Страница 277 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите наиболее простым способом (41–43):

41. а) $5759 + 43,25 + 6,75;$

б) $42,3 + 7,29 + 57,7 + 0,51;$

в) $3,17 \cdot 125 \cdot 8;$

г) $1,25 \cdot 13 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 2,5.$

а) $5759 + 43,25 + 6,75$

Для упрощения вычислений сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают целое число. В данном случае это $43,25$ и $6,75$. Используем сочетательный закон сложения.

$5759 + (43,25 + 6,75) = 5759 + 50$

Теперь выполним сложение:

$5759 + 50 = 5809$

Ответ: $5809$

б) $42,3 + 7,29 + 57,7 + 0,51$

Используем переместительный и сочетательный законы сложения, чтобы сгруппировать слагаемые, которые легко складываются в "круглые" числа.

Сгруппируем $42,3$ и $57,7$, а также $7,29$ и $0,51$:

$(42,3 + 57,7) + (7,29 + 0,51)$

Вычислим сумму в каждой скобке:

$42,3 + 57,7 = 100$

$7,29 + 0,51 = 7,8$

Сложим полученные результаты:

$100 + 7,8 = 107,8$

Ответ: $107,8$

в) $3,17 \cdot 125 \cdot 8$

Применим сочетательный закон умножения. Удобнее сначала умножить $125$ на $8$, так как их произведение — круглое число.

$3,17 \cdot (125 \cdot 8)$

Вычислим произведение в скобках:

$125 \cdot 8 = 1000$

Теперь умножим $3,17$ на полученный результат:

$3,17 \cdot 1000 = 3170$

Ответ: $3170$

г) $1,25 \cdot 13 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 2,5$

Используем переместительный и сочетательный законы умножения, чтобы сгруппировать множители, произведение которых дает круглые числа.

Сгруппируем $1,25$ с $8$ и $4$ с $2,5$:

$(1,25 \cdot 8) \cdot (4 \cdot 2,5) \cdot 13$

Вычислим произведения в скобках:

$1,25 \cdot 8 = 10$

$4 \cdot 2,5 = 10$

Теперь перемножим полученные результаты и оставшийся множитель $13$:

$10 \cdot 10 \cdot 13 = 100 \cdot 13 = 1300$

Ответ: $1300$

42. а) $2 \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{1}{2};$

б) $\frac{2}{5} \cdot (2 \frac{1}{2} \cdot 5,4);$

в) $765 \cdot 59 + 235 \cdot 59;$

г) $(3 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{4}) \cdot 12;$

д) $4 \frac{1}{2} \cdot 7 \frac{2}{3} + 4 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{3};$

е) $42 \cdot 43,8 - 42 \cdot 3,8.$

а) $2\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{2}$
Для решения этого примера преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Теперь выполним умножение полученных дробей:
$\frac{25}{9} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{25 \cdot 2 \cdot 3}{9 \cdot 3 \cdot 2}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе (2 и 3):
$\frac{25 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3}}{9 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2}} = \frac{25}{9}$
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$
Ответ: $2\frac{7}{9}$

б) $\frac{2}{5} \cdot (2\frac{1}{2} \cdot 5,4)$
Для удобства вычислений преобразуем все числа в обыкновенные дроби.
$2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
$5,4 = 5\frac{4}{10} = 5\frac{2}{5} = \frac{27}{5}$
Подставим полученные дроби в выражение:
$\frac{2}{5} \cdot (\frac{5}{2} \cdot \frac{27}{5})$
Используя сочетательный закон умножения, мы можем изменить порядок умножения:
$(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}) \cdot \frac{27}{5} = 1 \cdot \frac{27}{5} = \frac{27}{5}$
Преобразуем результат в десятичную дробь:
$\frac{27}{5} = 5,4$
Ответ: $5,4$

в) $765 \cdot 59 + 235 \cdot 59$
В этом выражении можно применить распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$.
Вынесем общий множитель 59 за скобки:
$(765 + 235) \cdot 59$
Выполним сложение в скобках:
$765 + 235 = 1000$
Теперь умножим полученный результат на 59:
$1000 \cdot 59 = 59000$
Ответ: $59000$

г) $(3\frac{1}{3} - 1\frac{1}{4}) \cdot 12$
Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 12.
$3\frac{1}{3} = 3\frac{4}{12}$
$1\frac{1}{4} = 1\frac{3}{12}$
$3\frac{4}{12} - 1\frac{3}{12} = 2\frac{1}{12}$
Теперь умножим результат на 12. Преобразуем $2\frac{1}{12}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$
$\frac{25}{12} \cdot 12 = 25$
Ответ: $25$

д) $4\frac{1}{2} \cdot 7\frac{2}{3} + 4\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{3}$
Используем распределительное свойство умножения, вынеся общий множитель $4\frac{1}{2}$ за скобки:
$4\frac{1}{2} \cdot (7\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3})$
Выполним сложение в скобках:
$7\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = (7+2) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 9 + \frac{3}{3} = 9 + 1 = 10$
Теперь умножим $4\frac{1}{2}$ на 10. Преобразуем $4\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:
$4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
$\frac{9}{2} \cdot 10 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 9 \cdot 5 = 45$
Ответ: $45$

е) $42 \cdot 43,8 - 42 \cdot 3,8$
Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b-c)$.
Вынесем общий множитель 42 за скобки:
$42 \cdot (43,8 - 3,8)$
Выполним вычитание в скобках:
$43,8 - 3,8 = 40$
Теперь умножим 42 на 40:
$42 \cdot 40 = 1680$
Ответ: $1680$

43. а) $\frac{4,8 \cdot 2,12 \cdot 0,25}{10,6 \cdot 0,96 \cdot 2,5}$

б) $\frac{3,2 \cdot 0,72 \cdot 5,05}{3,6 \cdot 6,4 \cdot 4,04}$

В) $\frac{6,25 \cdot 0,49 \cdot 0,88}{7,7 \cdot 3,5 \cdot 0,125}$

г) $\frac{18,18 \cdot 6,8 \cdot 4,3}{0,86 \cdot 0,34 \cdot 9,09}$

a) Для решения данного примера, представим дробь в виде произведения трех дробей, сгруппировав множители для удобства сокращения:
$ \frac{4,8 \cdot 2,12 \cdot 0,25}{10,6 \cdot 0,96 \cdot 2,5} = \frac{4,8}{0,96} \cdot \frac{2,12}{10,6} \cdot \frac{0,25}{2,5} $
Теперь вычислим значение каждой дроби по отдельности:
$ \frac{4,8}{0,96} = \frac{480}{96} = 5 $
$ \frac{2,12}{10,6} = \frac{1 \cdot 2,12}{5 \cdot 2,12} = \frac{1}{5} $
$ \frac{0,25}{2,5} = \frac{1 \cdot 0,25}{10 \cdot 0,25} = \frac{1}{10} $
Перемножим полученные результаты:
$ 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = 1 \cdot \frac{1}{10} = 0,1 $
Ответ: 0,1.

б) Сгруппируем множители в числителе и знаменателе для упрощения вычислений:
$ \frac{3,2 \cdot 0,72 \cdot 5,05}{3,6 \cdot 6,4 \cdot 4,04} = \frac{3,2}{6,4} \cdot \frac{0,72}{3,6} \cdot \frac{5,05}{4,04} $
Вычислим значение каждой дроби:
$ \frac{3,2}{6,4} = \frac{1 \cdot 3,2}{2 \cdot 3,2} = \frac{1}{2} $
$ \frac{0,72}{3,6} = \frac{7,2}{36} = \frac{2 \cdot 3,6}{10 \cdot 3,6} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $
$ \frac{5,05}{4,04} = \frac{5 \cdot 1,01}{4 \cdot 1,01} = \frac{5}{4} $
Теперь перемножим полученные дроби:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 5}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0,125 $
Ответ: 0,125.

в) Перегруппируем множители для удобства вычислений:
$ \frac{6,25 \cdot 0,49 \cdot 0,88}{7,7 \cdot 3,5 \cdot 0,125} = \frac{6,25}{0,125} \cdot \frac{0,49}{3,5} \cdot \frac{0,88}{7,7} $
Вычислим значение каждого сомножителя:
$ \frac{6,25}{0,125} = \frac{6250}{125} = 50 $
$ \frac{0,49}{3,5} = \frac{0,7 \cdot 0,7}{5 \cdot 0,7} = \frac{0,7}{5} = 0,14 $
$ \frac{0,88}{7,7} = \frac{0,8 \cdot 1,1}{7 \cdot 1,1} = \frac{0,8}{7} = \frac{8}{70} = \frac{4}{35} $
Перемножим полученные значения:
$ 50 \cdot 0,14 \cdot \frac{4}{35} = 50 \cdot \frac{14}{100} \cdot \frac{4}{35} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot \frac{4}{35} = 7 \cdot \frac{4}{35} = \frac{28}{35} = \frac{4}{5} = 0,8 $
Ответ: 0,8.

г) Сгруппируем множители для упрощения выражения:
$ \frac{18,18 \cdot 6,8 \cdot 4,3}{0,86 \cdot 0,34 \cdot 9,09} = \frac{18,18}{9,09} \cdot \frac{6,8}{0,34} \cdot \frac{4,3}{0,86} $
Вычислим значение каждой дроби по отдельности:
$ \frac{18,18}{9,09} = \frac{2 \cdot 9,09}{1 \cdot 9,09} = 2 $
$ \frac{6,8}{0,34} = \frac{680}{34} = 20 $
$ \frac{4,3}{0,86} = \frac{430}{86} = \frac{10 \cdot 43}{2 \cdot 43} = \frac{10}{2} = 5 $
Перемножим результаты:
$ 2 \cdot 20 \cdot 5 = 40 \cdot 5 = 200 $
Ответ: 200.

44. Вычислите:

а) $(-24.3) : (4.5 - 4.5 \cdot (-0.8)) : 0.5;$

б) $12.5 \cdot (-3.6 + 3.6 \cdot (-1.5)) \cdot (-0.8).$

а) $(-24,3) : (4,5 - 4,5 \cdot (-0,8)) : 0,5$

Решим по действиям, соблюдая правильный порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках (сперва умножение, затем вычитание), а после этого — деление слева направо.

1. Первое действие в скобках – умножение:
$4,5 \cdot (-0,8) = -3,6$

2. Второе действие в скобках – вычитание:
$4,5 - (-3,6) = 4,5 + 3,6 = 8,1$

3. Теперь исходное выражение приняло вид: $(-24,3) : 8,1 : 0,5$. Выполним первое деление:
$(-24,3) : 8,1 = -(24,3 : 8,1) = -(243 : 81) = -3$

4. Выполним второе деление:
$-3 : 0,5 = -3 : \frac{1}{2} = -3 \cdot 2 = -6$

Ответ: $-6$

б) $12,5 \cdot (-3,6 + 3,6 \cdot (-1,5)) \cdot (-0,8)$

Решим по действиям. Сначала вычисляем выражение в скобках (сперва умножение, затем сложение), после чего выполняем умножение слева направо.

1. Первое действие в скобках – умножение:
$3,6 \cdot (-1,5) = -5,4$

2. Второе действие в скобках – сложение:
$-3,6 + (-5,4) = -3,6 - 5,4 = -9$

3. Теперь выражение выглядит так: $12,5 \cdot (-9) \cdot (-0,8)$. Для удобства вычислений можно поменять множители местами и сначала умножить $12,5$ на $-0,8$:
$12,5 \cdot (-0,8) = -10$

4. Выполним оставшееся умножение:
$-10 \cdot (-9) = 90$

Ответ: $90$

Вычислите наиболее простым способом (45-46):

45. а) $751 - 387 - 551 + 387 - 600;$

б) $(4.7 - 4.9) + (4.9 - 5.1) - (-5.1 - 5.3).$

а) Чтобы вычислить значение выражения $751 - 387 - 551 + 387 - 600$ наиболее простым способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения и сгруппируем слагаемые. В выражении есть два противоположных числа ($-387$ и $+387$), сумма которых равна нулю. Также удобно сгруппировать $751$ и $-551$.

Перегруппируем члены выражения:

$751 - 387 - 551 + 387 - 600 = (751 - 551) + (-387 + 387) - 600$.

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим сумму противоположных чисел:
$-387 + 387 = 0$.

2. Затем вычислим разность в первой скобке:
$751 - 551 = 200$.

3. Подставим полученные значения обратно в выражение и найдем окончательный результат:
$200 + 0 - 600 = 200 - 600 = -400$.

Ответ: $-400$.

б) Чтобы вычислить значение выражения $(4,7 - 4,9) + (4,9 - 5,1) - (-5,1 - 5,3)$ наиболее простым способом, сначала раскроем все скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых внутри не меняются. Если перед скобкой стоит знак «-», знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.

Раскроем скобки:

$(4,7 - 4,9) + (4,9 - 5,1) - (-5,1 - 5,3) = 4,7 - 4,9 + 4,9 - 5,1 + 5,1 + 5,3$.

Теперь сгруппируем подобные и противоположные слагаемые. Заметим, что в выражении есть две пары противоположных чисел: $-4,9$ и $+4,9$, а также $-5,1$ и $+5,1$.

$4,7 + (-4,9 + 4,9) + (-5,1 + 5,1) + 5,3$.

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычислим суммы противоположных чисел:
$-4,9 + 4,9 = 0$
$-5,1 + 5,1 = 0$

2. Подставим полученные значения в выражение:
$4,7 + 0 + 0 + 5,3 = 4,7 + 5,3$.

3. Вычислим оставшуюся сумму:
$4,7 + 5,3 = 10$.

Ответ: $10$.

46. a) $4,6 \cdot 7,3 + 5,4 \cdot 8,5 + 4,6 \cdot 8,5 + 5,4 \cdot 7,3;$

б) $9,8 \cdot 17,42 + 9,8 \cdot 5,58 - 1,8 \cdot 17,42 - 1,8 \cdot 5,58;$

в) $15,37 \cdot 7,88 - 9,37 \cdot 7,88 + 15,37 \cdot 2,12 - 9,37 \cdot 2,12;$

г) $4,54 \cdot 77,7 - 4,54 \cdot 7,7 + 7,46 \cdot 77,7 - 7,46 \cdot 7,7;$

д) $75,9 \cdot 42,3 - 65,9 \cdot 42,3 + 628 \cdot 1,77 - 528 \cdot 1,77.$

а) $4,6 \cdot 7,3 + 5,4 \cdot 8,5 + 4,6 \cdot 8,5 + 5,4 \cdot 7,3$

Для упрощения вычислений сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Переставим слагаемые местами:

$(4,6 \cdot 7,3 + 5,4 \cdot 7,3) + (4,6 \cdot 8,5 + 5,4 \cdot 8,5)$

Воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общие множители $7,3$ и $8,5$ за скобки в каждой группе:

$(4,6 + 5,4) \cdot 7,3 + (4,6 + 5,4) \cdot 8,5$

Вычислим сумму в скобках:

$4,6 + 5,4 = 10$

Теперь выражение выглядит так:

$10 \cdot 7,3 + 10 \cdot 8,5$

Снова вынесем общий множитель $10$ за скобки:

$10 \cdot (7,3 + 8,5)$

Вычислим сумму в скобках:

$7,3 + 8,5 = 15,8$

Наконец, выполним умножение:

$10 \cdot 15,8 = 158$

Ответ: 158

б) $9,8 \cdot 17,42 + 9,8 \cdot 5,58 - 1,8 \cdot 17,42 - 1,8 \cdot 5,58$

Сгруппируем слагаемые. Удобно сгруппировать члены с множителями $9,8$ и $-1,8$:

$(9,8 \cdot 17,42 + 9,8 \cdot 5,58) - (1,8 \cdot 17,42 + 1,8 \cdot 5,58)$

Вынесем общие множители $9,8$ и $1,8$ за скобки в каждой группе:

$9,8 \cdot (17,42 + 5,58) - 1,8 \cdot (17,42 + 5,58)$

Вычислим сумму в скобках, так как она одинакова для обеих групп:

$17,42 + 5,58 = 23$

Подставим результат в выражение:

$9,8 \cdot 23 - 1,8 \cdot 23$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $23$:

$(9,8 - 1,8) \cdot 23$

Вычислим разность в скобках:

$9,8 - 1,8 = 8$

Выполним последнее умножение:

$8 \cdot 23 = 184$

Ответ: 184

в) $15,37 \cdot 7,88 - 9,37 \cdot 7,88 + 15,37 \cdot 2,12 - 9,37 \cdot 2,12$

Сгруппируем члены с общими множителями $7,88$ и $2,12$:

$(15,37 \cdot 7,88 - 9,37 \cdot 7,88) + (15,37 \cdot 2,12 - 9,37 \cdot 2,12)$

Вынесем общие множители $7,88$ и $2,12$ за скобки:

$(15,37 - 9,37) \cdot 7,88 + (15,37 - 9,37) \cdot 2,12$

Вычислим разность в скобках:

$15,37 - 9,37 = 6$

Подставим значение в выражение:

$6 \cdot 7,88 + 6 \cdot 2,12$

Вынесем общий множитель $6$ за скобки:

$6 \cdot (7,88 + 2,12)$

Вычислим сумму в скобках:

$7,88 + 2,12 = 10$

Найдем окончательный результат:

$6 \cdot 10 = 60$

Ответ: 60

г) $4,54 \cdot 77,7 - 4,54 \cdot 7,7 + 7,46 \cdot 77,7 - 7,46 \cdot 7,7$

Сгруппируем члены с общими множителями $4,54$ и $7,46$:

$(4,54 \cdot 77,7 - 4,54 \cdot 7,7) + (7,46 \cdot 77,7 - 7,46 \cdot 7,7)$

Вынесем общие множители $4,54$ и $7,46$ за скобки:

$4,54 \cdot (77,7 - 7,7) + 7,46 \cdot (77,7 - 7,7)$

Вычислим разность в скобках:

$77,7 - 7,7 = 70$

Подставим полученное значение:

$4,54 \cdot 70 + 7,46 \cdot 70$

Вынесем общий множитель $70$ за скобки:

$(4,54 + 7,46) \cdot 70$

Вычислим сумму в скобках:

$4,54 + 7,46 = 12$

Выполним умножение:

$12 \cdot 70 = 840$

Ответ: 840

д) $75,9 \cdot 42,3 - 65,9 \cdot 42,3 + 628 \cdot 1,77 - 528 \cdot 1,77$

Это выражение можно разбить на две части и упростить каждую из них по отдельности. Первая часть: $75,9 \cdot 42,3 - 65,9 \cdot 42,3$. Вторая часть: $628 \cdot 1,77 - 528 \cdot 1,77$.

Упростим первую часть, вынеся за скобки общий множитель $42,3$:

$(75,9 - 65,9) \cdot 42,3 = 10 \cdot 42,3 = 423$

Упростим вторую часть, вынеся за скобки общий множитель $1,77$:

$(628 - 528) \cdot 1,77 = 100 \cdot 1,77 = 177$

Теперь сложим результаты упрощения обеих частей:

$423 + 177 = 600$

Ответ: 600

Вычислите (47–51):

47. а) $ \frac{1}{4} + 2,7; $ б) $ 4,1 \cdot \frac{2}{5}; $ в) $ 2,9 - 1\frac{3}{4}; $ г) $ 4,5 : 2\frac{1}{2}; $

д) $ 3\frac{2}{3} - 0,25; $ е) $ 2\frac{1}{7} \cdot 0,7; $ ж) $ \frac{1}{2} : 0,3; $ з) $ 2\frac{1}{2} : 4,5. $

а) Для выполнения сложения смешанных чисел представим оба слагаемых в виде десятичных дробей.
Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$ в десятичную:
$\frac{1}{4} = 1 : 4 = 0,25$.
Теперь выполним сложение:
$0,25 + 2,7 = 2,95$.
Ответ: $2,95$.

б) Для выполнения умножения представим оба множителя в виде десятичных дробей.
Переведем обыкновенную дробь $\frac{2}{5}$ в десятичную:
$\frac{2}{5} = 2 : 5 = 0,4$.
Теперь выполним умножение:
$4,1 \cdot 0,4 = 1,64$.
Ответ: $1,64$.

в) Для выполнения вычитания представим оба числа в виде десятичных дробей.
Переведем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в десятичную дробь:
$1\frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1 + 0,75 = 1,75$.
Теперь выполним вычитание:
$2,9 - 1,75 = 2,90 - 1,75 = 1,15$.
Ответ: $1,15$.

г) Для выполнения деления представим оба числа в виде десятичных дробей.
Переведем смешанное число $2\frac{1}{2}$ в десятичную дробь:
$2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2 + 0,5 = 2,5$.
Теперь выполним деление:
$4,5 : 2,5 = 45 : 25 = \frac{45}{25} = \frac{9}{5} = 1,8$.
Ответ: $1,8$.

д) Дробь $\frac{2}{3}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Поэтому для вычисления переведем десятичную дробь в обыкновенную.
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 12:
$3\frac{2}{3} - 0,25 = 3\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = 3\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 3\frac{8}{12} - \frac{3}{12} = 3\frac{5}{12}$.
Ответ: $3\frac{5}{12}$.

е) Дробь $\frac{1}{7}$ является бесконечной периодической десятичной дробью. Поэтому для вычисления переведем оба числа в обыкновенные дроби.
$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.
$0,7 = \frac{7}{10}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{15 \cdot 7}{7 \cdot 10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: $1,5$.

ж) Для выполнения деления переведем десятичную дробь в обыкновенную.
$0,3 = \frac{3}{10}$.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{1}{2} : \frac{3}{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$.

з) Для выполнения деления представим смешанное число и десятичную дробь в виде обыкновенных дробей.
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
$4,5 = 4\frac{5}{10} = 4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{5}{2} : \frac{9}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$.

48. a) $(1,545 : 1,5 - 1) \cdot 2\frac{2}{3} + 0,5 \cdot \frac{4}{15};$

б) $(2,678 : 1,3 - 2) \cdot 3\frac{1}{3} + 0,3 \cdot \frac{7}{15}.$

a)

Решим выражение по действиям: $(1,545 : 1,5 - 1) \cdot 2\frac{2}{3} + 0,5 \cdot \frac{4}{15}$.
1. Первым действием выполним деление в скобках: $1,545 : 1,5 = 1,03$.
2. Далее выполним вычитание в скобках: $1,03 - 1 = 0,03$.
3. Теперь умножим результат из скобок на смешанное число. Для удобства переведем оба числа в обыкновенные дроби: $0,03 = \frac{3}{100}$ и $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{3}{100} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{100 \cdot 3} = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$.
4. Выполним второе умножение. Переведем $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 15} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.
5. Последним действием выполним сложение полученных результатов. Приведем дроби к общему знаменателю 75.
$\frac{2}{25} + \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 3}{75} + \frac{2 \cdot 5}{75} = \frac{6}{75} + \frac{10}{75} = \frac{16}{75}$.
Ответ: $\frac{16}{75}$

б)

Решим выражение по действиям: $(2,678 : 1,3 - 2) \cdot 3\frac{1}{3} + 0,3 \cdot \frac{7}{15}$.
1. Первым действием выполним деление в скобках: $2,678 : 1,3 = 2,06$.
2. Далее выполним вычитание в скобках: $2,06 - 2 = 0,06$.
3. Теперь умножим результат из скобок на смешанное число. Для удобства переведем оба числа в обыкновенные дроби: $0,06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
$\frac{3}{50} \cdot \frac{10}{3} = \frac{3 \cdot 10}{50 \cdot 3} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.
4. Выполним второе умножение. Переведем $0,3$ в обыкновенную дробь: $0,3 = \frac{3}{10}$.
$\frac{3}{10} \cdot \frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} = \frac{7}{10 \cdot 5} = \frac{7}{50}$.
5. Последним действием выполним сложение полученных результатов. Приведем дроби к общему знаменателю 50.
$\frac{1}{5} + \frac{7}{50} = \frac{1 \cdot 10}{50} + \frac{7}{50} = \frac{10}{50} + \frac{7}{50} = \frac{17}{50}$.
Ответ: $\frac{17}{50}$

49. а) $ \frac{2}{7} : 8 + 5 : 0,7 - \frac{3}{4} : 21;$

б) $ 3 : 4\frac{1}{5} + 5,4 : 7,2 - \frac{2}{7} : 0,8;$

в) $ 4,5 \cdot \frac{2}{3} - 1\frac{5}{7} : 1,2 + 3\frac{1}{5} \cdot 3\frac{1}{8};$

г) $ 6,25 : \frac{5}{3} - 2,5 : 1,5 + 7\frac{1}{2} - 8\frac{1}{3}.$

а) $ \frac{2}{7} : 8 + 5 : 0,7 - \frac{3}{4} : 21 $

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала выполняем деление, а затем сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним первое деление: $ \frac{2}{7} : 8 = \frac{2}{7} : \frac{8}{1} = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{56} = \frac{1}{28} $.

2. Выполним второе деление, предварительно представив десятичную дробь в виде обыкновенной: $ 5 : 0,7 = 5 : \frac{7}{10} = 5 \cdot \frac{10}{7} = \frac{50}{7} = 7\frac{1}{7} $.

3. Выполним третье деление: $ \frac{3}{4} : 21 = \frac{3}{4} : \frac{21}{1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{21} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28} $.

4. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение: $ \frac{1}{28} + 7\frac{1}{7} - \frac{1}{28} $. Видно, что первый и последний члены взаимно уничтожаются: $ (\frac{1}{28} - \frac{1}{28}) + 7\frac{1}{7} = 0 + 7\frac{1}{7} = 7\frac{1}{7} $.

Ответ: $ 7\frac{1}{7} $

б) $ 3 : 4\frac{1}{5} + 5,4 : 7,2 - \frac{2}{7} : 0,8 $

Решим выражение по действиям.

1. Первое деление. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $ 4\frac{1}{5} = \frac{21}{5} $. Тогда: $ 3 : \frac{21}{5} = 3 \cdot \frac{5}{21} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7} $.

2. Второе деление: $ 5,4 : 7,2 = \frac{54}{10} : \frac{72}{10} = \frac{54}{72} $. Сократим дробь на 18: $ \frac{54 \div 18}{72 \div 18} = \frac{3}{4} $.

3. Третье деление. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $. Тогда: $ \frac{2}{7} : \frac{4}{5} = \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} $.

4. Соберем все вместе: $ \frac{5}{7} + \frac{3}{4} - \frac{5}{14} $. Приведем дроби к общему знаменателю 28: $ \frac{5 \cdot 4}{28} + \frac{3 \cdot 7}{28} - \frac{5 \cdot 2}{28} = \frac{20}{28} + \frac{21}{28} - \frac{10}{28} = \frac{20 + 21 - 10}{28} = \frac{31}{28} = 1\frac{3}{28} $.

Ответ: $ 1\frac{3}{28} $

в) $ 4,5 \cdot \frac{2}{3} - 1\frac{5}{7} : 1,2 + 3\frac{1}{5} \cdot 3\frac{1}{8} $

Решим выражение по действиям, начиная с умножения и деления.

1. Первое умножение. $ 4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2} $. Тогда: $ \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{6} = 3 $.

2. Деление. $ 1\frac{5}{7} = \frac{12}{7} $ и $ 1,2 = \frac{12}{10} $. Тогда: $ \frac{12}{7} : \frac{12}{10} = \frac{12}{7} \cdot \frac{10}{12} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} $.

3. Второе умножение. $ 3\frac{1}{5} = \frac{16}{5} $ и $ 3\frac{1}{8} = \frac{25}{8} $. Тогда: $ \frac{16}{5} \cdot \frac{25}{8} = \frac{16 \cdot 25}{5 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 8} = 10 $.

4. Выполним вычитание и сложение: $ 3 - 1\frac{3}{7} + 10 = 13 - 1\frac{3}{7} = 12 - \frac{3}{7} = 11\frac{4}{7} $.

Ответ: $ 11\frac{4}{7} $

г) $ 6,25 : \frac{5}{3} - 2,5 : 1,5 + 7\frac{1}{2} - 8\frac{1}{3} $

Решим выражение по действиям.

1. Первое деление. $ 6,25 = 6\frac{1}{4} = \frac{25}{4} $. Тогда: $ \frac{25}{4} : \frac{5}{3} = \frac{25}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 3}{4} = \frac{15}{4} $.

2. Второе деление: $ 2,5 : 1,5 = \frac{25}{10} : \frac{15}{10} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} $.

3. Подставим результаты в выражение: $ \frac{15}{4} - \frac{5}{3} + 7\frac{1}{2} - 8\frac{1}{3} $. Переведем все числа в неправильные дроби: $ \frac{15}{4} - \frac{5}{3} + \frac{15}{2} - \frac{25}{3} $.

4. Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями: $ (\frac{15}{4} + \frac{15}{2}) - (\frac{5}{3} + \frac{25}{3}) $. Приведем дроби в первых скобках к общему знаменателю 4: $ (\frac{15}{4} + \frac{30}{4}) - \frac{30}{3} = \frac{45}{4} - 10 $.

5. Выполним вычитание: $ \frac{45}{4} - 10 = \frac{45}{4} - \frac{40}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} $.

Ответ: $ 1\frac{1}{4} $

50. a) $\frac{\left(8\frac{1}{4} - 3.51\right) : 2.37}{\frac{1}{5} \cdot 3.17 - 2.205 : 3\frac{1}{2}}$

б) $\frac{\left(3\frac{1}{3} - 2.5\right) \cdot 6.6}{15.717 : 3.1 - \frac{1}{7} \cdot 0.49}$

а)

Решим данное выражение по действиям, сначала вычислим числитель, затем знаменатель, и в конце найдем их частное.
1. Вычислим значение числителя: $(8\frac{1}{4} - 3,51) : 2,37$.
1) Переведем смешанную дробь в десятичную для удобства вычислений: $8\frac{1}{4} = 8,25$.
2) Выполним вычитание в скобках: $8,25 - 3,51 = 4,74$.
3) Выполним деление: $4,74 : 2,37 = 2$.
Таким образом, значение числителя равно 2.
2. Вычислим значение знаменателя: $\frac{1}{5} \cdot 3,17 - 2,205 : 3\frac{1}{2}$.
1) Выполним умножение, предварительно представив $\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби: $\frac{1}{5} = 0,2$.
$0,2 \cdot 3,17 = 0,634$.
2) Выполним деление, предварительно представив $3\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби: $3\frac{1}{2} = 3,5$.
$2,205 : 3,5 = 0,63$.
3) Выполним вычитание: $0,634 - 0,63 = 0,004$.
Таким образом, значение знаменателя равно 0,004.
3. Найдем значение исходного выражения, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{2}{0,004} = \frac{2000}{4} = 500$.
Ответ: 500

б)

Решим данное выражение по действиям.
1. Вычислим значение числителя: $(3\frac{1}{3} - 2,5) \cdot 6,6$.
1) Для вычитания преобразуем оба числа в обыкновенные дроби: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $2,5 = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
$\frac{10}{3} - \frac{5}{2} = \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6}$.
2) Для умножения преобразуем $6,6$ в обыкновенную дробь: $6,6 = 6\frac{6}{10} = \frac{66}{10} = \frac{33}{5}$.
$\frac{5}{6} \cdot \frac{33}{5} = \frac{5 \cdot 33}{6 \cdot 5} = \frac{33}{6} = \frac{11}{2} = 5,5$.
Таким образом, значение числителя равно 5,5.
2. Вычислим значение знаменателя: $15,717 : 3,1 - \frac{1}{7} \cdot 0,49$.
1) Выполним деление: $15,717 : 3,1 = 5,07$.
2) Выполним умножение: $\frac{1}{7} \cdot 0,49 = \frac{1}{7} \cdot \frac{49}{100} = \frac{7}{100} = 0,07$.
3) Выполним вычитание: $5,07 - 0,07 = 5$.
Таким образом, значение знаменателя равно 5.
3. Найдем значение исходного выражения, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{5,5}{5} = 1,1$.
Ответ: 1,1