Страница 284 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

106. Две машины выехали одновременно навстречу друг другу из городов A и B и встретились через 3 ч. Ещё через 2 ч легковая машина прибыла в город B. За сколько часов грузовая машина доехала от города B до города A?

Обозначим скорость легковой машины как $v_л$, а скорость грузовой машины — $v_г$. Пусть расстояние между городами A и B равно $S$. Легковая машина выехала из города А, а грузовая — из города В.

Машины встретились через 3 часа. К моменту встречи легковая машина проехала расстояние $S_л = v_л \cdot 3$, а грузовая — $S_г = v_г \cdot 3$. Вместе они преодолели всё расстояние между городами, поэтому:

$S = S_л + S_г = 3v_л + 3v_г = 3(v_л + v_г)$

После встречи легковой машине, чтобы добраться до города В, оставалось проехать расстояние $S_г$, которое до встречи проехала грузовая машина. По условию, она затратила на это 2 часа. Таким образом, можно записать:

$S_г = v_л \cdot 2$

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $S_г$:

$S_г = 3v_г$ и $S_г = 2v_л$

Приравняем их, чтобы найти соотношение скоростей:

$3v_г = 2v_л$

Отсюда $v_л = \frac{3}{2}v_г = 1.5v_г$.

Теперь найдем общее расстояние $S$, выразив его через скорость грузовой машины $v_г$:

$S = 3(v_л + v_г) = 3(1.5v_г + v_г) = 3(2.5v_г) = 7.5v_г$

Чтобы найти общее время, которое грузовая машина затратила на весь путь от города В до города А ($T_г$), нужно разделить всё расстояние $S$ на её скорость $v_г$:

$T_г = \frac{S}{v_г} = \frac{7.5v_г}{v_г} = 7.5$ часов.

Ответ: 7,5 часов.

107. В хозяйстве под картофель занята площадь, в 3 раза большая, чем под капусту. Под капусту занято на 36 га меньше, чем под картофель. Какая площадь занята под картофель?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: арифметический и алгебраический.

1. Арифметический способ (по действиям):

Из условия известно, что площадь под картофель в 3 раза больше, чем под капусту. Это значит, что разница в площади между картофелем и капустой составляет 2 "части" (3 части картофеля - 1 часть капусты).

1) Найдем, на сколько частей площадь под картофель больше, чем под капусту:
$3 - 1 = 2$ (части)

2) По условию эта разница составляет 36 га. Значит, 2 части равны 36 га. Найдем, сколько гектаров составляет одна часть (площадь под капусту):
$36 / 2 = 18$ (га) - площадь, занятая под капусту.

3) Теперь найдем площадь, занятую под картофель, которая составляет 3 части:
$18 * 3 = 54$ (га)

2. Алгебраический способ (через уравнение):

Пусть $x$ га – это площадь, занятая под капусту.

Тогда $3x$ га – это площадь, занятая под картофель, так как она в 3 раза больше.

Разница между площадью под картофель и под капусту составляет 36 га. Составим и решим уравнение:

$3x - x = 36$

$2x = 36$

$x = 36 / 2$

$x = 18$ (га) – площадь под капусту.

Теперь найдем площадь под картофель:

$3 * 18 = 54$ (га)

Ответ: 54 га.

108. Первая глава книги содержит в 3 раза меньше страниц, чем две другие, вместе взятые. Три главы вместе содержат 276 страниц. Сколько страниц в первой главе?

Пусть $x$ — это количество страниц в первой главе книги.

Согласно условию, первая глава содержит в 3 раза меньше страниц, чем две другие главы, вместе взятые. Это означает, что две другие главы вместе содержат в 3 раза больше страниц, чем первая. Таким образом, количество страниц в двух других главах равно $3x$.

Всего в трех главах 276 страниц. Мы можем составить уравнение, сложив количество страниц в первой главе и количество страниц в двух других главах:

$x + 3x = 276$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$4x = 276$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = 276 \div 4$

$x = 69$

Следовательно, в первой главе книги 69 страниц.

Ответ: 69 страниц.

109. Мост длиной 324 м имеет четыре пролёта, из которых два в 2 раза короче двух других, имеющих одинаковую длину. Определите длины пролётов моста.

Пусть $x$ — длина одного из двух коротких пролётов моста. Поскольку эти два пролёта одинаковы, их общая длина составляет $2x$.

По условию, два других пролёта в 2 раза длиннее коротких и также имеют одинаковую длину. Следовательно, длина каждого из длинных пролётов равна $2x$. Их общая длина составляет $2 \cdot (2x) = 4x$.

Общая длина моста равна сумме длин всех четырёх пролётов. Мы можем составить уравнение:

$2x + 4x = 324$

Теперь решим это уравнение:

$6x = 324$

$x = \frac{324}{6}$

$x = 54$ (м)

Таким образом, длина каждого из двух коротких пролётов составляет 54 м.

Найдём длину каждого из двух длинных пролётов:

$2x = 2 \cdot 54 = 108$ (м)

Итак, мост состоит из двух пролётов по 54 метра и двух пролётов по 108 метров.

Ответ: два пролёта по 54 м и два пролёта по 108 м.

110. Кенгуру прыгает в длину на расстояние, в 4 раза большее, или на 9 м большее, чем в высоту. На какое расстояние кенгуру прыгает в длину?

Пусть высота прыжка кенгуру составляет $x$ метров.

Согласно условию задачи, расстояние, на которое кенгуру прыгает в длину, можно выразить двумя способами:

1. Длина прыжка в 4 раза больше высоты, то есть она равна $4x$ м.

2. Длина прыжка на 9 м больше высоты, то есть она равна $x + 9$ м.

Поскольку оба выражения описывают одну и ту же величину (длину прыжка), мы можем их приравнять, чтобы составить и решить уравнение:

$4x = x + 9$

Для решения уравнения перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую, изменив его знак:

$4x - x = 9$

$3x = 9$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Таким образом, высота прыжка кенгуру составляет 3 метра.

Чтобы найти, на какое расстояние кенгуру прыгает в длину, подставим найденное значение $x$ в любое из двух первоначальных выражений. Например, в первое:

Длина прыжка = $4x = 4 \times 3 = 12$ м.

Проверим результат по второму выражению:

Длина прыжка = $x + 9 = 3 + 9 = 12$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: 12 м.

111. Слон в 5 раз тяжелее белого медведя.

Белый медведь на 3,6 т легче слона.

Сколько весит каждое животное?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть масса белого медведя равна $x$ тонн. Согласно условию, слон в 5 раз тяжелее, следовательно, его масса составляет $5x$ тонн.

Также в условии сказано, что белый медведь на 3,6 тонны легче слона. Это означает, что разница между массой слона и массой белого медведя равна 3,6 тонны.

Составим уравнение, исходя из этих данных:

$5x - x = 3.6$

Теперь решим это уравнение:

$4x = 3.6$

$x = 3.6 / 4$

$x = 0.9$

Таким образом, мы нашли массу белого медведя — она составляет 0,9 тонны.

Теперь найдем массу слона, зная, что она в 5 раз больше массы медведя:

$5 * 0.9 = 4.5$

Масса слона составляет 4,5 тонны.

Проверим, выполняется ли второе условие: $4.5$ т $ - 0.9$ т $ = 3.6$ т. Условие выполняется.

Ответ: вес белого медведя — 0,9 тонны, вес слона — 4,5 тонны.

112. Для участия в эстафете ребята разделились на две команды. Чтобы участников эстафеты в командах стало поровну, учитель перевёл трёх человек из одной команды в другую. На сколько человек первоначально в одной команде было больше, чем в другой?

Для решения этой задачи можно рассмотреть два способа.

Способ 1: Алгебраический

Пусть в первой (более многочисленной) команде было $x$ человек, а во второй (менее многочисленной) — $y$ человек. Нам нужно найти первоначальную разницу в количестве участников, то есть $x - y$.
Когда учитель перевёл трёх человек из первой команды во вторую, количество участников в командах изменилось:

• в первой команде стало: $x - 3$ человека
• во второй команде стало: $y + 3$ человека

По условию, после этого количество участников в командах стало равным. Составим уравнение:
$x - 3 = y + 3$
Чтобы найти разницу $x - y$, преобразуем уравнение. Перенесём $y$ в левую часть уравнения, а число $-3$ — в правую:
$x - y = 3 + 3$
$x - y = 6$
Следовательно, первоначально в одной команде было на 6 человек больше, чем в другой.

Способ 2: Логический

Когда из большей команды уходят 3 человека, разница в количестве участников между командами уменьшается на 3.
Когда эти же 3 человека приходят в меньшую команду, она становится ближе по численности к большей, и разница сокращается ещё на 3.
Таким образом, чтобы команды стали равны, общая разница в численности должна была сократиться на $3 + 3 = 6$ человек.
Поскольку в итоге команды стали равны (то есть разница между ними стала равна нулю), это означает, что первоначальная разница и составляла 6 человек.
Проверка: если в одной команде было 10 человек, а в другой 4 (разница 6), то после перевода 3 человек из первой во вторую в командах станет $10 - 3 = 7$ и $4 + 3 = 7$. Условия задачи выполняются.

Ответ: 6

113. У Саши и Вити вместе 160 марок. После того как Саша дал Вите 15 марок, а Витя дал Саше 19 марок, число марок у мальчиков стало одинаковым. Сколько марок было у каждого мальчика первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $С$ — это первоначальное количество марок у Саши, а $В$ — первоначальное количество марок у Вити.

По условию, у них вместе было 160 марок. Мы можем составить первое уравнение:

$С + В = 160$

Далее проследим за изменениями количества марок у каждого мальчика.

1. Саша дал Вите 15 марок.

Количество марок у Саши стало: $С - 15$.

Количество марок у Вити стало: $В + 15$.

2. Витя дал Саше 19 марок.

Количество марок у Саши после этого стало: $(С - 15) + 19 = С + 4$.

Количество марок у Вити после этого стало: $(В + 15) - 19 = В - 4$.

После всех обменов количество марок у мальчиков стало одинаковым. На основе этого мы можем составить второе уравнение:

$С + 4 = В - 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $С + В = 160$
2) $С + 4 = В - 4$

Из второго уравнения выразим одну переменную через другую, например, $В$ через $С$:

$В = С + 4 + 4$

$В = С + 8$

Теперь подставим это выражение для $В$ в первое уравнение:

$С + (С + 8) = 160$

Решим полученное уравнение:

$2С + 8 = 160$

$2С = 160 - 8$

$2С = 152$

$С = 152 / 2$

$С = 76$

Таким образом, у Саши первоначально было 76 марок. Теперь найдем, сколько марок было у Вити:

$В = С + 8 = 76 + 8 = 84$

У Вити было 84 марки.

Проверим: $76 + 84 = 160$. Изначально у них было 160 марок. После обменов у Саши стало $76 + 4 = 80$ марок, а у Вити $84 - 4 = 80$ марок. Количество марок стало равным. Решение верное.

Ответ: первоначально у Саши было 76 марок, а у Вити — 84 марки.

114. В двух мешках 250 одинаковых монет. Если из одного мешка переложить в другой 25 монет, то количества монет в мешках сравняются. Сколько монет в каждом мешке?

Эту задачу можно решить двумя способами: арифметическим (по действиям) и алгебраическим (с помощью уравнений).

Способ 1: Арифметический

1. Узнаем, сколько монет стало в каждом мешке после того, как их количество сравнялось. Для этого общее количество монет разделим на два, так как мешка два:
$250 : 2 = 125$ (монет).

2. Это равное количество получилось после того, как из одного мешка убрали 25 монет, а в другой добавили 25 монет. Чтобы найти первоначальное количество, нужно выполнить обратные действия.
Найдем количество монет в мешке, из которого убирали (там изначально было больше):
$125 + 25 = 150$ (монет).

3. Найдем количество монет в мешке, в который добавляли (там изначально было меньше):
$125 - 25 = 100$ (монет).

Проверим: $150 + 100 = 250$ монет всего. Если из мешка со 150 монетами переложить 25, в нем станет $150 - 25 = 125$. В другом мешке станет $100 + 25 = 125$. Количество сравнялось.

Ответ: в одном мешке было 150 монет, а в другом 100 монет.

Способ 2: Алгебраический

Пусть в первом мешке было $x$ монет, а во втором $y$ монет. Исходя из условия задачи, составим систему из двух уравнений.

1. Сумма монет в двух мешках равна 250:
$x + y = 250$

2. Если из первого мешка (предположим, что в нем больше монет) переложить 25 монет во второй, то в первом станет $(x - 25)$ монет, а во втором $(y + 25)$. Эти количества будут равны:
$x - 25 = y + 25$

Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 250 \\ x - 25 = y + 25 \end{cases} $

Упростим второе уравнение: $x - y = 50$.
Теперь решим систему:
$ \begin{cases} x + y = 250 \\ x - y = 50 \end{cases} $

Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(x + y) + (x - y) = 250 + 50$
$2x = 300$
$x = 150$ (монет) - было в первом мешке.

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$150 + y = 250$
$y = 250 - 150$
$y = 100$ (монет) - было во втором мешке.

Ответ: в одном мешке было 150 монет, а в другом 100 монет.

115. a) Сумма числителя и знаменателя дроби равна 32, числитель на 2 меньше знаменателя. Найдите эту дробь.

б) Числитель на 8 больше знаменателя, сумма числителя и знаменателя равна 34. Найдите эту дробь.

а)

Обозначим числитель дроби как $x$, а знаменатель — как $y$. Таким образом, искомая дробь имеет вид $\frac{x}{y}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Сумма числителя и знаменателя равна 32: $x + y = 32$
2. Числитель на 2 меньше знаменателя: $x = y - 2$

Получаем систему:
$ \begin{cases} x + y = 32 \\ x = y - 2 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти значение $y$:
$(y - 2) + y = 32$
$2y - 2 = 32$
$2y = 34$
$y = \frac{34}{2} = 17$

Теперь, зная значение знаменателя $y = 17$, найдем числитель $x$ из второго уравнения:
$x = 17 - 2 = 15$

Итак, числитель равен 15, а знаменатель равен 17. Искомая дробь — $\frac{15}{17}$.
Проверим: $15 + 17 = 32$ и $15 = 17 - 2$. Условия выполнены.

Ответ: $\frac{15}{17}$

б)

Пусть числитель дроби равен $x$, а знаменатель равен $y$.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:
1. Числитель на 8 больше знаменателя: $x = y + 8$
2. Сумма числителя и знаменателя равна 34: $x + y = 34$

Получаем систему:
$ \begin{cases} x = y + 8 \\ x + y = 34 \end{cases} $

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(y + 8) + y = 34$
$2y + 8 = 34$
$2y = 34 - 8$
$2y = 26$
$y = \frac{26}{2} = 13$

Теперь найдем значение числителя $x$, подставив $y=13$ в первое уравнение:
$x = 13 + 8 = 21$

Следовательно, числитель равен 21, а знаменатель — 13. Искомая дробь — $\frac{21}{13}$.
Проверим: $21 = 13 + 8$ и $21 + 13 = 34$. Условия выполнены.

Ответ: $\frac{21}{13}$

116. Между городами $A$ и $B$ расстояние 331 км. На пути из $A$ в $B$ есть город $C$, расстояние от которого до города $A$ на 17 км больше, чем до города $B$. Найдите расстояние от $A$ до $C$ и от $B$ до $C$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км — это расстояние от города B до города C (BC). Согласно условию, расстояние от города A до города C (AC) на 17 км больше, следовательно, оно равно $(x + 17)$ км.

Город C находится на пути из A в B, поэтому сумма расстояний AC и BC равна общему расстоянию между городами A и B, которое составляет 331 км. На основе этого можно составить уравнение:

$(x + 17) + x = 331$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значения искомых расстояний.

$2x + 17 = 331$

$2x = 331 - 17$

$2x = 314$

$x = \frac{314}{2}$

$x = 157$

Мы нашли значение $x$, которое представляет собой расстояние от B до C.

расстояние от B до C

Расстояние от города B до города C равно $x$, то есть 157 км.
Ответ: 157 км.

расстояние от A до C

Расстояние от города A до города C равно $(x + 17)$. Подставим найденное значение $x$:

$157 + 17 = 174$ км.

Расстояние от города A до города C составляет 174 км.
Ответ: 174 км.

117. a) Книга в переплёте стоит 500 р. Книга на 400 р. дороже переплёта. Сколько стоит переплёт?

б) Бутылка масла стоит 100 р. Масло на 90 р. дороже бутылки. Сколько стоит масло?

а)

Пусть $x$ — это стоимость переплёта в рублях. Согласно условию, книга на 400 рублей дороже переплёта, значит, её стоимость (без переплёта) составляет $x + 400$ рублей. Общая стоимость книги в переплёте равна сумме стоимости книги и стоимости переплёта, что составляет 500 рублей.

Составим и решим уравнение:

$(x + 400) + x = 500$

$2x + 400 = 500$

$2x = 500 - 400$

$2x = 100$

$x = 100 / 2$

$x = 50$

Таким образом, стоимость переплёта составляет 50 рублей.

Ответ: 50 р.

б)

Пусть $y$ — это стоимость бутылки в рублях. По условию, масло на 90 рублей дороже бутылки, следовательно, его стоимость составляет $y + 90$ рублей. Общая стоимость бутылки с маслом равна 100 рублей.

Составим и решим уравнение:

$(y + 90) + y = 100$

$2y + 90 = 100$

$2y = 100 - 90$

$2y = 10$

$y = 10 / 2$

$y = 5$

Стоимость бутылки равна 5 рублям. Чтобы найти стоимость масла, нужно прибавить к стоимости бутылки 90 рублей:

$5 + 90 = 95$

Таким образом, стоимость масла составляет 95 рублей.

Ответ: 95 р.