Страница 288 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

145. Задача Я. И. Перельмана. Двое очистили 400 штук картофеля; один очищал 3 штуки в минуту, другой — 2. Второй работал на 25 мин больше, чем первый. Сколько времени работал каждый?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $t_1$ — время работы первого человека в минутах, а $t_2$ — время работы второго человека в минутах.

Производительность первого человека составляет 3 штуки в минуту, а второго — 2 штуки в минуту.

Согласно условию, второй человек работал на 25 минут больше, чем первый. Это можно выразить уравнением:

$t_2 = t_1 + 25$

Вместе они очистили 400 штук картофеля. Количество картофеля, которое очистил первый человек, равно $3 \cdot t_1$. Количество, которое очистил второй, равно $2 \cdot t_2$. Сумма их работы равна 400, что дает нам второе уравнение:

$3t_1 + 2t_2 = 400$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $t_2$ из первого уравнения во второе:

$3t_1 + 2(t_1 + 25) = 400$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3t_1 + 2t_1 + 50 = 400$

$5t_1 + 50 = 400$

$5t_1 = 400 - 50$

$5t_1 = 350$

$t_1 = \frac{350}{5}$

$t_1 = 70$

Итак, первый человек работал 70 минут.

Теперь найдем время работы второго человека, используя первое уравнение:

$t_2 = t_1 + 25 = 70 + 25 = 95$

Второй человек работал 95 минут.

Проверим решение:

Первый очистил: $70 \text{ мин} \cdot 3 \text{ шт/мин} = 210$ штук.

Второй очистил: $95 \text{ мин} \cdot 2 \text{ шт/мин} = 190$ штук.

Всего: $210 + 190 = 400$ штук. Решение верное.

Ответ: первый человек работал 70 минут, второй работал 95 минут.

146. Слон может бежать со скоростью, на 25 км/ч большей, чем медведь. Скорость медведя составляет $\frac{2}{7}$ скорости слона. С какой скоростью может бежать каждое животное?

Для решения этой задачи введём переменные. Пусть $v_с$ — скорость слона в км/ч, а $v_м$ — скорость медведя в км/ч.

Исходя из условия, можно составить систему из двух уравнений:

1. Скорость слона на 25 км/ч больше скорости медведя:
$v_с = v_м + 25$

2. Скорость медведя составляет $\frac{2}{7}$ скорости слона:
$v_м = \frac{2}{7}v_с$

Теперь решим эту систему уравнений методом подстановки. Подставим выражение для $v_м$ из второго уравнения в первое:

$v_с = (\frac{2}{7}v_с) + 25$

Перенесем все слагаемые, содержащие $v_с$, в левую часть уравнения, чтобы найти скорость слона:

$v_с - \frac{2}{7}v_с = 25$

Вынесем $v_с$ за скобки:

$v_с(1 - \frac{2}{7}) = 25$

$v_с(\frac{7}{7} - \frac{2}{7}) = 25$

$v_с \cdot \frac{5}{7} = 25$

Теперь найдем значение $v_с$:

$v_с = 25 \div \frac{5}{7} = 25 \cdot \frac{7}{5} = \frac{25 \cdot 7}{5} = 5 \cdot 7 = 35$ км/ч.

Итак, скорость слона составляет 35 км/ч.

Зная скорость слона, найдем скорость медведя, используя второе уравнение:

$v_м = \frac{2}{7}v_с = \frac{2}{7} \cdot 35 = 2 \cdot 5 = 10$ км/ч.

Проверим: разница в скоростях $35 - 10 = 25$ км/ч, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость слона — 35 км/ч, скорость медведя — 10 км/ч.

147. Первая бригада может выполнить задание за 56 ч, а вторая — за 112 ч. Мастер рассчитал, что работу можно организовать так, что сначала над выполнением задания будет работать первая бригада несколько дней (по 8 ч), а затем — вторая. При этом задание будет выполнено за 8 дней. Сколько дней должна работать каждая бригада?

Для решения этой задачи обозначим весь объем работы как 1.

1. Определение производительности бригад

Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени. В данном случае, за один час.

• Первая бригада выполняет всю работу за 56 часов. Ее производительность составляет $P_1 = \frac{1}{56}$ работы в час.
• Вторая бригада выполняет всю работу за 112 часов. Ее производительность составляет $P_2 = \frac{1}{112}$ работы в час.

2. Составление и решение уравнения

Пусть первая бригада работала $x$ дней. По условию, она работала по 8 часов в день, значит, общее время ее работы составило $8x$ часов.

Так как вся работа была выполнена за 8 дней, то вторая бригада работала $(8 - x)$ дней. Будем считать, что вторая бригада также работала по 8 часов в день, то есть ее общее время работы составило $8 \cdot (8 - x)$ часов.

Теперь определим, какую часть работы выполнила каждая бригада:

• Часть работы, выполненная первой бригадой: $W_1 = P_1 \cdot 8x = \frac{1}{56} \cdot 8x = \frac{8x}{56} = \frac{x}{7}$.
• Часть работы, выполненная второй бригадой: $W_2 = P_2 \cdot 8(8 - x) = \frac{1}{112} \cdot 8(8 - x) = \frac{8-x}{14}$.

Вместе они выполнили всю работу, поэтому сумма частей равна 1:

$W_1 + W_2 = 1$

$\frac{x}{7} + \frac{8-x}{14} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю 14, умножив первую дробь на 2:

$\frac{2x}{14} + \frac{8-x}{14} = 1$

$\frac{2x + 8 - x}{14} = 1$

$\frac{x + 8}{14} = 1$

Умножим обе части уравнения на 14:

$x + 8 = 14$

$x = 14 - 8$

$x = 6$

Таким образом, первая бригада работала 6 дней.

Найдем количество дней работы второй бригады:

$8 - x = 8 - 6 = 2$ дня.

Ответ: первая бригада должна работать 6 дней, а вторая бригада — 2 дня.

148. На пришкольном участке один класс окопал $\frac{7}{20}$ всех деревьев, другой $\frac{3}{5}$ остатка, а третий — остальные 52 дерева. Сколько деревьев на пришкольном участке?

Для решения задачи будем двигаться от конца к началу.

1. Третий класс окопал 52 дерева. Из условия известно, что второй класс окопал $ \frac{3}{5} $ остатка деревьев (после первого класса), значит, третий класс окопал оставшуюся часть этого остатка. Найдем, какую часть от остатка составляют 52 дерева:

$ 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} $

Таким образом, 52 дерева – это $ \frac{2}{5} $ от количества деревьев, оставшихся после работы первого класса.

2. Теперь найдем, сколько деревьев осталось после того, как поработал первый класс. Если 52 дерева – это $ \frac{2}{5} $, то весь остаток (целое) будет:

$ 52 \div \frac{2}{5} = 52 \times \frac{5}{2} = \frac{52 \times 5}{2} = 26 \times 5 = 130 $ деревьев.

Итак, после работы первого класса на участке осталось 130 деревьев.

3. Первый класс окопал $ \frac{7}{20} $ всех деревьев. Следовательно, 130 деревьев, которые остались, составляют оставшуюся часть от общего количества деревьев. Найдем эту часть:

$ 1 - \frac{7}{20} = \frac{20}{20} - \frac{7}{20} = \frac{13}{20} $

Значит, 130 деревьев – это $ \frac{13}{20} $ от общего числа деревьев на участке.

4. Найдем общее количество деревьев на участке. Если 130 деревьев – это $ \frac{13}{20} $, то общее количество (целое) будет:

$ 130 \div \frac{13}{20} = 130 \times \frac{20}{13} = \frac{130 \times 20}{13} = 10 \times 20 = 200 $ деревьев.

Проверим решение:

Всего деревьев – 200.

Первый класс окопал: $ 200 \times \frac{7}{20} = 10 \times 7 = 70 $ деревьев.

Осталось после первого класса: $ 200 - 70 = 130 $ деревьев.

Второй класс окопал: $ 130 \times \frac{3}{5} = 26 \times 3 = 78 $ деревьев.

Третий класс окопал: $ 130 - 78 = 52 $ дерева, что соответствует условию задачи.

Ответ: на пришкольном участке было 200 деревьев.

149. Рабочий израсходовал $\frac{2}{35}$ зарплаты на оплату за квартиру, $\frac{5}{22}$ оставшихся денег на покупку вещей. После этого у него осталось на 16 000 р. больше, чем он израсходовал. Какова зарплата рабочего?

Пусть $x$ — это вся зарплата рабочего.

1. Найдем, какую часть зарплаты рабочий потратил на квартиру.
Согласно условию, это $\frac{2}{35}$ от всей зарплаты, то есть $\frac{2}{35}x$.

2. Найдем, какая часть зарплаты осталась после уплаты за квартиру.
$x - \frac{2}{35}x = \frac{35}{35}x - \frac{2}{35}x = \frac{33}{35}x$

3. Найдем, какую часть зарплаты рабочий потратил на покупку вещей.
Он потратил $\frac{5}{22}$ от оставшихся денег, то есть:
$\frac{5}{22} \cdot (\frac{33}{35}x) = \frac{5 \cdot 33}{22 \cdot 35}x = \frac{5 \cdot 3 \cdot 11}{2 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 7}x = \frac{3}{14}x$.

4. Найдем общую часть израсходованных денег.
Для этого сложим расходы на квартиру и на вещи:
$\frac{2}{35}x + \frac{3}{14}x$
Приведем дроби к общему знаменателю 70:
$\frac{2 \cdot 2}{35 \cdot 2}x + \frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5}x = \frac{4}{70}x + \frac{15}{70}x = \frac{19}{70}x$.

5. Найдем, какая часть зарплаты осталась у рабочего.
$x - \frac{19}{70}x = \frac{70}{70}x - \frac{19}{70}x = \frac{51}{70}x$.

6. Составим уравнение на основе условия, что оставшаяся сумма на 16 000 р. больше израсходованной.
Оставшаяся сумма = Израсходованная сумма + 16 000 р.
$\frac{51}{70}x = \frac{19}{70}x + 16000$

7. Решим уравнение, чтобы найти $x$.
$\frac{51}{70}x - \frac{19}{70}x = 16000$
$\frac{32}{70}x = 16000$
Сократим дробь $\frac{32}{70}$ на 2:
$\frac{16}{35}x = 16000$
$x = 16000 \div \frac{16}{35}$
$x = 16000 \cdot \frac{35}{16}$
$x = 1000 \cdot 35$
$x = 35000$

Таким образом, зарплата рабочего составляет 35 000 рублей.
Ответ: 35 000 р.

150. В два магазина завезли яблок поровну. В первом магазине продали $\frac{1}{3}$ всех яблок и ещё 30 кг, во втором магазине продали $\frac{1}{4}$ всех яблок и ещё 40 кг. После чего оказалось, что яблок в магазинах продали поровну. Сколько яблок завезли в каждый магазин первоначально?

Пусть $x$ кг — это количество яблок, которое первоначально завезли в каждый магазин.

В первом магазине продали треть всех яблок и еще 30 кг. Количество проданных яблок в первом магазине составляет:
$ \frac{1}{3}x + 30 $ кг.

Во втором магазине продали четверть всех яблок и еще 40 кг. Количество проданных яблок во втором магазине составляет:
$ \frac{1}{4}x + 40 $ кг.

По условию задачи, количество проданных яблок в обоих магазинах одинаково. Мы можем составить и решить уравнение:
$ \frac{1}{3}x + 30 = \frac{1}{4}x + 40 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный:
$ \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 40 - 30 $

Упростим правую часть уравнения:
$ \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 10 $

Чтобы вычесть дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12:
$ \frac{4}{12}x - \frac{3}{12}x = 10 $
$ \frac{1}{12}x = 10 $

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 12:
$ x = 10 \cdot 12 $
$ x = 120 $

Следовательно, первоначально в каждый магазин завезли по 120 кг яблок.
Ответ: 120 кг.

151. В нашем классе мальчиков и девочек поровну. На школьный вечер пришли половина всех мальчиков и ещё 3 мальчика, треть всех девочек и ещё 6 девочек. Оказалось, что на школьный вечер пришло мальчиков и девочек поровну. Сколько всего учащихся в нашем классе?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество мальчиков в классе.

Поскольку по условию в классе мальчиков и девочек поровну, то количество девочек также равно $x$.

На школьный вечер пришла "половина всех мальчиков и ещё 3 мальчика". Математически это можно записать как выражение: $\frac{1}{2}x + 3$.

Также на вечер пришла "треть всех девочек и ещё 6 девочек". Это можно записать как выражение: $\frac{1}{3}x + 6$.

В задаче сказано, что на вечер пришло одинаковое количество мальчиков и девочек. Это позволяет нам составить уравнение, приравняв два полученных выражения:

$\frac{1}{2}x + 3 = \frac{1}{3}x + 6$

Теперь решим это уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые константы — в правую:

$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 6 - 3$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6 и выполним вычитание в правой части:

$\frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = 3$

$\frac{x}{6} = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 6:

$x = 3 \cdot 6$

$x = 18$

Мы нашли, что в классе 18 мальчиков. Так как девочек столько же, то в классе также 18 девочек.

Вопрос задачи — найти общее количество учащихся в классе. Для этого сложим количество мальчиков и девочек:

$18 + 18 = 36$

Ответ: 36 учащихся.

152. На вопрос: «Который час?» — был дан ответ: «$\frac{2}{5}$ прошедших часов от полуночи до сего времени равны $\frac{2}{3}$ часов, оставшихся до полудня». Спрашивается, сколько сейчас времени.

Пусть $x$ — это количество часов, которое прошло с полуночи. Это и есть искомое время.

Весь рассматриваемый промежуток времени — от полуночи (00:00) до полудня (12:00) — составляет 12 часов.

Тогда количество часов, оставшихся до полудня, будет равно $12 - x$.

В задаче говорится, что $\frac{2}{5}$ прошедших часов равны $\frac{2}{3}$ оставшихся часов. На основе этого условия составим уравнение:

$\frac{2}{5}x = \frac{2}{3}(12 - x)$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{1}{5}x = \frac{1}{3}(12 - x)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, то есть на 15:

$15 \cdot \frac{1}{5}x = 15 \cdot \frac{1}{3}(12 - x)$

$3x = 5(12 - x)$

Раскроем скобки в правой части:

$3x = 60 - 5x$

Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$3x + 5x = 60$

$8x = 60$

Теперь найдём $x$:

$x = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5$

Итак, с полуночи прошло 7.5 часов. Переведём это значение в часы и минуты:

7.5 часа — это 7 полных часов и 0.5 часа.

$0.5 \text{ часа} = 0.5 \cdot 60 \text{ минут} = 30 \text{ минут}$.

Следовательно, текущее время — 7 часов 30 минут.

Проверка:
Прошло 7.5 часов. $\frac{2}{5}$ от этого времени: $\frac{2}{5} \cdot 7.5 = 3$ часа.
Осталось до полудня: $12 - 7.5 = 4.5$ часа. $\frac{2}{3}$ от этого времени: $\frac{2}{3} \cdot 4.5 = 3$ часа.
$3 = 3$, что подтверждает верность решения.

Ответ: 7 часов 30 минут.

153. Верёвку длиной 28 м надо разрезать на 3 части так, чтобы вторая часть была в 3,5 раза, а третья — в 2,5 раза больше первой. Найдите длину каждой части.

Для решения задачи введём переменную. Пусть длина первой части верёвки равна $x$ метров.

Исходя из условия, длина второй части в 3,5 раза больше первой, следовательно, её длина составляет $3,5x$ метров.

Длина третьей части в 2,5 раза больше первой, значит, её длина равна $2,5x$ метров.

Общая длина верёвки — 28 метров. Сумма длин трёх частей должна быть равна общей длине. Составим и решим уравнение:

$x + 3,5x + 2,5x = 28$

Сложим все коэффициенты при $x$ в левой части уравнения:

$(1 + 3,5 + 2,5)x = 28$

$7x = 28$

Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = 28 / 7$

$x = 4$

Таким образом, длина первой части верёвки равна 4 метрам.

Теперь вычислим длины остальных частей:

Длина второй части: $3,5x = 3,5 * 4 = 14$ метров.

Длина третьей части: $2,5x = 2,5 * 4 = 10$ метров.

Выполним проверку: $4 + 14 + 10 = 28$ метров, что соответствует общей длине верёвки.

Ответ: длина первой части — 4 м, длина второй части — 14 м, длина третьей части — 10 м.