Номер 6.172, страница 271 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 6. Занимательные задачи - номер 6.172, страница 271.

Условие.

6.172. Один араб перед смертью завещал трём своим сыновьям 17 верблюдов, с тем чтобы старший получил $1/2$, средний — $1/3$, младший — $1/9$ часть всех верблюдов. После смерти отца сыновья никак не могли разделить верблюдов по завещанию, и они позвали главу племени. Этот глава приехал на собственном верблюде и, узнав, в чём дело, предложил присоединить к их верблюдам своего и поделить их по завещанию. Братья обрадовались предложению главы племени. Но каково же было их удивление, когда оказалось, что, выполнив в точности завещание отца, они получили на самом деле не 18, а 17 верблюдов, вследствие чего им пришлось вернуть главе племени его верблюда. Почему так получилось?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Хитрость главы племени сработала из-за математической несостыковки в завещании отца. Проблема заключается в том, что доли, которые он завещал своим сыновьям, в сумме не составляют единицу (то есть всё наследство).

Давайте сложим доли, указанные в завещании: старшему сыну — половина ($1/2$), среднему — треть ($1/3$), а младшему — девятая часть ($1/9$).

Сумма этих долей равна: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} $$ Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 9 — это 18. $$ \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{9+6+2}{18} = \frac{17}{18} $$

Таким образом, отец завещал сыновьям не всё стадо, а только $17/18$ его часть. Одна восемнадцатая ($1/18$) часть наследства осталась нераспределенной. Именно поэтому разделить 17 верблюдов нацело было невозможно.

Глава племени, добавив своего верблюда, довёл их общее число до 18. Это число удобно тем, что оно делится без остатка на 2, 3 и 9 (знаменатели долей из завещания). Это позволило сыновьям рассчитать свои доли от нового общего количества:

• Старший сын получил: $18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ верблюдов.
• Средний сын получил: $18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ верблюдов.
• Младший сын получил: $18 \cdot \frac{1}{9} = 2$ верблюда.

Если сложить количество верблюдов, которые получили сыновья, получится: $$ 9 + 6 + 2 = 17 \text{ верблюдов} $$

Ровно столько верблюдов и было в изначальном наследстве. Оставшийся восемнадцатый верблюд — это тот самый, которого временно добавил глава племени. Он его и забрал обратно. Таким образом, завещание было исполнено (каждый получил свою долю от общего числа), все верблюды отца были распределены, и никто не остался в обиде.

Ответ: Это получилось потому, что сумма долей, указанных в завещании ($1/2$, $1/3$ и $1/9$), не равна единице, а составляет $17/18$. Добавление одного верблюда позволило создать общее число (18), которое делится на знаменатели всех долей, и распределить исходные 17 верблюдов в соответствии с пропорциями завещания, вернув "лишнего" верблюда его владельцу.