Страница 285 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Сколько стоит масло?

118. Три доярки обслуживают на ферме 125 коров. Сколько доярок потребуется для обслуживания 625 коров при той же норме?

Для решения этой задачи нужно установить, как изменится требуемое количество доярок при увеличении количества коров, если норма обслуживания (количество коров на одну доярку) остается неизменной. Это задача на прямую пропорциональность.

1. Первым действием найдем, во сколько раз увеличилось количество коров. Для этого разделим новое количество коров на исходное:
$625 \div 125 = 5$
Таким образом, поголовье коров увеличилось в 5 раз.

2. Поскольку норма обслуживания на одну доярку осталась прежней, количество доярок должно увеличиться во столько же раз, во сколько увеличилось количество коров. Умножим исходное количество доярок на полученный коэффициент:
$3 \cdot 5 = 15$ (доярок)

Следовательно, для обслуживания 625 коров при той же норме потребуется 15 доярок.

Ответ: 15 доярок.

потребуется для обслуживания 625 коров при той же норме:

119. С конвейера автозавода каждые полторы минуты сходит один автомобиль. Сколько автомобилей выпускает завод за 1 ч?

Чтобы решить задачу, необходимо сначала выразить все временные интервалы в одинаковых единицах измерения. Удобнее всего использовать минуты.

1. Переведем 1 час в минуты.
$1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$

2. По условию, на выпуск одного автомобиля уходит полторы минуты, что в десятичной дроби записывается как 1,5 минуты.

3. Теперь, чтобы найти, сколько автомобилей выпускает завод за 1 час (то есть за 60 минут), нужно общее время разделить на время, затрачиваемое на производство одного автомобиля.
$\text{Количество автомобилей} = \frac{60 \text{ минут}}{1.5 \text{ минуты}}$

Выполним вычисление:
$60 \div 1.5 = 40$

Следовательно, за 1 час с конвейера автозавода сходит 40 автомобилей.

Ответ: 40 автомобилей.

120. На некотором участке заменили старые рельсы длиной 8 м новыми рельсами длиной 12 м.

а) Сколько потребуется новых рельсов, если сняли 240 старых рельсов?

б) Сколько сняли старых рельсов, если установили 240 новых рельсов?

а) Сколько потребуется новых рельсов, если сняли 240 старых рельсов?

Чтобы решить эту задачу, сначала нужно найти общую длину участка, на котором производилась замена рельсов. Эта длина одинакова как для старых, так и для новых рельсов.

1. Найдем общую длину участка. Для этого умножим количество старых рельсов на их длину:
$L_{общая} = 240 \times 8 = 1920$ м.

2. Теперь, зная общую длину, мы можем рассчитать, сколько новых рельсов длиной 12 м потребуется, чтобы покрыть это расстояние. Для этого разделим общую длину на длину одного нового рельса:
$N_{новых} = \frac{1920}{12} = 160$ рельсов.

Ответ: 160.

б) Сколько сняли старых рельсов, если установили 240 новых рельсов?

Эта задача решается аналогично, но в обратном порядке.

1. Сначала найдем общую длину участка, исходя из данных о новых рельсах. Умножим количество новых рельсов на их длину:
$L_{общая} = 240 \times 12 = 2880$ м.

2. Теперь, зная общую длину участка, найдем, сколько старых рельсов длиной 8 м было на нем до замены. Для этого разделим общую длину на длину одного старого рельса:
$N_{старых} = \frac{2880}{8} = 360$ рельсов.

Ответ: 360.

121. Колесо, окружность которого 1,5 м, сделало на некотором расстоянии 96 оборотов. Сколько оборотов на том же расстоянии сделает колесо, окружность которого 2,4 м?

Для решения этой задачи сначала необходимо вычислить общее расстояние, которое проехало первое колесо. Затем, зная это расстояние, можно найти количество оборотов, которое сделает второе колесо на той же дистанции.

1. Вычисление пройденного расстояния
Расстояние ($S$) равно произведению длины окружности колеса ($C$) на количество сделанных им оборотов ($N$).
Для первого колеса известны:
Длина окружности $C_1 = 1,5$ м.
Количество оборотов $N_1 = 96$.
Найдем расстояние, которое оно проехало:
$S = C_1 \times N_1 = 1,5 \times 96 = 144$ м.

2. Вычисление количества оборотов второго колеса
Второе колесо проезжает то же самое расстояние $S = 144$ м. Длина его окружности $C_2 = 2,4$ м. Найдем количество оборотов ($N_2$), которое оно совершит.
Количество оборотов вычисляется делением общего расстояния на длину окружности:
$N_2 = S / C_2 = 144 / 2,4$
Чтобы упростить деление, умножим делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$N_2 = 1440 / 24 = 60$.
Таким образом, второе колесо сделает 60 оборотов.

Можно также заметить, что количество оборотов и длина окружности находятся в обратно пропорциональной зависимости: чем больше окружность, тем меньше оборотов нужно сделать, чтобы покрыть то же расстояние. Это позволяет решить задачу с помощью пропорции:
$1,5$ м — $96$ оборотов
$2,4$ м — $x$ оборотов
$x = (1,5 \times 96) / 2,4 = 144 / 2,4 = 60$.

Ответ: 60 оборотов.

122. Для 16 голов скота на 36 дней требуется 1,92 т сухой подстилки. Сколько сухой подстилки требуется для 20 голов скота на 40 дней?

Для решения задачи определим норму расхода подстилки на одну голову скота в день, а затем используем эту норму для расчета требуемого количества для новых условий.

Сколько сухой подстилки требуется для 20 голов скота на 40 дней?

1. Сначала найдем, сколько тонн подстилки расходуется на одну голову скота за 36 дней. Для этого общее количество подстилки разделим на количество голов скота:

$1,92 \text{ т} \div 16 \text{ голов} = 0,12 \text{ т на одну голову}$

2. Теперь вычислим суточную норму расхода подстилки на одну голову скота. Для этого разделим количество подстилки на одну голову на количество дней:

$0,12 \text{ т} \div 36 \text{ дней} = \frac{0,12}{36} = \frac{12}{3600} = \frac{1}{300} \text{ т в день на одну голову}$

3. Далее рассчитаем, сколько подстилки потребуется для 20 голов скота в течение одного дня. Для этого умножим суточную норму на одну голову на 20:

$\frac{1}{300} \text{ т/день на голову} \times 20 \text{ голов} = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \text{ т в день}$

4. Наконец, определим общее количество подстилки, необходимое для 20 голов скота на 40 дней. Для этого умножим дневной расход для 20 голов на 40 дней:

$\frac{1}{15} \text{ т/день} \times 40 \text{ дней} = \frac{40}{15} \text{ т} = \frac{8 \times 5}{3 \times 5} \text{ т} = \frac{8}{3} \text{ т}$

5. Представим результат в виде смешанного числа:

$\frac{8}{3} \text{ т} = 2 \frac{2}{3} \text{ т}$

Ответ: для 20 голов скота на 40 дней требуется $2 \frac{2}{3}$ т сухой подстилки.

123. Из A в B вышел пешеход со скоростью $4.8 \text{ км/ч}$. Одновременно с ним из B в A выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$, который доехал до A, повернул назад и поехал с той же скоростью. Догонит ли велосипедист пешехода до его прихода в B?

Для решения этой задачи введем переменную $S$ для обозначения расстояния между пунктами А и В. Скорость пешехода $v_п = 4.8$ км/ч, а скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Сначала определим время, которое потребуется пешеходу, чтобы пройти весь путь из А в В. Это время равно:

$t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{4.8}$ ч.

Теперь рассмотрим движение велосипедиста. Сначала он едет из В в А. Время, затраченное на этот участок пути, составляет:

$t_{в1} = \frac{S}{v_в} = \frac{S}{10}$ ч.

За то время, пока велосипедист ехал в пункт А ($t_{в1}$), пешеход шел из А в В. Найдем расстояние, которое он прошел за это время:

$S_п = v_п \cdot t_{в1} = 4.8 \cdot \frac{S}{10} = 0.48S$ км.

Таким образом, в тот момент, когда велосипедист прибыл в пункт А и развернулся, пешеход находился на расстоянии $0.48S$ от пункта А. Теперь велосипедист начинает догонять пешехода. Оба движутся в одном направлении.

Скорость сближения (скорость, с которой велосипедист догоняет пешехода) равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_в - v_п = 10 - 4.8 = 5.2$ км/ч.

Время, которое потребуется велосипедисту, чтобы догнать пешехода (т.е. покрыть начальное расстояние $0.48S$ между ними), равно:

$t_{догон} = \frac{0.48S}{v_{сбл}} = \frac{0.48S}{5.2} = \frac{48S}{520} = \frac{12S}{130} = \frac{6S}{65}$ ч.

Чтобы найти общее время с момента старта до момента встречи, нужно сложить время движения велосипедиста до пункта А и время погони:

$t_{встречи} = t_{в1} + t_{догон} = \frac{S}{10} + \frac{6S}{65}$

Приведем дроби к общему знаменателю 130:

$t_{встречи} = \frac{13S}{130} + \frac{12S}{130} = \frac{25S}{130} = \frac{5S}{26}$ ч.

Теперь сравним время, через которое произойдет встреча ($t_{встречи}$), с общим временем, которое нужно пешеходу, чтобы дойти до B ($t_п$).

Время пешехода: $t_п = \frac{S}{4.8} = \frac{10S}{48} = \frac{5S}{24}$ ч.

Время встречи: $t_{встречи} = \frac{5S}{26}$ ч.

Сравним дроби $\frac{5S}{24}$ и $\frac{5S}{26}$. У этих дробей одинаковые числители, поэтому большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $24 < 26$, то $\frac{5S}{24} > \frac{5S}{26}$.

Это означает, что $t_п > t_{встречи}$. Следовательно, велосипедист догонит пешехода до того, как пешеход прибудет в пункт В.

Ответ: да, догонит.

124. а) За 1 ч бригада маляров покрасила половину стены дома. Оставшуюся часть стены покрасил один человек за 4 ч. Сколько маляров в бригаде?

б) Бригада за полдня выполнила $ \frac{3}{4} $ задания. Оставшуюся часть задания выполнил один человек за полдня. Сколько человек в бригаде?

в) Бригада плотников выполнила $ \frac{3}{5} $ задания за полдня. Оставшуюся часть задания выполнил один плотник за день. Сколько плотников в бригаде?

г) Задача Л. Н. Толстого. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом луге и к вечеру его докосила, а другая — перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

а) Пусть $N$ — искомое количество маляров в бригаде, а $V$ — объём всей работы (покраска стены). Производительность — это объём работы, делённый на время.

1. Найдём производительность одного человека. По условию, один человек покрасил оставшуюся половину стены ($V/2$) за 4 часа. Его производительность $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{V/2}{4} = \frac{V}{8}$ (частей стены в час).

2. Найдём производительность всей бригады. Бригада покрасила первую половину стены ($V/2$) за 1 час. Её производительность $P_{бр}$ равна:

$P_{бр} = \frac{V/2}{1} = \frac{V}{2}$ (частей стены в час).

3. Производительность бригады равна сумме производительностей всех её членов. Так как все маляры работают с одинаковой скоростью, то $P_{бр} = N \cdot P_1$. Подставим найденные значения:

$\frac{V}{2} = N \cdot \frac{V}{8}$

4. Решим уравнение относительно $N$, разделив обе части на $V$ (так как $V \neq 0$):

$\frac{1}{2} = N \cdot \frac{1}{8}$

$N = \frac{1/2}{1/8} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$

Ответ: в бригаде было 4 маляра.

б) В этой задаче время работы бригады и одного человека одинаково — полдня. Поэтому можно напрямую сравнить объёмы выполненной работы.

1. Бригада выполнила $\frac{3}{4}$ задания за полдня.

2. Найдём, какую часть задания выполнил один человек. Он выполнил оставшуюся часть:

$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

3. Итак, за одно и то же время (полдня) бригада выполнила $\frac{3}{4}$ задания, а один человек — $\frac{1}{4}$ задания.

4. Чтобы узнать, во сколько раз производительность бригады больше производительности одного человека, разделим объём работы бригады на объём работы одного человека:

$\frac{3/4}{1/4} = 3$

Поскольку производительность прямо пропорциональна количеству работников, это и есть количество человек в бригаде.

Ответ: в бригаде 3 человека.

в) В этой задаче время работы разное, поэтому необходимо сравнивать производительность (объём работы в единицу времени).

1. Найдём, какую часть задания выполнил один плотник. Он выполнил оставшуюся часть:

$1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

2. Найдём производительность одного плотника ($P_1$). Он выполнил $\frac{2}{5}$ задания за 1 день. Значит, его производительность:

$P_1 = \frac{2/5}{1} = \frac{2}{5}$ (задания в день).

3. Найдём производительность бригады ($P_{бр}$). Бригада выполнила $\frac{3}{5}$ задания за полдня (0.5 дня). Её производительность:

$P_{бр} = \frac{3/5}{1/2} = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}$ (задания в день).

4. Количество плотников в бригаде ($N$) равно отношению производительности бригады к производительности одного плотника:

$N = \frac{P_{бр}}{P_1} = \frac{6/5}{2/5} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: в бригаде 3 плотника.

г) Это классическая задача на совместную работу. Решим её, составив уравнения.

Пусть $N$ — количество косцов, $P$ — производительность одного косца (площадь, которую он выкашивает за один день), $A_1$ — площадь большого луга, $A_2$ — площадь малого луга.

По условию, $A_2 = A_1 / 2$, или $A_1 = 2A_2$.

Распишем работу по этапам:

1. Первый день, утро (0.5 дня): все $N$ косцов косили большой луг. Выполненный объём работы: $W_1 = N \cdot P \cdot 0.5$.

2. Первый день, вечер (0.5 дня): косцы разделились.

- Первая половина ($N/2$ косцов) осталась на большом лугу и докосила его. Объём их работы: $W_2 = (N/2) \cdot P \cdot 0.5 = 0.25 NP$.

- Вторая половина ($N/2$ косцов) перешла на малый луг. Объём их работы: $W_3 = (N/2) \cdot P \cdot 0.5 = 0.25 NP$.

3. Второй день (1 день): один косец докосил малый луг. Объём его работы: $W_4 = 1 \cdot P \cdot 1 = P$.

Теперь составим уравнения на основе площадей лугов:

- Площадь большого луга равна сумме работ на нём: $A_1 = W_1 + W_2 = 0.5NP + 0.25NP = 0.75NP$.

- Площадь малого луга равна сумме работ на нём: $A_2 = W_3 + W_4 = 0.25NP + P$.

Подставим эти выражения в соотношение $A_1 = 2A_2$:

$0.75NP = 2 \cdot (0.25NP + P)$

Раскроем скобки:

$0.75NP = 0.5NP + 2P$

Поскольку производительность $P$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $P$:

$0.75N = 0.5N + 2$

Теперь решим это линейное уравнение:

$0.75N - 0.5N = 2$

$0.25N = 2$

$N = \frac{2}{0.25} = 8$

Ответ: было 8 косцов.

125. 10 ветряных мельниц смололи 200 четвертей ржи в 12 дней, работая в день по 14 ч. По скольку часов в день должны работать 8 таких же мельниц, чтобы в 21 день смолоть 300 четвертей ржи?

Для решения этой задачи сначала определим производительность одной ветряной мельницы, то есть какой объем ржи она может смолоть за один час. Затем, зная эту производительность, мы рассчитаем, сколько часов в день должны работать 8 мельниц, чтобы выполнить новый объем работы в заданный срок.

Шаг 1: Определение производительности одной мельницы

Сначала найдем общее количество часов, которое отработали все мельницы в первом условии. Каждая из 10 мельниц работала 12 дней по 14 часов.

Общее количество часов работы для одной мельницы составляет: $12 \text{ дней} \times 14 \text{ часов/день} = 168 \text{ часов}$

Так как мельниц было 10, то общий объем работы, выраженный в "мельнице-часах", равен: $10 \text{ мельниц} \times 168 \text{ часов} = 1680 \text{ мельнице-часов}$

За это время было смолото 200 четвертей ржи. Теперь мы можем найти производительность одной мельницы: $\text{Производительность} = \frac{\text{Объем ржи}}{\text{Общее время работы}} = \frac{200 \text{ четвертей}}{1680 \text{ мельнице-часов}} = \frac{20}{168} = \frac{5}{42} \text{ четвертей/час}$

Шаг 2: Расчет необходимого времени для второго случая

Во втором условии 8 мельниц должны смолоть 300 четвертей ржи. Используя найденную производительность, рассчитаем, сколько "мельнице-часов" для этого потребуется: $\text{Требуемые мельнице-часы} = \frac{\text{Новый объем ржи}}{\text{Производительность}} = \frac{300 \text{ четвертей}}{5/42 \text{ четвертей/час}} = 300 \times \frac{42}{5} = 60 \times 42 = 2520 \text{ мельнице-часов}$

Этот общий объем работы (2520 мельнице-часов) должны выполнить 8 мельниц за 21 день. Пусть $x$ — искомое количество часов в день. Тогда общее количество "мельнице-часов" можно выразить следующей формулой: $\text{Мельнице-часы} = \text{Количество мельниц} \times \text{Количество дней} \times \text{Часов в день}$

Подставим известные значения в формулу: $2520 = 8 \times 21 \times x$

Сначала вычислим произведение $8 \times 21$: $8 \times 21 = 168$

Теперь решим получившееся уравнение: $2520 = 168 \times x$ $x = \frac{2520}{168}$

Выполним деление: $x = 15$

Следовательно, 8 мельниц должны работать по 15 часов в день, чтобы выполнить поставленную задачу.

Ответ: 15 часов.