы найти $x$, перемножим крайние и средние члены пропорции:

$ 0.8 \cdot x = 1 \cdot 4 $

$ x = \frac{4}{0.8} $

$ x = 5 $

Таким образом, чтобы начистить полный бак картошки, рядовому Сидорову понадобится 5 часов.

Ответ: 5 часов.

6.159. Когда подвели итоги голосования по половине всех бюллетеней, то оказалось, что объединение «Ананас» получило 10 % голосов избирателей. Подсчитайте, какое наибольшее и какое наименьшее число процентов голосов избирателей может набрать объединение «Ананас» после подсчёта всех бюллетеней.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $N$ — это общее количество бюллетеней (и, соответственно, избирателей).

По условию, подведены итоги по половине всех бюллетеней, то есть по $\frac{N}{2}$ бюллетеней. В этой первой половине объединение «Ананас» получило 10% голосов. Найдем количество голосов за «Ананас» в этой части: $V_1 = 0.10 \times \frac{N}{2} = 0.05N$.

Осталась не подсчитанной вторая половина бюллетеней, количество которых также равно $\frac{N}{2}$. Количество голосов, которое «Ананас» может получить в этой второй половине, может варьироваться от 0 (никто не проголосовал) до $\frac{N}{2}$ (проголосовали все).

Наименьшее число процентов

Наименьшее итоговое число процентов будет в том случае, если во второй половине бюллетеней за «Ананас» не проголосовал никто. В этом случае количество голосов за «Ананас» во второй половине равно 0. Тогда общее количество голосов за «Ананас» составит: $V_{min} = V_1 + 0 = 0.05N$. Чтобы найти итоговый процент, разделим общее количество голосов за «Ананас» на общее число бюллетеней и умножим на 100%: $P_{min} = \frac{0.05N}{N} \times 100\% = 0.05 \times 100\% = 5\%$. Ответ: 5%.

Наибольшее число процентов

Наибольшее итоговое число процентов будет в том случае, если во второй половине бюллетеней за «Ананас» проголосовали абсолютно все. В этом случае количество голосов за «Ананас» во второй половине равно $\frac{N}{2}$ или $0.5N$. Тогда общее количество голосов за «Ананас» составит: $V_{max} = V_1 + 0.5N = 0.05N + 0.5N = 0.55N$. Чтобы найти итоговый процент, разделим общее количество голосов за «Ананас» на общее число бюллетеней и умножим на 100%: $P_{max} = \frac{0.55N}{N} \times 100\% = 0.55 \times 100\% = 55\%$. Ответ: 55%.

ДОКАЗЫВАЕМ

6.160. Дан отрезок $AB$. Провели две пересекающиеся окружности одинакового радиуса с центрами в точках $A$ и $B$. Точки пересечения окружностей обозначили буквами $M$ и $N$. Докажите, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $MN$.

Чтобы доказать, что точки A и B симметричны относительно прямой MN, необходимо доказать, что прямая MN является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Рассмотрим четырехугольник, образованный точками A, M, B и N.

По условию, точка M является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в точке A и радиусом R, и другой с центром в точке B и таким же радиусом R. Следовательно, расстояние от M до центра A равно радиусу, и расстояние от M до центра B равно радиусу. То есть, $AM = R$ и $BM = R$. Отсюда следует, что $AM = BM$.

Аналогично, точка N также является точкой пересечения этих двух окружностей. Следовательно, расстояние от N до центра A равно радиусу, и расстояние от N до центра B равно радиусу. То есть, $AN = R$ и $BN = R$. Отсюда следует, что $AN = BN$.

Таким образом, в четырехугольнике AMBN все стороны равны друг другу: $AM = BM = AN = BN = R$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, AMBN — ромб.

Одним из свойств ромба является то, что его диагонали (в нашем случае AB и MN) взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что прямая MN перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину, то есть является его серединным перпендикуляром.

По определению, две точки симметричны относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Следовательно, точки A и B симметричны относительно прямой MN.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6.161. Серединным перпендикуляром к отрезку называют прямую, перпендикулярную отрезку и делящую его пополам. Докажите, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $m$, которая является его серединным перпендикуляром. Обозначим точку пересечения прямой $m$ и отрезка $AB$ буквой $M$.

Согласно определению серединного перпендикуляра:

1. Прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$. Это означает, что углы, образованные при их пересечении, являются прямыми: $\angle AM P = \angle BMP = 90^\circ$ для любой точки $P$ на прямой $m$.
2. Прямая $m$ делит отрезок $AB$ пополам. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$, и, следовательно, длины отрезков $AM$ и $MB$ равны: $AM = MB$.

Требуется доказать, что любая точка на прямой $m$ одинаково удалена от концов отрезка $A$ и $B$.

Возьмем произвольную точку $P$ на прямой $m$. Расстояние от точки $P$ до точки $A$ — это длина отрезка $PA$, а расстояние до точки $B$ — это длина отрезка $PB$. Нам нужно доказать, что $PA = PB$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$.

Сравним эти треугольники:

• Катет $AM$ треугольника $\triangle PMA$ равен катету $MB$ треугольника $\triangle PMB$ (так как $M$ — середина $AB$).
• Катет $PM$ является общим для обоих треугольников.

Поскольку треугольники $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$ являются прямоугольными, и два их катета соответственно равны, то эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам). Также можно применить первый признак равенства для произвольных треугольников: они равны по двум сторонам ($AM=MB$ и общая сторона $PM$) и углу между ними ($\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$).

Из равенства треугольников $\triangle PMA = \triangle PMB$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, гипотенуза $PA$ треугольника $\triangle PMA$ равна гипотенузе $PB$ треугольника $\triangle PMB$.

Таким образом, $PA = PB$, что означает, что точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Так как $P$ была выбрана как произвольная точка на серединном перпендикуляре, это утверждение верно для любой точки серединного перпендикуляра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любая точка $P$, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, образует с его серединой $M$ и концами $A$ и $B$ два равных прямоугольных треугольника $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$ (равенство по двум катетам). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз $PA$ и $PB$, что и означает, что точка $P$ равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$.

6.162. Задача Леонардо да Винчи. Докажите, что если две равные окружности пересекаются друг с другом, то любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, одинаково удалена от того и другого центра.

Пусть даны две равные окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и одинаковым радиусом $R$. Пусть эти окружности пересекаются в двух точках, которые мы назовем $A$ и $B$.

Рассмотрим точку пересечения $A$. Так как точка $A$ лежит на первой окружности, расстояние от нее до центра $O_1$ равно радиусу $R$, то есть $AO_1 = R$. Так как точка $A$ также лежит и на второй окружности, расстояние от нее до центра $O_2$ тоже равно радиусу $R$, то есть $AO_2 = R$. Отсюда следует, что $AO_1 = AO_2$, а значит, точка $A$ равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

Аналогично рассмотрим вторую точку пересечения $B$. Так как она принадлежит обеим окружностям, то расстояния от нее до центров равны радиусу: $BO_1 = R$ и $BO_2 = R$. Следовательно, $BO_1 = BO_2$, и точка $B$ также равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

Мы знаем, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае от $O_1$ и $O_2$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки (то есть к отрезку $O_1O_2$).

Поскольку обе точки $A$ и $B$ равноудалены от $O_1$ и $O_2$, они обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $O_1O_2$. Прямая, проходящая через две точки ($A$ и $B$), единственна. Следовательно, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей, и есть серединный перпендикуляр к отрезку $O_1O_2$.

По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Таким образом, любая точка $M$, лежащая на прямой, проходящей через $A$ и $B$, будет одинаково удалена от точек $O_1$ и $O_2$. То есть, для любой точки $M$ на этой прямой будет выполняться равенство $MO_1 = MO_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проходящая через точки пересечения двух равных окружностей, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему их центры. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов этого отрезка (т.е. от центров окружностей).

6.163. Даны точки А и В. Постройте ось симметрии точек А и В.

Осью симметрии двух различных точек $A$ и $B$ является прямая, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Каждая точка этой прямой равноудалена от точек $A$ и $B$.

Построение оси симметрии выполняется с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:

1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком прямой.
2. Установить на циркуле радиус $R$, который должен быть больше половины длины отрезка $AB$.
3. Поместить острие циркуля в точку $A$ и провести дугу окружности с радиусом $R$.
4. Не меняя радиус циркуля, поместить его острие в точку $B$ и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках.
5. Обозначить точки пересечения этих дуг, например, как $C$ и $D$.
6. С помощью линейки провести прямую через точки $C$ и $D$.

Полученная прямая $CD$ является искомой осью симметрии. Это следует из того, что точки $C$ и $D$ по построению равноудалены от точек $A$ и $B$ (так как $AC = BC = R$ и $AD = BD = R$). Любая точка, принадлежащая серединному перпендикуляру, обладает свойством равноудаленности от концов отрезка, а построенная прямая $CD$ и является этим серединным перпендикуляром.

Ответ: Осью симметрии точек A и B является серединный перпендикуляр к отрезку AB, построенный вышеописанным методом.

6.164. Разделите отрезок пополам циркулем и линейкой.

Для того чтобы разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки (без делений), необходимо выполнить построение серединного перпендикуляра к этому отрезку. Точка пересечения перпендикуляра и отрезка и будет его серединой.

Пусть нам дан отрезок $AB$.

Алгоритм построения

1. Установите иглу циркуля в точку $A$. Выберите раствор циркуля (радиус) $r$, который будет заведомо больше половины длины отрезка $AB$.

2. Сохраняя выбранный радиус, проведите дугу окружности с центром в точке $A$ так, чтобы она проходила и над, и под отрезком $AB$.

3. Не меняя раствор циркуля ($r$), перенесите иглу в точку $B$. Проведите вторую дугу окружности с центром в точке $B$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках. Назовем эти точки пересечения $C$ и $D$.

4. С помощью линейки проведите прямую через точки $C$ и $D$.

5. Точка, в которой прямая $CD$ пересекает отрезок $AB$, является его серединой. Обозначим эту точку буквой $M$.

Обоснование

Рассмотрим треугольники $\triangle CAD$ и $\triangle CBD$. По построению, мы использовали один и тот же радиус $r$ для построения дуг из точек $A$ и $B$. Следовательно, отрезки $AC$, $AD$, $BC$ и $BD$ равны этому радиусу:

$AC = AD = BC = BD = r$

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Они имеют общую сторону $AB$, и по построению $AC = BC$ и $AD = BD$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Так как все его стороны равны ($AC = CB = BD = DA = r$), то этот четырехугольник является ромбом.

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали ($AB$ и $CD$) взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка их пересечения $M$ делит диагональ $AB$ на две равные части:

$AM = MB$

Таким образом, точка $M$ является искомой серединой отрезка $AB$.

Ответ: Построенная точка $M$ делит отрезок $AB$ пополам.

6.165. Велосипедист проехал путь от A до B и обратно с некоторой постоянной скоростью. Пешеход прошёл путь от A до B со скоростью, в 2 раза меньшей скорости велосипедиста, но зато возвращался на автобусе со скоростью, в 4 раза большей скорости велосипедиста. Сколько времени затратил каждый из них на путь туда и обратно, если один был в пути на 0,5 ч дольше другого?

Пусть $S$ — расстояние от пункта A до пункта B, а $v$ — постоянная скорость велосипедиста.

Согласно условию, скорость пешехода на пути из A в B в 2 раза меньше скорости велосипедиста, то есть она равна $\frac{v}{2}$. Скорость автобуса, на котором пешеход возвращался из B в A, в 4 раза больше скорости велосипедиста, то есть она равна $4v$.

Время, которое велосипедист затратил на путь туда и обратно, одинаково в обе стороны и равно: $T_{вело} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$

Время, которое пешеход затратил на путь туда и обратно, складывается из времени движения пешком из A в B и времени поездки на автобусе из B в A: $T_{пеш} = \frac{S}{v/2} + \frac{S}{4v} = \frac{2S}{v} + \frac{S}{4v}$

Приведем дроби к общему знаменателю, чтобы сложить их: $T_{пеш} = \frac{8S}{4v} + \frac{S}{4v} = \frac{9S}{4v}$

Теперь сравним общее время в пути для велосипедиста и пешехода. Для удобства представим время велосипедиста в виде дроби со знаменателем $4v$: $T_{вело} = \frac{2S}{v} = \frac{8S}{4v}$

Так как $\frac{9S}{4v} > \frac{8S}{4v}$, пешеход был в пути дольше, чем велосипедист.

По условию задачи, разница во времени составляет 0,5 часа. Составим уравнение, вычитая из большего времени меньшее: $T_{пеш} - T_{вело} = 0,5$ $\frac{9S}{4v} - \frac{8S}{4v} = 0,5$ $\frac{S}{4v} = 0,5$

Из этого уравнения найдем значение выражения $\frac{S}{v}$, которое соответствует времени, затраченному велосипедистом на путь в одну сторону: $\frac{S}{v} = 0,5 \cdot 4 = 2$ часа.

Теперь мы можем рассчитать общее время в пути для каждого из них.

Время, затраченное велосипедистом: $T_{вело} = \frac{2S}{v} = 2 \cdot (\frac{S}{v}) = 2 \cdot 2 = 4$ часа.

Время, затраченное пешеходом: $T_{пеш} = \frac{9S}{4v} = \frac{9}{4} \cdot (\frac{S}{v}) = \frac{9}{4} \cdot 2 = \frac{18}{4} = 4,5$ часа.

Проверка: $4,5 - 4 = 0,5$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: велосипедист затратил на путь туда и обратно 4 часа, а пешеход — 4,5 часа.

6.166. Задача аль-Каши. Плата работнику за 30 дней 10 динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Сколько динаров стоит платье?

Решение:

Давайте разберем задачу по шагам. Общая плата за 30 дней работы состоит из 10 динаров и стоимости платья.

1. За 30 дней работник должен был получить: $10 \text{ динаров} + \text{платье}$.

2. По факту он отработал 3 дня и получил за них: $\text{платье}$.

Из этого следует, что оставшуюся часть платы, 10 динаров, он получил бы за оставшиеся рабочие дни.

Вычислим количество оставшихся дней:

$30 \text{ дней} - 3 \text{ дня} = 27 \text{ дней}$.

Таким образом, плата за 27 дней работы составляет 10 динаров.

Теперь мы можем найти, сколько стоит один день работы:

$\frac{10 \text{ динаров}}{27 \text{ дней}} = \frac{10}{27}$ динара за день.

По условию, стоимость платья равна заработку за 3 дня. Умножим стоимость одного дня работы на 3:

$3 \cdot \frac{10}{27} = \frac{30}{27}$ динаров.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{30}{27} = \frac{10}{9}$ динаров.

Чтобы ответ был более наглядным, представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$ динара.

Ответ: платье стоит $1\frac{1}{9}$ динара.