Номер 6.177, страница 272 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 6. Занимательные задачи - номер 6.177, страница 272.

Условие.

6.177. В некотором царстве, в некотором государстве было 7 городов, из каждого выходили дороги, ведущие в другие города (каждая дорога соединяет два города). Из первого города выходила одна дорога, из второго — две, из третьего — три, из четвёртого — четыре, из пятого — пять, из шестого — шесть. Сколько дорог выходило из седьмого города?

Решение 1.

Решение 5.

Эту задачу удобно решать, представив города в виде вершин (точек), а дороги — в виде рёбер (линий), соединяющих эти точки. Такая модель в математике называется графом. Количество дорог, выходящих из города, — это степень соответствующей вершины.

Обозначим города цифрами от 1 до 7. Нам даны степени (количество дорог) для первых шести городов:
Город 1: 1 дорога
Город 2: 2 дороги
Город 3: 3 дороги
Город 4: 4 дороги
Город 5: 5 дорог
Город 6: 6 дорог
Требуется найти количество дорог для города 7.

Будем рассуждать последовательно, начиная с городов, о которых у нас больше всего информации.

Рассмотрим город 6, у которого 6 дорог. Так как всего в государстве 7 городов, это означает, что город 6 соединён со всеми остальными шестью городами: 1, 2, 3, 4, 5 и 7.

Теперь рассмотрим город 1, у которого 1 дорога. Из предыдущего пункта мы знаем, что он соединён с городом 6. Значит, это и есть его единственная дорога. Других соединений у города 1 нет.

Далее, город 5, у которого 5 дорог. Он должен быть соединён с пятью другими городами. Мы только что выяснили, что город 1 соединён только с городом 6. Следовательно, город 5 не может быть соединён с городом 1. Это значит, что город 5 соединён со всеми остальными городами, кроме города 1. То есть, город 5 соединён с городами 2, 3, 4, 6 и 7.

Перейдем к городу 2, у которого 2 дороги. Мы уже установили, что он соединён с городом 6 и с городом 5. Это ровно две дороги, поэтому других соединений у города 2 нет.

Рассмотрим город 4, у которого 4 дороги. Мы знаем, что он соединён с городом 6 и городом 5. Ему нужно ещё две дороги. Он не может быть соединён с городом 1 (у того всего 1 дорога) и с городом 2 (у того всего 2 дороги, которые мы уже нашли). Значит, оставшиеся две дороги должны вести в города 3 и 7. Таким образом, город 4 соединён с городами 3, 5, 6 и 7.

Остался город 3, у которого 3 дороги. Из наших рассуждений следует, что он соединён с городом 6, городом 5 и городом 4. Это ровно три дороги. Следовательно, других соединений у города 3 нет.

Наконец, определим количество дорог для города 7. Для этого подсчитаем, с какими городами он соединён, исходя из наших выводов:
- Соединён с городом 6.
- Соединён с городом 5.
- Соединён с городом 4.
С городами 1, 2 и 3 он не соединён, так как все их дороги уже определены и не ведут в город 7.

Получается, что город 7 соединён ровно с тремя городами (4, 5 и 6). Следовательно, из седьмого города выходит 3 дороги.

Для проверки можно использовать свойство графов, известное как лемма о рукопожатиях: сумма степеней всех вершин (количества дорог из всех городов) должна быть чётным числом, так как каждая дорога соединяет два города и, таким образом, учитывается дважды при подсчёте суммы. Сумма известных нам дорог: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Если у седьмого города $x$ дорог, то общая сумма будет $21 + x$. Чтобы это число было чётным, $x$ должно быть нечётным. Наш ответ $x=3$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: Из седьмого города выходило 3 дороги.