Страница 276 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

35. Вычислите:

а) $\frac{45 \cdot 56 + 45 \cdot 14}{70 \cdot 72}$

б) $\frac{38 \cdot 53 - 38 \cdot 25}{19 \cdot 42}$

В) $\frac{395 \cdot 43 + 5 \cdot 43}{695 \cdot 86 + 86 \cdot 105}$

Г) $\frac{359 \cdot 23 - 59 \cdot 23}{758 \cdot 69 - 158 \cdot 69}$

а) Для решения данного примера воспользуемся распределительным свойством умножения ($a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$). Вынесем общий множитель 45 за скобки в числителе:
$\frac{45 \cdot 56 + 45 \cdot 14}{70 \cdot 72} = \frac{45 \cdot (56 + 14)}{70 \cdot 72} = \frac{45 \cdot 70}{70 \cdot 72}$
Теперь можно сократить дробь на 70:
$\frac{45 \cdot \cancel{70}}{\cancel{70} \cdot 72} = \frac{45}{72}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 45 и 72 это 9 ($45 = 9 \cdot 5$, $72 = 9 \cdot 8$):
$\frac{45}{72} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 8} = \frac{5}{8}$
Ответ: $\frac{5}{8}$

б) В числителе вынесем общий множитель 38 за скобки, используя распределительное свойство ($a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$):
$\frac{38 \cdot 53 - 38 \cdot 25}{19 \cdot 42} = \frac{38 \cdot (53 - 25)}{19 \cdot 42} = \frac{38 \cdot 28}{19 \cdot 42}$
Разложим числа в числителе и знаменателе на множители для удобства сокращения. Заметим, что $38 = 2 \cdot 19$ и $42 = 6 \cdot 7$, а $28 = 4 \cdot 7$.
$\frac{(2 \cdot 19) \cdot 28}{19 \cdot 42} = \frac{2 \cdot \cancel{19} \cdot 28}{\cancel{19} \cdot 42} = \frac{2 \cdot 28}{42} = \frac{56}{42}$
Сократим дробь $\frac{56}{42}$. Наибольший общий делитель для 56 и 42 это 14 ($56 = 14 \cdot 4$, $42 = 14 \cdot 3$):
$\frac{56}{42} = \frac{14 \cdot 4}{14 \cdot 3} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$

в) Применим распределительное свойство для числителя и знаменателя. Вынесем общие множители за скобки.
В числителе общий множитель 43:
$395 \cdot 43 + 5 \cdot 43 = (395 + 5) \cdot 43 = 400 \cdot 43$
В знаменателе общий множитель 86:
$695 \cdot 86 + 86 \cdot 105 = (695 + 105) \cdot 86 = 800 \cdot 86$
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{400 \cdot 43}{800 \cdot 86}$
Теперь сократим дробь. Можно сократить 400 и 800 на 400. Также заметим, что $86 = 2 \cdot 43$.
$\frac{400 \cdot 43}{800 \cdot 86} = \frac{\cancel{400} \cdot 43}{2 \cdot \cancel{400} \cdot 86} = \frac{43}{2 \cdot 86} = \frac{43}{2 \cdot (2 \cdot 43)} = \frac{\cancel{43}}{4 \cdot \cancel{43}} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

г) Снова используем распределительное свойство для упрощения числителя и знаменателя.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 23:
$359 \cdot 23 - 59 \cdot 23 = (359 - 59) \cdot 23 = 300 \cdot 23$
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 69:
$758 \cdot 69 - 158 \cdot 69 = (758 - 158) \cdot 69 = 600 \cdot 69$
Запишем дробь с упрощенными выражениями:
$\frac{300 \cdot 23}{600 \cdot 69}$
Сократим дробь. Сократим 300 и 600 на 300. Также представим $69$ как $3 \cdot 23$.
$\frac{300 \cdot 23}{600 \cdot 69} = \frac{\cancel{300} \cdot 23}{2 \cdot \cancel{300} \cdot 69} = \frac{23}{2 \cdot 69} = \frac{23}{2 \cdot (3 \cdot 23)} = \frac{\cancel{23}}{6 \cdot \cancel{23}} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

36. Вычислите по образцу:

а) $742 \cdot 16 : 371 \cdot 5 : 80 = \frac{\stackrel{2}{\cancel{742}} \cdot \stackrel{1}{\cancel{16}} \cdot 5}{\underset{1}{\cancel{371}} \cdot \underset{5}{\cancel{80}}} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2$

б) $954 \cdot 35 : 742 \cdot 9;$

в) $5292 : 63 : 28 \cdot 999;$

г) $4189 : 71 \cdot 26 : 118;$

д) $1125 \cdot 808 : 375 \cdot 33 : 1111.$

$954 \cdot 35 : 742 \cdot 9$

Согласно образцу, представим данное выражение в виде дроби. При последовательном выполнении операций слева направо, числа, на которые умножают, попадают в числитель, а числа, на которые делят, — в знаменатель.

$\frac{954 \cdot 35 \cdot 9}{742}$

Теперь сократим дробь, находя общие множители в числителе и знаменателе.

1. Сократим 954 и 742. Оба числа четные, разделим их на 2: $954 : 2 = 477$, $742 : 2 = 371$. Дробь примет вид:

$\frac{477 \cdot 35 \cdot 9}{371}$

2. Найдем множители для оставшихся чисел. Разложим 477 и 371. Сумма цифр числа 477 равна $4+7+7=18$, значит, оно делится на 9: $477 = 9 \cdot 53$. Число 371 делится на 7: $371 = 7 \cdot 53$. Подставим разложенные числа в дробь:

$\frac{9 \cdot 53 \cdot 35 \cdot 9}{7 \cdot 53}$

3. Сократим дробь на общий множитель 53:

$\frac{9 \cdot 35 \cdot 9}{7}$

4. Сократим 35 и 7. Так как $35 : 7 = 5$, получаем:

$9 \cdot 5 \cdot 9 = 45 \cdot 9 = 405$

Ответ: 405

$5292 : 63 : 28 \cdot 999$

Представим выражение в виде дроби. Числа, на которые мы делим (63 и 28), идут в знаменатель. Исходное число 5292 и множитель 999 идут в числитель.

$\frac{5292 \cdot 999}{63 \cdot 28}$

Начнем сокращать дробь.

1. Сократим 999 и 63. Оба числа делятся на 9: $999 : 9 = 111$, $63 : 9 = 7$. Получаем:

$\frac{5292 \cdot 111}{7 \cdot 28}$

2. Теперь сократим 5292 и 28. Оба числа делятся на 4: $5292 : 4 = 1323$, $28 : 4 = 7$. Дробь принимает вид:

$\frac{1323 \cdot 111}{7 \cdot 7} = \frac{1323 \cdot 111}{49}$

3. Проверим, делится ли 1323 на 7: $1323 : 7 = 189$. Сократим:

$\frac{189 \cdot 111}{7}$

4. Еще раз разделим на 7: $189 : 7 = 27$.

В итоге получаем:

$27 \cdot 111 = 2997$

Ответ: 2997

$4189 : 71 \cdot 26 : 118$

Запишем выражение в виде дроби. Делители 71 и 118 идут в знаменатель. Множитель 26 идет в числитель.

$\frac{4189 \cdot 26}{71 \cdot 118}$

Сократим дробь.

1. Сократим 26 и 118, так как оба четные, на 2: $26 : 2 = 13$, $118 : 2 = 59$. Получаем дробь:

$\frac{4189 \cdot 13}{71 \cdot 59}$

2. Числа 71 и 59 — простые. Проверим, делится ли 4189 на одно из них. Попробуем разделить на 71: $4189 : 71 = 59$. Подставим это в дробь:

$\frac{59 \cdot 13}{59}$

3. Сокращаем на 59:

13

Ответ: 13

$1125 \cdot 808 : 375 \cdot 33 : 1111$

Представим выражение в виде дроби. Множители 1125, 808 и 33 пойдут в числитель. Делители 375 и 1111 пойдут в знаменатель.

$\frac{1125 \cdot 808 \cdot 33}{375 \cdot 1111}$

Начнем сокращение.

1. Сократим 1125 и 375. Заметим, что $1125 = 3 \cdot 375$. Сокращаем на 375: $1125 : 375 = 3$, $375 : 375 = 1$. Дробь примет вид:

$\frac{3 \cdot 808 \cdot 33}{1111}$

2. Теперь сократим 33 и 1111. Оба числа делятся на 11: $33 : 11 = 3$, $1111 : 11 = 101$. Получаем:

$\frac{3 \cdot 808 \cdot 3}{101}$

3. Сократим 808 и 101. Легко видеть, что $808 = 8 \cdot 101$. Сокращаем на 101: $808 : 101 = 8$, $101 : 101 = 1$. В итоге выражение упрощается до:

$3 \cdot 8 \cdot 3 = 24 \cdot 3 = 72$

Ответ: 72

37. Проверьте равенство:

а) $\frac{1}{3+\frac{1}{2}} = \frac{2}{7}$

б) $\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}} = \frac{13}{30}$

а)

Чтобы проверить равенство $ \frac{1}{3 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{7} $, нужно упростить левую часть выражения. Для этого сначала выполним сложение в знаменателе:

$ 3 + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} $

Теперь подставим полученный результат обратно в левую часть равенства:

$ \frac{1}{\frac{7}{2}} = 1 \div \frac{7}{2} = 1 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7} $

В результате преобразования мы получили, что левая часть равна правой части: $ \frac{2}{7} = \frac{2}{7} $. Следовательно, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

б)

Чтобы проверить равенство $ \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}} = \frac{13}{30} $, упростим левую часть, производя вычисления последовательно, начиная с самого нижнего знаменателя.

1. Сначала вычислим сумму в самом нижнем знаменателе:

$ 3 + \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} $

2. Подставим этот результат в выражение. Левая часть примет вид:

$ \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{13}{4}}} = \frac{1}{2 + \frac{4}{13}} $

3. Теперь выполним сложение в знаменателе основной дроби:

$ 2 + \frac{4}{13} = \frac{2 \cdot 13}{13} + \frac{4}{13} = \frac{26}{13} + \frac{4}{13} = \frac{30}{13} $

4. Подставим полученное значение обратно в выражение:

$ \frac{1}{\frac{30}{13}} = 1 \div \frac{30}{13} = 1 \cdot \frac{13}{30} = \frac{13}{30} $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна правой: $ \frac{13}{30} = \frac{13}{30} $. Следовательно, равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

38. Вычислите:

а) $ \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}} $

б) $ \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} $

в) $ \frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}} $

а)

Чтобы вычислить значение этого многоэтажного дробного выражения, необходимо выполнять действия последовательно, начиная с самого нижнего знаменателя.
Исходное выражение: $ \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3}}} $
1. Первым шагом вычислим значение выражения в самом нижнем знаменателе:
$ 2 + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3} $
2. Теперь подставим полученный результат обратно в дробь:
$ \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{7}{3}}} $
3. Упростим дробь $ \frac{1}{\frac{7}{3}} $. Деление на дробь эквивалентно умножению на перевернутую дробь:
$ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7} $
4. Подставим это значение в наше выражение:
$ \frac{1}{1 + \frac{3}{7}} $
5. Теперь вычислим значение знаменателя:
$ 1 + \frac{3}{7} = \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = \frac{10}{7} $
6. На последнем шаге выполним деление:
$ \frac{1}{\frac{10}{7}} = 1 \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{10} $
Ответ: $ \frac{7}{10} $

б)

Решим это выражение аналогично предыдущему, выполняя действия снизу вверх.
Исходное выражение: $ \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} $
1. Вычислим самый нижний знаменатель:
$ 2 + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4+1}{2} = \frac{5}{2} $
2. Подставим результат в выражение:
$ \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{5}{2}}} $
3. Упростим внутреннюю дробь:
$ \frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5} $
4. Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{2 + \frac{2}{5}} $
5. Вычислим знаменатель:
$ 2 + \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10+2}{5} = \frac{12}{5} $
6. Выполним последнее деление:
$ \frac{1}{\frac{12}{5}} = 1 \cdot \frac{5}{12} = \frac{5}{12} $
Ответ: $ \frac{5}{12} $

в)

Вычислим значение третьего выражения, следуя тому же алгоритму.
Исходное выражение: $ \frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}} $
1. Вычислим самый нижний знаменатель:
$ 3 + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9+1}{3} = \frac{10}{3} $
2. Подставим результат в выражение:
$ \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{10}{3}}} $
3. Упростим внутреннюю дробь:
$ \frac{1}{\frac{10}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10} $
4. Теперь выражение выглядит так:
$ \frac{1}{3 + \frac{3}{10}} $
5. Вычислим знаменатель:
$ 3 + \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10}{10} + \frac{3}{10} = \frac{30+3}{10} = \frac{33}{10} $
6. Выполним последнее деление:
$ \frac{1}{\frac{33}{10}} = 1 \cdot \frac{10}{33} = \frac{10}{33} $
Ответ: $ \frac{10}{33} $

39. а) Найдите натуральные числа x, y, z, для которых верно равенство

$\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30}$

б) Найдите целые числа x, y, z, для которых верно то же равенство.

а)

Дано равенство:

$$ \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30} $$

Требуется найти натуральные числа $x, y, z$. Натуральные числа — это целые положительные числа $(1, 2, 3, ...)$.

Перевернем обе части равенства, чтобы избавиться от основной дроби:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{30}{7} $$

Представим правую часть в виде смешанной дроби (выделим целую часть):

$$ \frac{30}{7} = 4 + \frac{2}{7} $$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = 4 + \frac{2}{7} $$

Поскольку $y$ и $z$ — натуральные числа, $y \ge 1$ и $z \ge 1$.
Следовательно, $y + \frac{1}{z} > 1$, а значит $0 < \frac{1}{y + \frac{1}{z}} < 1$.
В левой части уравнения $x$ является целой частью, а $\frac{1}{y + \frac{1}{z}}$ — дробной. Сравнивая целые и дробные части левой и правой частей уравнения, получаем:

$$ x = 4 $$

и

$$ \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{2}{7} $$

Теперь решим второе уравнение. Снова перевернем обе части:

$$ y + \frac{1}{z} = \frac{7}{2} $$

Выделим целую часть в правой части:

$$ \frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2} $$

Уравнение принимает вид:

$$ y + \frac{1}{z} = 3 + \frac{1}{2} $$

Аналогично первому шагу, так как $z$ — натуральное число ($z \ge 1$), то $0 < \frac{1}{z} \le 1$. Сравнивая целые и дробные части, получаем:

$$ y = 3 $$

и

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{2} $$

Из последнего равенства следует, что $z = 2$.
Таким образом, мы нашли единственное решение в натуральных числах.

Ответ: $x=4, y=3, z=2$.

б)

Теперь найдем все целые числа $x, y, z$, для которых верно то же равенство. Целые числа включают положительные, отрицательные числа и ноль. При этом из вида дроби следует, что $z \ne 0$ и $y + \frac{1}{z} \ne 0$.

Преобразуем левую часть исходного уравнения:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = x + \frac{1}{\frac{yz+1}{z}} = x + \frac{z}{yz+1} $$

Тогда исходное уравнение эквивалентно:

$$ x + \frac{z}{yz+1} = \frac{30}{7} $$

Выразим дробную часть:

$$ \frac{z}{yz+1} = \frac{30}{7} - x = \frac{30 - 7x}{7} $$

Рассмотрим дробь в левой части: $\frac{z}{yz+1}$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя. Любой общий делитель чисел $z$ и $yz+1$ должен также делить $yz$ и, следовательно, разность $(yz+1) - yz = 1$. Единственным таким положительным делителем является 1. Значит, $\text{НОД}(z, yz+1) = 1$.

Это означает, что дробь $\frac{z}{yz+1}$ является несократимой.

Дробь в правой части $\frac{30-7x}{7}$ также должна быть несократимой, чтобы равенство выполнялось (с учетом знака). $\text{НОД}(30-7x, 7) = \text{НОД}(30, 7) = \text{НОД}(4 \cdot 7 + 2, 7) = \text{НОД}(2, 7) = 1$. Таким образом, правая часть также является несократимой дробью.

Поскольку обе дроби несократимы и равны, их знаменатели должны быть равны по модулю:

$$ yz+1 = 7 \quad \text{или} \quad yz+1 = -7 $$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $yz+1 = 7$

Отсюда $yz=6$.
Приравнивая числители, получаем $z = 30-7x$.
Подставим это выражение для $z$ в $yz=6$:

$$ y(30-7x) = 6 $$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, $y$ должен быть делителем числа 6. Делители 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверим все варианты для $y$:

• Если $y=1$, то $30-7x=6 \implies 7x=24 \implies x=24/7$ (не целое).
• Если $y=2$, то $30-7x=3 \implies 7x=27 \implies x=27/7$ (не целое).
• Если $y=3$, то $30-7x=2 \implies 7x=28 \implies x=4$ (целое). Тогда $z=30-7(4)=2$. Проверяем: $yz=3 \cdot 2=6$. Это решение: $(4, 3, 2)$.
• Если $y=6$, то $30-7x=1 \implies 7x=29 \implies x=29/7$ (не целое).
• Если $y=-1$, то $30-7x=-6 \implies 7x=36 \implies x=36/7$ (не целое).
• Если $y=-2$, то $30-7x=-3 \implies 7x=33 \implies x=33/7$ (не целое).
• Если $y=-3$, то $30-7x=-2 \implies 7x=32 \implies x=32/7$ (не целое).
• Если $y=-6$, то $30-7x=-1 \implies 7x=31 \implies x=31/7$ (не целое).

В этом случае есть только одно решение в целых числах: $(4, 3, 2)$.

Случай 2: $yz+1 = -7$

Отсюда $yz=-8$.
Приравнивая дроби $\frac{z}{-7} = \frac{30-7x}{7}$, получаем $z = -(30-7x) = 7x-30$.
Подставим это выражение для $z$ в $yz=-8$:

$$ y(7x-30) = -8 $$

Здесь $y$ должен быть делителем числа -8. Делители -8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверим все варианты для $y$:

• Если $y=1$, то $7x-30=-8 \implies 7x=22 \implies x=22/7$ (не целое).
• Если $y=2$, то $7x-30=-4 \implies 7x=26 \implies x=26/7$ (не целое).
• Если $y=4$, то $7x-30=-2 \implies 7x=28 \implies x=4$ (целое). Тогда $z=7(4)-30=-2$. Проверяем: $yz=4 \cdot (-2)=-8$. Это решение: $(4, 4, -2)$.
• Если $y=8$, то $7x-30=-1 \implies 7x=29 \implies x=29/7$ (не целое).
• Если $y=-1$, то $7x-30=8 \implies 7x=38 \implies x=38/7$ (не целое).
• Если $y=-2$, то $7x-30=4 \implies 7x=34 \implies x=34/7$ (не целое).
• Если $y=-4$, то $7x-30=2 \implies 7x=32 \implies x=32/7$ (не целое).
• Если $y=-8$, то $7x-30=1 \implies 7x=31 \implies x=31/7$ (не целое).

В этом случае есть только одно решение в целых числах: $(4, 4, -2)$.

Итак, мы нашли все возможные решения в целых числах.

Ответ: $(4, 3, 2)$ и $(4, 4, -2)$.

40. Вычислите:

а) $4.35 \cdot 3.08 - 16.119 / 4.05 + 0.95 \cdot 40;$

б) $(454.5 / 5 - 0.3636 / 0.09) / 4.343.$

а) $4,35 \cdot 3,08 - 16,119 : 4,05 + 0,95 \cdot 40$
Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо).
1) Выполним первое умножение: $4,35 \cdot 3,08 = 13,398$.
2) Выполним деление: $16,119 : 4,05 = 3,98$.
3) Выполним второе умножение: $0,95 \cdot 40 = 38$.
4) Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычитание и сложение: $13,398 - 3,98 + 38 = 9,418 + 38 = 47,418$.
Ответ: $47,418$

б) $(454,5 : 5 - 0,3636 : 0,09) : 4,343$
Сначала выполним действия в скобках, начиная с деления, а затем выполним деление за скобками.
1) Выполним первое деление в скобках: $454,5 : 5 = 90,9$.
2) Выполним второе деление в скобках: $0,3636 : 0,09 = 36,36 : 9 = 4,04$.
3) Выполним вычитание в скобках: $90,9 - 4,04 = 86,86$.
4) Теперь разделим результат, полученный в скобках, на $4,343$: $86,86 : 4,343 = 20$.
Ответ: $20$