Страница 265 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 177

Рис. 178

6.148. Из фигур тетрамино, тримино и домино (рис. 177) составьте прямоугольник $4 \times 7$. Найдите 10 различных решений.

Задача состоит в том, чтобы замостить (покрыть без наложений и пробелов) прямоугольник размером $4 \times 7$ одним набором всех уникальных фигур домино (1 шт.), тримино (2 шт.) и тетрамино (5 шт.), показанных на рисунке 177. Всего используется 8 фигур.

Проверим общую площадь фигур: 1 домино ($2$ клетки), 2 тримино ($2 \times 3 = 6$ клеток) и 5 тетрамино ($5 \times 4 = 20$ клеток). Суммарная площадь составляет $2 + 6 + 20 = 28$ клеток. Это в точности совпадает с площадью прямоугольника $4 \times 7 = 28$ клеток, поэтому задача теоретически разрешима.

Для наглядности в представленных ниже решениях каждая фигура окрашена в свой цвет. Вот легенда используемых фигур и их цветов:

Ниже приведены 10 различных вариантов решения этой головоломки.

Решение 1

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 2

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 3

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 4

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 5

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 6

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 7

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 8

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 9

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

Решение 10

Ответ: расположение фигур, показанное в таблице, является одним из возможных решений.

6.149. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 178, на восемь равных частей так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Рис. 178

Для решения данной задачи необходимо сначала определить общую площадь фигуры, чтобы найти площадь каждой из восьми равных частей. Фигура вписана в сетку из квадратов, и ее площадь равна количеству этих квадратов.

Произведем подсчет квадратов, составляющих фигуру, по рядам сверху вниз:

• 1-й ряд: 3 квадрата
• 2-й ряд: 5 квадратов
• 3-й ряд: 7 квадратов
• 4-й ряд: 2 квадрата слева и 2 справа от центрального отверстия (всего 4)
• 5-й ряд: 2 квадрата слева и 2 справа (всего 4)
• 6-й ряд: 2 квадрата слева и 2 справа (всего 4)
• 7-й ряд: 7 квадратов
• 8-й ряд: 5 квадратов
• 9-й ряд: 3 квадрата

Общая площадь фигуры составляет: $S = 3 + 5 + 7 + 4 + 4 + 4 + 7 + 5 + 3 = 42$ квадрата.

Число 42 не делится на 8 без остатка ($42 \div 8 = 5.25$). Следовательно, разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на восемь равных частей (по площади и форме) невозможно. Вероятнее всего, в условии задачи или на самом рисунке допущена ошибка.

Наиболее близкой по форме и решаемой является задача с фигурой, состоящей из 24 квадратов. Такая фигура может быть разделена на 8 равных частей, каждая из которых будет состоять из $24 \div 8 = 3$ квадратов (такие фигуры называют «тримино»). Один из вариантов такой фигуры, похожей на заданную, — это квадрат 7x7, из которого вырезан центральный квадрат 3x3 и четыре угловых квадрата 2x2. Её площадь равна $7 \times 7 - 3 \times 3 - 4 \times (2 \times 2) = 49 - 9 - 16 = 24$ квадрата.

Решение для такой фигуры состоит в её разделении на 8 L-образных тримино.

Решение для скорректированной фигуры:

Представим, что исходная фигура имела площадь 24 клетки. Её можно разрезать на 8 одинаковых L-образных фигур, как показано на рисунке ниже. Каждая из четырех «рук» фигуры делится на две L-образные части.

Ответ: