Страница 269 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.154. Купили конфеты и печенье. 1 кг конфет дороже 1 кг печенья на 50 %, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

Решение. Пусть купили $x$ кг печенья по $y$ р. за 1 кг — всего на $xy$ р. Тогда конфет купили $0,5x$ кг по $1,5y$ р. за 1 кг — всего на $0,5x \cdot 1,5y = 0,75xy$ р. Так как $xy > 0,75xy$, то за печенье заплатили больше, чем за конфеты.

Решение

Чтобы определить, за что заплатили больше, необходимо сравнить общую стоимость конфет и общую стоимость печенья. Общая стоимость покупки вычисляется как произведение цены за единицу товара на количество купленного товара.

Введем переменные. Пусть $Ц_п$ — цена 1 кг печенья, а $К_п$ — количество купленного печенья в кг.

Тогда общая стоимость печенья ($С_п$) равна:
$С_п = Ц_п \cdot К_п$

Теперь выразим цену и количество конфет через переменные, введенные для печенья, согласно условиям задачи.

1. Цена конфет. 1 кг конфет дороже 1 кг печенья на 50%. Это значит, что цена конфет составляет 100% + 50% = 150% от цены печенья. Чтобы найти 150% от числа, нужно умножить его на 1,5.
Цена 1 кг конфет: $Ц_к = Ц_п \cdot 1,5$

2. Количество конфет. Конфет купили на 50% меньше, чем печенья. Это значит, что количество конфет составляет 100% - 50% = 50% от количества печенья. Чтобы найти 50% от числа, нужно умножить его на 0,5.
Количество конфет: $К_к = К_п \cdot 0,5$

Теперь вычислим общую стоимость конфет ($С_к$):
$С_к = Ц_к \cdot К_к = (Ц_п \cdot 1,5) \cdot (К_п \cdot 0,5)$
$С_к = 1,5 \cdot 0,5 \cdot (Ц_п \cdot К_п)$
$С_к = 0,75 \cdot (Ц_п \cdot К_п)$

Сравним общую стоимость печенья и конфет:
Стоимость печенья: $С_п = 1 \cdot (Ц_п \cdot К_п)$
Стоимость конфет: $С_к = 0,75 \cdot (Ц_п \cdot К_п)$

Так как $1 > 0,75$, то и стоимость печенья больше стоимости конфет.
$С_п > С_к$

Ответ: За печенье заплатили больше.

6.155. Мама не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия пролежала дома с зимы до лета. За это время цены в магазине выросли на 25 %. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность отложенных денег?

Решение. Пусть на $a$ р. зимой можно было купить одну единицу товара. Летом этот товар уже стоил $a + 0,25a = 1,25a$, т. е. летом на те же $a$ р. можно купить $a : 1,25a = 0,8$ единицы того же товара. Это на $1 - 0,8 = 0,2$ единицы товара, или на 20 %, меньше, чем зимой. Покупательная способность отложенных денег уменьшилась на 20 %.

Решение

Для того чтобы найти, на сколько процентов уменьшилась покупательная способность денег, нужно сравнить количество товаров, которое можно было купить на эту сумму до и после повышения цен.

Пусть $S$ — сумма отложенных денег.Пусть $P$ — первоначальная цена некоторого условного товара (зимой).

Зимой на сумму $S$ можно было купить количество товара, равное $K_{зима} = \frac{S}{P}$.

По условию, цены выросли на 25%. Новая цена товара (летом) составит:$P_{лето} = P + P \times \frac{25}{100} = P + 0.25P = 1.25P$

Теперь на ту же сумму $S$ летом можно купить следующее количество товара:$K_{лето} = \frac{S}{P_{лето}} = \frac{S}{1.25P}$

Сравним количество товара, которое можно купить летом, с количеством, которое можно было купить зимой:$\frac{K_{лето}}{K_{зима}} = \frac{\frac{S}{1.25P}}{\frac{S}{P}} = \frac{1}{1.25} = 0.8$

Это означает, что летом на отложенные деньги можно купить только 0,8 (или 80%) от того количества товара, которое можно было купить зимой.

Следовательно, покупательная способность уменьшилась на:$1 - 0.8 = 0.2$

Чтобы выразить это значение в процентах, умножим его на 100:$0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: Покупательная способность отложенных денег уменьшилась на 20%.

6.156. Некто купил зимой акции АО NNN по 60 р. за акцию. К лету стоимость акций поднялась на 20 р. за акцию, а цены на товары за то же время увеличились на 20 %. На сколько процентов увеличилась покупательная способность денег, вложенных в акции?

Для того чтобы определить, на сколько процентов увеличилась покупательная способность денег, вложенных в акции, необходимо сравнить, какое количество условных товаров можно было приобрести на эти деньги зимой и какое — летом, учитывая как рост стоимости акций, так и инфляцию (рост цен на товары).

Пусть зимой была вложена сумма, эквивалентная покупке одной акции, то есть $60$ рублей. Пусть цена некоторого условного товара зимой составляла $P$ рублей. Тогда покупательная способность этих $60$ рублей была равна количеству товара, которое можно было купить:

$Q_{зима} = \frac{60}{P}$

К лету стоимость акции выросла на $20$ рублей и стала составлять:

$60 + 20 = 80$ рублей.

За это же время цены на товары выросли на $20\%$. Это означает, что новая цена условного товара стала в $1,2$ раза выше первоначальной:

$P_{лето} = P \times (1 + \frac{20}{100}) = 1,2 \times P$

Теперь найдем покупательную способность денег, полученных от акции, летом. На $80$ рублей можно купить следующее количество товара:

$Q_{лето} = \frac{80}{P_{лето}} = \frac{80}{1,2 \times P}$

Чтобы найти изменение покупательной способности, сравним $Q_{лето}$ и $Q_{зима}$. Для этого найдем их отношение:

$\frac{Q_{лето}}{Q_{зима}} = \frac{\frac{80}{1,2 \times P}}{\frac{60}{P}} = \frac{80}{1,2 \times P} \times \frac{P}{60} = \frac{80}{1,2 \times 60} = \frac{80}{72}$

Сократим дробь $\frac{80}{72}$ на 8:

$\frac{80 \div 8}{72 \div 8} = \frac{10}{9}$

Это означает, что новая покупательная способность составляет $\frac{10}{9}$ от старой. Чтобы выразить это увеличение в процентах, нужно найти, какую часть составляет прирост от первоначального значения:

$(\frac{10}{9} - 1) \times 100\% = (\frac{10}{9} - \frac{9}{9}) \times 100\% = \frac{1}{9} \times 100\% = 11\frac{1}{9}\%$

Ответ: Покупательная способность денег, вложенных в акции, увеличилась на $11\frac{1}{9}\%$.