Страница 272 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.174. Петя сложил попарно длины сторон треугольника и получил три величины: 7 см, 8 см, 9 см. Найдите стороны треугольника.

Обозначим длины сторон треугольника как $a$, $b$ и $c$.

По условию задачи, Петя сложил длины сторон попарно и получил три величины: 7 см, 8 см и 9 см. Это можно записать в виде системы уравнений:

$a + b = 7$

$a + c = 8$

$b + c = 9$

Чтобы решить эту систему, сложим все три уравнения:

$(a + b) + (a + c) + (b + c) = 7 + 8 + 9$

Приведя подобные слагаемые, получим:

$2a + 2b + 2c = 24$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a + b + c) = 24$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин всех сторон треугольника (его периметр):

$a + b + c = 12$

Теперь мы можем найти длину каждой стороны, вычитая из полученной суммы одно из исходных уравнений.

Найдем сторону $c$, вычтя из суммы всех сторон сумму $a + b$:

$c = (a + b + c) - (a + b) = 12 - 7 = 5$ см.

Найдем сторону $b$, вычтя из суммы всех сторон сумму $a + c$:

$b = (a + b + c) - (a + c) = 12 - 8 = 4$ см.

Найдем сторону $a$, вычтя из суммы всех сторон сумму $b + c$:

$a = (a + b + c) - (b + c) = 12 - 9 = 3$ см.

Таким образом, мы нашли длины всех сторон треугольника: 3 см, 4 см и 5 см.

Ответ: 3 см, 4 см, 5 см.

6.175. 40 кузнецов должны подковать 50 лошадей. На каждую подкову каждый кузнец тратит 5 мин. Какое наименьшее время потратят кузнецы на эту работу, если лошадь не может стоять на двух ногах. Объясните, как надо организовать работу.

Какое наименьшее время потратят кузнецы на эту работу

Сначала определим общий объем работы. Всего имеется 50 лошадей, у каждой по 4 копыта. Следовательно, общее количество копыт, которые нужно подковать, составляет:
$50 \text{ лошадей} \times 4 \text{ копыта/лошадь} = 200 \text{ копыт}$.

На подковку одного копыта кузнец тратит 5 минут. Общие трудозатраты на всю работу в человеко-минутах равны:
$200 \text{ копыт} \times 5 \text{ минут/копыто} = 1000 \text{ человеко-минут}$.

В работе участвуют 40 кузнецов. Если предположить, что они могут работать непрерывно и параллельно, то минимальное теоретически возможное время на выполнение всей работы составит:
$T_{min} = \frac{1000 \text{ человеко-минут}}{40 \text{ кузнецов}} = 25 \text{ минут}$.

Это время достижимо, если получится организовать работу так, чтобы все 40 кузнецов были заняты делом в течение всех 25 минут, не нарушая условия, что над одной лошадью одновременно работает только один кузнец. Поскольку кузнецов (40) меньше, чем лошадей (50), это условие не мешает всем кузнецам быть занятыми одновременно, при условии правильной организации труда.

Ответ: Наименьшее время, которое потратят кузнецы, составляет 25 минут.

Объясните, как надо организовать работу

Чтобы выполнить всю работу за 25 минут, необходимо обеспечить непрерывную занятость всех 40 кузнецов. Это можно сделать, разбив процесс на пять последовательных 5-минутных этапов, на каждом из которых кузнецы перераспределяются между лошадьми, находящимися на разных стадиях готовности.

• Этап 1 (0-5 минут): 40 кузнецов берут 40 разных лошадей (из 50) и подковывают им по первому копыту.
• Этап 2 (5-10 минут): 10 кузнецов берут 10 оставшихся «свежих» лошадей и подковывают им первое копыто. В это же время остальные 30 кузнецов подковывают второе копыто 30-ти лошадям из тех, что уже были в работе.
• Этап 3 (10-15 минут): К началу этапа есть 20 лошадей с одним подкованным копытом и 30 лошадей с двумя. 20 кузнецов подковывают второе копыто первой группе лошадей. Другие 20 кузнецов подковывают третье копыто 20-ти лошадям из второй группы.
• Этап 4 (15-20 минут): Теперь 30 лошадей имеют по два подкованных копыта, а 20 лошадей — по три. 30 кузнецов подковывают третье копыто первой группе. Оставшиеся 10 кузнецов подковывают четвертое (финальное) копыто 10-ти лошадям из второй группы, завершая работу с ними.
• Этап 5 (20-25 минут): К этому моменту остается ровно 40 лошадей, каждой из которых нужно подковать по одному последнему копыту. 40 кузнецов одновременно выполняют эту работу, завершая подковку всех 50 лошадей ровно через 25 минут от начала.

Такая конвейерная организация труда позволяет избежать простоев и выполнить работу в кратчайший срок.

Ответ: Работу следует организовать в виде пяти 5-минутных этапов, на каждом из которых все 40 кузнецов заняты подковкой, перераспределяясь между разными группами лошадей для обеспечения непрерывного процесса.

6.176. В нашем классе мальчиков столько же, сколько девочек. Послушных детей на 30 больше, чем непослушных. Если к числу послушных мальчиков прибавить число непослушных девочек, то получится столько же, как если из числа послушных девочек вычесть число непослушных мальчиков. $Pm + Nd = Pd - Nm$. Сколько в нашем классе послушных мальчиков? Какое условие задачи является лишним?

Для решения задачи введем переменные:

• $ПМ$ — число послушных мальчиков;
• $НМ$ — число непослушных мальчиков;
• $ПД$ — число послушных девочек;
• $НД$ — число непослушных девочек.

Запишем условия задачи в виде системы уравнений:

1. «В нашем классе мальчиков столько же, сколько девочек»:
   $ПМ + НМ = ПД + НД$
2. «Послушных детей на 30 больше, чем непослушных»:
   $ПМ + ПД = НМ + НД + 30$
3. «Если к числу послушных мальчиков прибавить число непослушных девочек, то получится столько же, как если из числа послушных девочек вычесть число непослушных мальчиков»:
   $ПМ + НД = ПД - НМ$

Для нахождения числа послушных мальчиков ($ПМ$) воспользуемся вторым и третьим уравнениями. Из третьего уравнения ($ПМ + НД = ПД - НМ$) выразим сумму непослушных детей ($НМ + НД$). Для этого преобразуем его, перенеся $НМ$ в левую часть, а $ПМ$ — в правую:

$НМ + НД = ПД - ПМ$

Теперь подставим полученное выражение для $(НМ + НД)$ во второе уравнение ($ПМ + ПД = НМ + НД + 30$):

$ПМ + ПД = (ПД - ПМ) + 30$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$ПМ + ПД = ПД - ПМ + 30$

Вычтем $ПД$ из обеих частей уравнения:

$ПМ = -ПМ + 30$

Перенесем $-ПМ$ из правой части в левую, изменив знак:

$ПМ + ПМ = 30$

$2 \cdot ПМ = 30$

Найдём $ПМ$:

$ПМ = \frac{30}{2}$

$ПМ = 15$

Ответ: В классе 15 послушных мальчиков.

Как показано в решении выше, для ответа на вопрос о количестве послушных мальчиков мы использовали только второе и третье условия задачи. Первое условие — «В нашем классе мальчиков столько же, сколько девочек» — не было задействовано в вычислениях. Следовательно, оно является лишним для решения поставленной задачи.

Ответ: Лишним является условие «В нашем классе мальчиков столько же, сколько девочек».

6.177. В некотором царстве, в некотором государстве было 7 городов, из каждого выходили дороги, ведущие в другие города (каждая дорога соединяет два города). Из первого города выходила одна дорога, из второго — две, из третьего — три, из четвёртого — четыре, из пятого — пять, из шестого — шесть. Сколько дорог выходило из седьмого города?

Эту задачу удобно решать, представив города в виде вершин (точек), а дороги — в виде рёбер (линий), соединяющих эти точки. Такая модель в математике называется графом. Количество дорог, выходящих из города, — это степень соответствующей вершины.

Обозначим города цифрами от 1 до 7. Нам даны степени (количество дорог) для первых шести городов:
Город 1: 1 дорога
Город 2: 2 дороги
Город 3: 3 дороги
Город 4: 4 дороги
Город 5: 5 дорог
Город 6: 6 дорог
Требуется найти количество дорог для города 7.

Будем рассуждать последовательно, начиная с городов, о которых у нас больше всего информации.

Рассмотрим город 6, у которого 6 дорог. Так как всего в государстве 7 городов, это означает, что город 6 соединён со всеми остальными шестью городами: 1, 2, 3, 4, 5 и 7.

Теперь рассмотрим город 1, у которого 1 дорога. Из предыдущего пункта мы знаем, что он соединён с городом 6. Значит, это и есть его единственная дорога. Других соединений у города 1 нет.

Далее, город 5, у которого 5 дорог. Он должен быть соединён с пятью другими городами. Мы только что выяснили, что город 1 соединён только с городом 6. Следовательно, город 5 не может быть соединён с городом 1. Это значит, что город 5 соединён со всеми остальными городами, кроме города 1. То есть, город 5 соединён с городами 2, 3, 4, 6 и 7.

Перейдем к городу 2, у которого 2 дороги. Мы уже установили, что он соединён с городом 6 и с городом 5. Это ровно две дороги, поэтому других соединений у города 2 нет.

Рассмотрим город 4, у которого 4 дороги. Мы знаем, что он соединён с городом 6 и городом 5. Ему нужно ещё две дороги. Он не может быть соединён с городом 1 (у того всего 1 дорога) и с городом 2 (у того всего 2 дороги, которые мы уже нашли). Значит, оставшиеся две дороги должны вести в города 3 и 7. Таким образом, город 4 соединён с городами 3, 5, 6 и 7.

Остался город 3, у которого 3 дороги. Из наших рассуждений следует, что он соединён с городом 6, городом 5 и городом 4. Это ровно три дороги. Следовательно, других соединений у города 3 нет.

Наконец, определим количество дорог для города 7. Для этого подсчитаем, с какими городами он соединён, исходя из наших выводов:
- Соединён с городом 6.
- Соединён с городом 5.
- Соединён с городом 4.
С городами 1, 2 и 3 он не соединён, так как все их дороги уже определены и не ведут в город 7.

Получается, что город 7 соединён ровно с тремя городами (4, 5 и 6). Следовательно, из седьмого города выходит 3 дороги.

Для проверки можно использовать свойство графов, известное как лемма о рукопожатиях: сумма степеней всех вершин (количества дорог из всех городов) должна быть чётным числом, так как каждая дорога соединяет два города и, таким образом, учитывается дважды при подсчёте суммы. Сумма известных нам дорог: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Если у седьмого города $x$ дорог, то общая сумма будет $21 + x$. Чтобы это число было чётным, $x$ должно быть нечётным. Наш ответ $x=3$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: Из седьмого города выходило 3 дороги.