Страница 267 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.150. Сколько различных развёрток имеет пирамида $SABC$, если $AB = BC = AC = 1$, а $SA = SB = SC = 2$. Развёртки считают различными, если их невозможно совместить при наложении (даже с переворачиванием листа с развёрткой).

Данная пирамида $SABC$ имеет в основании равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 1, так как $AB = BC = AC = 1$. Боковые грани $SAB$, $SBC$ и $SCA$ являются тремя равными равнобедренными треугольниками со сторонами 2, 2 и 1, так как $SA = SB = SC = 2$.

Развёртка пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из всех её четырех граней (одного треугольника основания и трех боковых), соединенных по ребрам так, что при сгибании по этим ребрам снова образуется пирамида. Структурно, любая развёртка соответствует остовному дереву в дуальном графе многогранника. Для тетраэдра (треугольной пирамиды) дуальный граф является полным графом на 4 вершинах ($K_4$), где каждая вершина соответствует грани, а ребро соединяет вершины, соответствующие смежным граням.

Остовные деревья для 4 вершин бывают двух неизоморфных типов:

1. "Звезда" ($K_{1,3}$): одна центральная грань соединена с тремя другими.
2. "Цепочка" ($P_4$): четыре грани соединены последовательно в линию.

Рассмотрим все возможные развёртки, сгруппировав их по этим двум типам. В условии сказано, что развёртки считаются различными, если их невозможно совместить наложением, даже переворачивая. Это означает, что хиральная развёртка и её зеркальное отражение считаются двумя разными развёртками.

1. Развёртки типа "Звезда"

В этом случае одна из граней является центральной, а три остальные примыкают к её сторонам.

a) Центральная грань — основание $ABC$.К каждой стороне равностороннего треугольника $ABC$ примыкает по одной из трех одинаковых боковых граней. Поскольку основание является правильным треугольником, а все боковые грани равны, эта развёртка обладает высокой симметрией (осевой симметрией третьего порядка). Она является ахиральной (совпадает со своим зеркальным отражением). Такая развёртка единственна.
Это дает 1 различную развёртку.

б) Центральная грань — боковая, например, $SAB$.К основанию $AB$ равнобедренного треугольника $SAB$ примыкает грань основания $ABC$. К двум равным боковым сторонам $SA$ и $SB$ примыкают две оставшиеся боковые грани $SCA$ и $SBC$ соответственно. Поскольку центральная грань $SAB$ равнобедренная, а примыкающие к равным сторонам грани $SCA$ и $SBC$ равны, эта развёртка имеет ось симметрии (проходящую через вершину $S$ и середину ребра $AB$). Следовательно, она ахиральна. Так как все боковые грани одинаковы, выбор любой из них в качестве центральной приведет к такой же развёртке.
Это дает еще 1 различную развёртку.

2. Развёртки типа "Цепочка"

В этом случае четыре грани выстроены в линию, где каждая внутренняя грань соединена с двумя соседними.

a) Грань основания $ABC$ находится на краю цепочки.Цепочка имеет вид $T_B - T_{L1} - T_{L2} - T_{L3}$, где $T_B$ — основание, а $T_L$ — боковые грани. Это означает, что к основанию примыкает "полоса" из трех боковых граней. Существует два принципиально разных способа составить полосу из трех боковых граней:

• Симметричная полоса: Например, $SBC - SAB - SCA$ (соединены по ребрам $SB$ и $SA$). Эта полоса имеет ось симметрии, проходящую через вершину $S$ и середину ребра $AB$ центральной грани $SAB$. Если прикрепить основание $ABC$ к одному из краев полосы (например, к грани $SBC$ по ребру $BC$), симметрия нарушится, и полученная развёртка станет хиральной. Прикрепление основания к другому краю (к $SCA$ по ребру $AC$) даст зеркально-симметричную развёртку. Таким образом, этот случай дает одну хиральную пару.
  Это дает 2 различные развёртки.
• Асимметричная полоса: Например, $SAB - SBC - SCA$ (соединены по ребрам $SB$ и $SC$). Эта полоса не имеет симметрии, она "закручивается" в одну сторону. Края этой полосы (грани $SAB$ и $SCA$) не эквивалентны. Присоединение основания $ABC$ к грани $SAB$ (по ребру $AB$) дает одну хиральную развёртку. Присоединение основания $ABC$ к грани $SCA$ (по ребру $AC$) дает другую хиральную развёртку, которая не является ни той же самой, ни зеркальной копией первой. Каждая из этих двух развёрток имеет свою зеркальную копию (которая получится из зеркальной полосы $SCA - SBC - SAB$).
  Это дает еще 4 различные развёртки (две хиральные пары).

Всего для этого случая получаем $2 + 4 = 6$ развёрток.

б) Грань основания $ABC$ находится в середине цепочки.Цепочка имеет вид $T_{L1} - T_B - T_{L2} - T_{L3}$. Построим такую развёртку. Возьмем основание $ABC$. Присоединим к двум его смежным сторонам, например $AB$ и $BC$, две боковые грани $SAB$ и $SBC$. Получится "уголок" $SAB - ABC - SBC$. Оставшуюся грань $SCA$ нужно присоединить к одной из крайних боковых граней (так как это "цепочка"). Например, присоединим $SCA$ к $SBC$ по общему ребру $SC$. Получится развёртка, соответствующая последовательности $SAB - ABC - SBC - SCA$. Эта развёртка несимметрична, то есть хиральна. Ее зеркальное отражение будет отличаться и получится, например, если изначально к основанию $ABC$ присоединять грани к сторонам $AC$ и $CB$. Таким образом, этот случай дает одну хиральную пару.
Это дает еще 2 различные развёртки.

Итог

Суммируя количество развёрток из всех рассмотренных случаев:

• Развёртки типа "Звезда": $1 + 1 = 2$.
• Развёртки типа "Цепочка": $6 + 2 = 8$.

Общее количество различных развёрток равно $2 + 8 = 10$.

Ответ: 10.

6.151. Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого 2 см, 3 см, 4 см.

Для построения развёртки прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2 см, 3 см и 4 см необходимо нарисовать на плоскости его шесть граней так, чтобы из полученной фигуры можно было сложить параллелепипед. У этого параллелепипеда есть три пары одинаковых граней-прямоугольников:
- Две грани размером $4 \text{ см} \times 3 \text{ см}$ (основания).
- Две грани размером $4 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ (например, передняя и задняя стенки).
- Две грани размером $3 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ (например, левая и правая боковые стенки).

Построение развёртки можно выполнить по следующим шагам, используя линейку и карандаш:

Шаг 1: Построение боковых граней.
Начертите в один горизонтальный ряд четыре прямоугольника. Все они должны иметь одинаковую высоту, равную 2 см. Ширина прямоугольников будет чередоваться: первый — 4 см, второй — 3 см, третий — 4 см, четвёртый — 3 см. Эти прямоугольники представляют четыре боковые грани параллелепипеда, расположенные последовательно. Вместе они образуют одну большую прямоугольную полосу размером $(4+3+4+3) \text{ см} \times 2 \text{ см}$, то есть $14 \text{ см} \times 2 \text{ см}$, разделенную на четыре части.

Шаг 2: Построение оснований.
Теперь необходимо добавить два основания — прямоугольники размером $4 \text{ см} \times 3 \text{ см}$. Их нужно присоединить к одной из боковых граней, у которой есть сторона длиной 4 см. Для удобства выберем самый первый нарисованный прямоугольник (размером $4 \text{ см} \times 2 \text{ см}$).
- К его верхней стороне (длиной 4 см) пристройте прямоугольник размером $4 \text{ см} \times 3 \text{ см}$.
- К его нижней стороне (длиной 4 см) пристройте второй такой же прямоугольник размером $4 \text{ см} \times 3 \text{ см}$.

В результате получится плоская фигура, состоящая из шести прямоугольников. Она будет иметь форму креста, где длинная часть состоит из четырёх прямоугольников в ряд, а к одной из центральных граней (в нашем примере к первой) сверху и снизу присоединены основания. Если вырезать эту фигуру по внешнему контуру и согнуть по внутренним линиям, соединяющим прямоугольники, получится требуемый прямоугольный параллелепипед.

Ответ: Для построения развёртки необходимо начертить фигуру, состоящую из шести прямоугольников: двух $4 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, двух $4 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ и двух $3 \text{ см} \times 2 \text{ см}$, соединённых сторонами согласно описанному алгоритму.

6.152. Какое наименьшее число кусков проволоки потребуется для изготовления каркасной модели куба?

Для того чтобы определить наименьшее число кусков проволоки для создания каркаса куба, проанализируем его структуру. Каркас куба состоит из 8 вершин (углов) и 12 рёбер.

Ключевым моментом является то, что в каждой вершине куба сходятся ровно 3 ребра. Это нечётное число.

Рассмотрим один непрерывный кусок проволоки. У него есть начало и конец. Когда мы прокладываем проволоку через вершину, не являющуюся началом или концом куска, мы используем два ребра: одно для "входа" в вершину и одно для "выхода". Таким образом, в любой "промежуточной" вершине должно быть задействовано чётное число рёбер.

Поскольку у куба каждая вершина имеет 3 ребра (нечётное число), ни одна из них не может быть "промежуточной". Это означает, что каждая из 8 вершин куба обязательно должна быть либо началом, либо концом одного из кусков проволоки.

Итак, у нас есть 8 вершин, каждая из которых должна быть "концевой". Каждый отдельный кусок проволоки имеет ровно два конца (начало и конец). Пусть $N$ — это искомое наименьшее количество кусков проволоки. Общее число концов, которое обеспечат эти куски, равно $2 \times N$.

Поскольку нам нужно "закрыть" 8 вершин, которые должны быть концами, мы можем составить уравнение:

$2 \times N = 8$

Решая его, находим $N$:

$N = 4$

Таким образом, для изготовления каркасной модели куба потребуется как минимум 4 куска проволоки.

Ответ: 4.

6.153 Постройте развёртку конуса, радиус основания которого $1$, а образующая равна $3$.

Развёртка конуса состоит из двух геометрических фигур: основания и боковой поверхности.

1. Основание конуса

Основание конуса представляет собой круг. Согласно условию задачи, радиус основания $r = 1$. Следовательно, первой частью развёртки является круг радиусом 1.

2. Боковая поверхность конуса

Боковая поверхность конуса при развёртке на плоскость образует круговой сектор. Нам нужно определить параметры этого сектора: его радиус и центральный угол.

Радиус кругового сектора равен образующей конуса. По условию, образующая $l = 3$. Значит, радиус сектора $R$ равен 3.

Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Длину окружности основания $C$ можно вычислить по формуле $C = 2 \pi r$.
Подставляя данное значение радиуса $r = 1$, получаем:
$C = 2 \pi \cdot 1 = 2\pi$.

Теперь мы можем найти центральный угол сектора $\alpha$. Длина дуги сектора $L$ связана с его радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в радианах) формулой $L = R \cdot \alpha$.
Мы знаем, что $L = C = 2\pi$ и $R = l = 3$. Подставим эти значения в формулу:
$2\pi = 3 \cdot \alpha$
Отсюда выразим угол $\alpha$ в радианах:
$\alpha = \frac{2\pi}{3}$ рад.

Для практического построения развёртки с помощью транспортира удобнее выразить этот угол в градусах. Учитывая, что $\pi$ радиан равен $180^\circ$, получаем:
$\alpha_{град} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Построение развёртки

Для построения развёртки конуса необходимо выполнить следующие шаги:
1. Начертить круг радиусом 1. Это будет основание конуса.
2. Начертить сектор круга для боковой поверхности:
а) Отметить точку, которая будет центром сектора (вершиной конуса).
б) Из этой точки провести отрезок длиной 3 (это радиус сектора).
в) С помощью транспортира отложить от этого отрезка угол, равный $120^\circ$.
г) Провести второй отрезок длиной 3 из той же точки под построенным углом.
д) Соединить концы двух отрезков дугой окружности радиусом 3.
3. Полученные круг и сектор вместе образуют развёртку конуса. Для сборки конуса круг-основание должен быть присоединён к дуге сектора.

Ответ: Развёртка данного конуса состоит из круга радиусом 1 и кругового сектора с радиусом 3 и центральным углом $120^\circ$ (или $\frac{2\pi}{3}$ радиан).