Страница 271 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

6.167. Из книги «Косс» К. Рудольфа (XVI в.). Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчёте получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

Для решения задачи введем переменную. Пусть стоимость одежды равна $x$ флоринов.

Согласно условию, за год работы (12 месяцев) работник должен был получить одежду и 10 флоринов. Таким образом, его годовая зарплата составляет $x + 10$ флоринов.

Найдем, какова была бы месячная оплата труда:
Месячная зарплата = $\frac{x + 10}{12}$ флоринов.

Работник прекратил работу через 7 месяцев. За это время он должен был заработать:
$7 \times \frac{x + 10}{12} = \frac{7(x + 10)}{12}$ флоринов.

По факту при расчете он получил одежду и 2 флорина, что в денежном выражении составляет $x + 2$ флоринов.

Приравняем сумму, которую он заработал за 7 месяцев, к сумме, которую он получил:
$\frac{7(x + 10)}{12} = x + 2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:
$7(x + 10) = 12(x + 2)$
Раскроем скобки:
$7x + 70 = 12x + 24$
Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую:
$70 - 24 = 12x - 7x$
$46 = 5x$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{46}{5}$
$x = 9.2$

Следовательно, стоимость одежды составляла 9,2 флорина.
Ответ: 9,2 флорина.

6.168. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был.

Для решения задачи обозначим неизвестную стоимость кафтана через $x$ рублей.

Согласно условию, годовая плата работнику (за 12 месяцев) должна была составить 12 рублей и кафтан, то есть $12 + x$ рублей.Отсюда мы можем вычислить стоимость одного месяца работы:

$ \frac{12 + x}{12} $ рублей в месяц.

Работник отработал 7 месяцев. Следовательно, ему полагалась плата в размере стоимости 7 месяцев работы:

$ 7 \cdot \frac{12 + x}{12} $ рублей.

Хозяин заплатил ему 5 рублей и отдал кафтан, что в сумме составляет $5 + x$ рублей.Так как работник получил достойную плату, мы можем приравнять стоимость выполненной работы и полученную им сумму:

$ \frac{7 \cdot (12 + x)}{12} = 5 + x $

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:

$ 7 \cdot (12 + x) = 12 \cdot (5 + x) $

Раскроем скобки:

$ 84 + 7x = 60 + 12x $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$ 84 - 60 = 12x - 7x $

Выполним вычисления:

$ 24 = 5x $

Найдем $x$:

$ x = \frac{24}{5} $

$ x = 4.8 $

Таким образом, стоимость кафтана составляла 4,8 рубля, или 4 рубля 80 копеек.

Ответ: 4,8 рубля.

6.169. Несколько работников получили 120 р. Если бы их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было работников?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — первоначальное количество работников. Общая сумма денег, которую они получили, составляет 120 рублей. Следовательно, каждый работник изначально получил $\frac{120}{x}$ рублей.

По условию, если бы работников было на четыре меньше, то их количество составило бы $x-4$. В этом случае каждый из них получил бы втрое больше. Сумма, которую получил бы каждый работник в этом гипотетическом сценарии, равна $\frac{120}{x-4}$ рублей.

Составим уравнение, исходя из того, что новая сумма в три раза больше первоначальной:

$\frac{120}{x-4} = 3 \cdot \frac{120}{x}$

Чтобы решить это уравнение, можно сначала разделить обе части на 120 (поскольку 120 не равно 0):

$\frac{1}{x-4} = \frac{3}{x}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot x = 3 \cdot (x-4)$

$x = 3x - 12$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$12 = 3x - x$

$12 = 2x$

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Таким образом, первоначально было 6 работников.

Проверим решение:

1. Если было 6 работников, каждый получил: $120 / 6 = 20$ рублей.

2. Если бы работников было на 4 меньше, то есть $6 - 4 = 2$ работника, то каждый получил бы: $120 / 2 = 60$ рублей.

3. Сравним полученные суммы: $60$ рублей действительно в три раза больше, чем $20$ рублей ($20 \cdot 3 = 60$).

Решение верное.

Ответ: 6 работников.

6.170. Принёс крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц. (Таблица старинных денежных единиц дана на форзаце учебника.)

Для решения этой задачи-загадки необходимо перевести фразу крестьянина на язык математики. Пусть $x$ — это цена одного яйца в полушках. Полушка — это старинная русская монета, которую мы примем за базовую денежную единицу для наших расчетов.

Фраза крестьянина звучит так: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц».

Составим уравнение на основе этой фразы. Глагол «стоят» указывает на равенство двух денежных сумм.

• Левая часть равенства: «Двадцать пять яиц без полушки». Это означает стоимость 25 яиц, из которой вычли одну полушку. Если цена одного яйца $x$ полушек, то стоимость 25 яиц равна $25x$. Выражение целиком будет $25x - 1$.
• Правая часть равенства: «пять полушек без пяти яиц». Это означает сумму в 5 полушек, из которой вычли стоимость 5 яиц. Стоимость 5 яиц равна $5x$. Выражение целиком будет $5 - 5x$.

Приравниваем обе части и получаем уравнение:

$25x - 1 = 5 - 5x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти цену одного яйца $x$. Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$25x + 5x = 5 + 1$

Упростим обе части уравнения:

$30x = 6$

Найдем $x$:

$x = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Таким образом, цена одного яйца составляет $\frac{1}{5}$ полушки.

В задаче спрашивается, по какой цене крестьянин продавал десяток яиц. Десяток — это 10 штук. Чтобы найти стоимость десятка, умножим цену одного яйца на 10:

Цена за 10 яиц = $10 \cdot x = 10 \cdot \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2$ полушки.

Ответ: десяток яиц стоил 2 полушки.

6.171. Двадцать пять яиц с полуденьгой стоят столько, сколько 3 деньги без 5 яиц. Сколько яиц приходится на 1 деньгу?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $Я$ — это стоимость одного яйца, а $Д$ — это стоимость одной денежной единицы, которая в задаче называется "деньга".

Согласно условию, "Двадцать пять яиц с полуденьгой стоят столько, сколько 3 деньги без 5 яиц". Запишем это в виде математического уравнения.

Стоимость "двадцати пяти яиц с полуденьгой" (половина деньги) можно выразить как $25 \cdot Я + 0.5 \cdot Д$.

Стоимость "трех денег без пяти яиц" можно выразить как $3 \cdot Д - 5 \cdot Я$.

Поскольку эти две суммы равны, мы можем составить уравнение:

$25Я + 0.5Д = 3Д - 5Я$

Теперь решим это уравнение относительно наших переменных. Сначала сгруппируем все слагаемые с $Я$ в левой части уравнения, а слагаемые с $Д$ — в правой. Для этого прибавим $5Я$ к обеим частям и вычтем $0.5Д$ из обеих частей.

$25Я + 5Я = 3Д - 0.5Д$

Упростим обе части:

$30Я = 2.5Д$

Полученное равенство означает, что стоимость 30 яиц эквивалентна стоимости 2,5 деньги.

Чтобы найти, сколько яиц приходится на 1 деньгу, нам нужно выразить $Д$ через $Я$. Для этого разделим обе части уравнения на 2.5:

$Д = \frac{30}{2.5}Я$

Выполним деление:

$Д = 12Я$

Это означает, что стоимость одной деньги равна стоимости 12 яиц.

Ответ: на 1 деньгу приходится 12 яиц.

6.172. Один араб перед смертью завещал трём своим сыновьям 17 верблюдов, с тем чтобы старший получил $1/2$, средний — $1/3$, младший — $1/9$ часть всех верблюдов. После смерти отца сыновья никак не могли разделить верблюдов по завещанию, и они позвали главу племени. Этот глава приехал на собственном верблюде и, узнав, в чём дело, предложил присоединить к их верблюдам своего и поделить их по завещанию. Братья обрадовались предложению главы племени. Но каково же было их удивление, когда оказалось, что, выполнив в точности завещание отца, они получили на самом деле не 18, а 17 верблюдов, вследствие чего им пришлось вернуть главе племени его верблюда. Почему так получилось?

Хитрость главы племени сработала из-за математической несостыковки в завещании отца. Проблема заключается в том, что доли, которые он завещал своим сыновьям, в сумме не составляют единицу (то есть всё наследство).

Давайте сложим доли, указанные в завещании: старшему сыну — половина ($1/2$), среднему — треть ($1/3$), а младшему — девятая часть ($1/9$).

Сумма этих долей равна: $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} $$ Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 9 — это 18. $$ \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{9+6+2}{18} = \frac{17}{18} $$

Таким образом, отец завещал сыновьям не всё стадо, а только $17/18$ его часть. Одна восемнадцатая ($1/18$) часть наследства осталась нераспределенной. Именно поэтому разделить 17 верблюдов нацело было невозможно.

Глава племени, добавив своего верблюда, довёл их общее число до 18. Это число удобно тем, что оно делится без остатка на 2, 3 и 9 (знаменатели долей из завещания). Это позволило сыновьям рассчитать свои доли от нового общего количества:

• Старший сын получил: $18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ верблюдов.
• Средний сын получил: $18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ верблюдов.
• Младший сын получил: $18 \cdot \frac{1}{9} = 2$ верблюда.

Если сложить количество верблюдов, которые получили сыновья, получится: $$ 9 + 6 + 2 = 17 \text{ верблюдов} $$

Ровно столько верблюдов и было в изначальном наследстве. Оставшийся восемнадцатый верблюд — это тот самый, которого временно добавил глава племени. Он его и забрал обратно. Таким образом, завещание было исполнено (каждый получил свою долю от общего числа), все верблюды отца были распределены, и никто не остался в обиде.

Ответ: Это получилось потому, что сумма долей, указанных в завещании ($1/2$, $1/3$ и $1/9$), не равна единице, а составляет $17/18$. Добавление одного верблюда позволило создать общее число (18), которое делится на знаменатели всех долей, и распределить исходные 17 верблюдов в соответствии с пропорциями завещания, вернув "лишнего" верблюда его владельцу.

— Если бы кто-нибудь сейчас продал нам мула, я бы отдал за него $1/2$ его стоимости, — сказал первый путник.

— А я бы добавил $1/3$ его стоимости, — сказал второй.

— И я добавил бы $1/4$, — произнёс третий.

Вдруг перед ними появился погонщик мулов, который согласился продать мула за 13 монет. Так как 13 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, то путники долго спорили, кто сколько монет должен дать. Тогда погонщик сказал:

— Я согласен, чтобы каждый из вас дал мне соответственно $1/2$, $1/3$ и $1/4$ не от 13, а от 12 монет.

Каждый из путников понял, что даст меньше, чем обещал, и поэтому все они согласились на такое распределение платы за мула. Сколько монет получил погонщик?

Для решения этой задачи необходимо вычислить, сколько денег заплатил каждый путник в соответствии с предложением погонщика, а затем сложить эти суммы.

Погонщик предложил путникам рассчитать их доли (половину, треть и четверть) не от первоначальной цены в 13 монет, а от 12 монет. Это число удобно тем, что оно делится на 2, 3 и 4 без остатка.

1. Рассчитаем взнос первого путника:

Первый путник отдал половину от 12 монет:

$12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ монет.

2. Рассчитаем взнос второго путника:

Второй путник отдал треть от 12 монет:

$12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ монеты.

3. Рассчитаем взнос третьего путника:

Третий путник отдал четверть от 12 монет:

$12 \cdot \frac{1}{4} = 3$ монеты.

4. Найдем общую сумму, которую получил погонщик:

Сложим взносы всех трех путников:

$6 + 4 + 3 = 13$ монет.

Таким образом, погонщик, предложив рассчитывать доли от меньшего числа (12 вместо 13), в итоге получил полную стоимость мула. Это стало возможным, потому что сумма долей, которые путники изначально хотели внести, была больше единицы ($\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12}$).

Ответ: Погонщик получил 13 монет.