Страница 291 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

173. В килограммовой пачке сахара содержится 180 кусков сахара.
Какова масса каждого куска?

Чтобы найти массу одного куска сахара, нужно общую массу пачки разделить на количество кусков.

Сначала переведём общую массу сахара из килограммов в граммы, так как масса одного куска будет небольшой. В одном килограмме 1000 граммов. $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Теперь разделим общую массу в граммах на количество кусков, которое равно 180: $ \frac{1000 \text{ г}}{180} $

Для удобства вычислений сократим полученную дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10: $ \frac{1000}{180} = \frac{100}{18} $

Затем сократим дробь на 2: $ \frac{100}{18} = \frac{50}{9} $

Получилась неправильная дробь. Выделим из неё целую часть, разделив 50 на 9 с остатком: $ 50 \div 9 = 5 \text{ (остаток } 5) $

Таким образом, масса одного куска сахара равна $5 \frac{5}{9}$ грамма.

Ответ: $5 \frac{5}{9}$ г.

174. Выразите объём пачки сахара, размеры которой 5,5 см, 11,5 см и 17,5 см, в кубических дециметрах. Ответ округлите до сотых.

Для того чтобы найти объём пачки сахара в кубических дециметрах (дм³), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перевести размеры пачки из сантиметров в дециметры.

Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, для перевода сантиметров в дециметры нужно разделить значение на 10.

• Длина: $a = 5,5 \text{ см} = \frac{5,5}{10} \text{ дм} = 0,55 \text{ дм}$
• Ширина: $b = 11,5 \text{ см} = \frac{11,5}{10} \text{ дм} = 1,15 \text{ дм}$
• Высота: $c = 17,5 \text{ см} = \frac{17,5}{10} \text{ дм} = 1,75 \text{ дм}$

2. Вычислить объём пачки.

Пачка сахара имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объём которого вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Подставим полученные значения в дециметрах:

$V = 0,55 \text{ дм} \cdot 1,15 \text{ дм} \cdot 1,75 \text{ дм}$

$V = 1,106875 \text{ дм}^3$

3. Округлить результат до сотых.

Для округления до сотых необходимо посмотреть на третью цифру после запятой. В числе $1,106875$ третья цифра — это 6. Так как $6 \ge 5$, то вторую цифру после запятой (0) нужно увеличить на единицу.

$1,106875 \approx 1,11$

Таким образом, объём пачки сахара составляет $1,11 \text{ дм}^3$.

Ответ: $1,11 \text{ дм}^3$.

175. а) Можно ли написать 45 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

б) Можно ли написать 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

а) Да, можно. Рассмотрим все двузначные числа от 50 до 99 включительно. Их количество равно $99 - 50 + 1 = 50$. Мы можем выбрать любые 45 из этих 50 чисел. Сумма любых двух чисел из этого набора будет больше 100, так как даже сумма двух самых маленьких из них равна $50 + 51 = 101$. Следовательно, среди выбранных 45 чисел не будет двух, дающих в сумме 100.
Ответ: можно.

б) Нет, нельзя. Всего существует 90 двузначных чисел: от 10 до 99. Разобьем все эти числа на группы так, чтобы сумма чисел в некоторых группах была равна 100.

• Пары чисел, дающие в сумме 100: $(10, 90)$, $(11, 89)$, ..., $(49, 51)$. Таких пар всего $49 - 10 + 1 = 40$.
• Число 50, которое не имеет другого двузначного числа в пару, так как $100 - 50 = 50$. Это одна отдельная группа: $\{50\}$.
• Числа, у которых "партнер" для суммы 100 является однозначным числом. Это числа от 91 до 99. Их 9 штук. Каждое из них составляет отдельную группу.

Таким образом, мы получили $40$ (пар) $+ 1$ (число 50) $+ 9$ (числа 91-99) $= 50$ групп. Для того чтобы в выбранном наборе не было двух чисел, дающих в сумме 100, из каждой группы можно взять не более одного числа. Это означает, что максимальное количество чисел, удовлетворяющих условию, равно количеству групп, то есть 50. Поскольку требуется написать 55 чисел, а $55 > 50$, то по принципу Дирихле как минимум два числа окажутся из одной и той же группы. Так как группы, состоящие из одного элемента (50 и числа 91-99), не могут дать два числа, значит, эти два числа обязательно попадут в одну из 40 пар, и их сумма будет равна 100.
Ответ: нельзя.

176. а) В коробке лежат 5 красных и 5 зелёных карандашей. Какое наименьшее число карандашей нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 2 карандаша одного цвета? 2 карандаша разных цветов?

б) В коробке лежат 5 красных, 5 зелёных и 5 синих карандашей. Какое наименьшее число карандашей нужно взять из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 2 карандаша одного цвета; 2 карандаша разных цветов?

а)

чтобы среди них оказалось 2 карандаша одного цвета?
Для решения этой задачи используется принцип Дирихле. В коробке находятся карандаши двух цветов (красный и зеленый). Рассмотрим наихудший возможный сценарий: мы последовательно вытаскиваем карандаши разных цветов.
1. Первый вытащенный карандаш может быть, например, красным.
2. Второй вытащенный карандаш в худшем случае будет другого цвета — зеленого.
На данный момент у нас 2 карандаша разных цветов. Третий карандаш, который мы вытащим, неизбежно будет либо красным, либо зеленым, и, таким образом, образует пару с одним из уже вытащенных.
Следовательно, минимальное число карандашей, которое нужно вытащить, равно количеству цветов плюс один: $2 + 1 = 3$.
Ответ: 3.

чтобы среди них оказалось 2 карандаша разных цветов?
Чтобы гарантированно получить два карандаша разных цветов, нужно рассмотреть наихудший сценарий, который мешает этому случиться. Наихудший случай — это когда мы вытаскиваем подряд все карандаши одного цвета. В коробке находится по 5 красных и 5 зеленых карандашей.
Предположим, нам не везет, и мы вытаскиваем 5 карандашей, и все они оказываются одного цвета (например, красного). После этого в коробке остаются только зеленые карандаши. Следующий, шестой, карандаш гарантированно будет зеленого цвета. Таким образом, среди шести вытащенных карандашей обязательно будут карандаши разных цветов.
Следовательно, нужно вытащить максимальное количество карандашей одного цвета плюс один: $5 + 1 = 6$.
Ответ: 6.

б)

чтобы среди них оказалось 2 карандаша одного цвета?
В этой коробке находятся карандаши трех цветов (красный, зеленый и синий). Снова применяем принцип Дирихле и рассматриваем наихудший случай.
1. Вытаскиваем первый карандаш (например, красный).
2. Вытаскиваем второй карандаш (в худшем случае — зеленый).
3. Вытаскиваем третий карандаш (в худшем случае — синий).
Теперь у нас есть по одному карандашу каждого цвета. Четвертый вытащенный карандаш обязательно совпадет по цвету с одним из трех предыдущих, образуя пару.
Минимальное число карандашей равно количеству цветов плюс один: $3 + 1 = 4$.
Ответ: 4.

чтобы среди них оказалось 2 карандаша разных цветов?
Рассмотрим наихудший сценарий: мы вытаскиваем все карандаши одного цвета. В коробке по 5 карандашей каждого из трех цветов.
Наихудший случай заключается в том, что мы вытащим все 5 карандашей одного цвета (например, все 5 красных). После этого в коробке останутся только зеленые и синие карандаши. Следующий, шестой, карандаш, который мы вытащим, гарантированно будет другого цвета (зеленым или синим).
Таким образом, минимальное число карандашей равно максимальному количеству карандашей одного цвета плюс один: $5 + 1 = 6$.
Ответ: 6.

177. Студент за 5 лет учёбы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвёртом курсе?

Обозначим количество экзаменов, которые студент сдавал каждый год, через $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ для первого, второго, третьего, четвертого и пятого курсов соответственно.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений и неравенств:

1. Общее количество экзаменов: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 31$.
2. Количество экзаменов с каждым годом увеличивалось: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$. Так как количество экзаменов — целое число, все эти числа являются различными натуральными числами.
3. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом: $x_5 = 3x_1$.

Подставим третье условие в первое:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 3x_1 = 31$

$4x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 31$

Из второго и третьего условий следует, что $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < 3x_1$. Это означает, что между числами $x_1$ и $3x_1$ должно быть как минимум три различных целых числа. Минимально возможные значения для этих чисел: $x_2 = x_1+1, x_3 = x_1+2, x_4 = x_1+3$. Чтобы все эти числа были меньше $3x_1$, необходимо, чтобы самое большое из них, $x_4$, было меньше $3x_1$. То есть, $x_1+3 < 3x_1$. Решая это неравенство, получаем $3 < 2x_1$, или $x_1 > 1.5$. Так как $x_1$ — целое число, то $x_1 \ge 2$.

Также из условия $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ мы можем записать минимально возможные значения для $x_2, x_3, x_4$ и подставить их в уравнение суммы, чтобы найти верхнюю границу для $x_1$:

$4x_1 + (x_1 + 1) + (x_1 + 2) + (x_1 + 3) \le 31$

$7x_1 + 6 \le 31$

$7x_1 \le 25$

$x_1 \le \frac{25}{7} \approx 3.57$

Объединяя два найденных условия ($x_1 \ge 2$ и $x_1 \le 3.57$), получаем, что для $x_1$ возможны только два целых значения: 2 и 3. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x_1 = 2$

Если $x_1 = 2$, то $x_5 = 3 \cdot 2 = 6$. Неравенство $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$ принимает вид $2 < x_2 < x_3 < x_4 < 6$. Единственными целыми числами в этом интервале являются 3, 4 и 5. Значит, однозначно $x_2 = 3$, $x_3 = 4$, $x_4 = 5$. Проверим сумму: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$. Это не соответствует условию, что сумма равна 31. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $x_1 = 3$

Если $x_1 = 3$, то $x_5 = 3 \cdot 3 = 9$. Неравенство $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$ принимает вид $3 < x_2 < x_3 < x_4 < 9$. Подставим значения $x_1$ и $x_5$ в уравнение суммы:

$3 + x_2 + x_3 + x_4 + 9 = 31$

$x_2 + x_3 + x_4 = 31 - 12$

$x_2 + x_3 + x_4 = 19$

Нам нужно найти три различных целых числа $x_2, x_3, x_4$ из диапазона от 4 до 8 включительно, сумма которых равна 19. Перечислим возможные комбинации, начиная с наименьшего возможного $x_2$:

• Если $x_2 = 4$, то $x_3 + x_4 = 19 - 4 = 15$. Учитывая, что $4 < x_3 < x_4 < 9$, единственное решение — это $x_3 = 7$ и $x_4 = 8$. Получаем последовательность: 3, 4, 7, 8, 9. Проверяем сумму: $3+4+7+8+9=31$. Решение верное.
• Если $x_2 = 5$, то $x_3 + x_4 = 19 - 5 = 14$. Учитывая, что $5 < x_3 < x_4 < 9$, единственное решение — это $x_3 = 6$ и $x_4 = 8$. Получаем последовательность: 3, 5, 6, 8, 9. Проверяем сумму: $3+5+6+8+9=31$. Решение также верное.
• Если $x_2 \ge 6$, то минимальная сумма $x_2+x_3+x_4$ будет $6+7+8=21$, что больше 19. Следовательно, других решений нет.

Мы получили два возможных варианта распределения экзаменов по годам: (3, 4, 7, 8, 9) и (3, 5, 6, 8, 9). В обоих случаях количество экзаменов на четвёртом курсе ($x_4$) равно 8.

Ответ: 8.

178. Предание повествует, что царь Гиерон поручил мастеру изготовить корону и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда корона была доставлена, взвешивание показало, что она весит столько же, сколько весили золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и серебра заключает изготовленная корона. Архимед решил задачу, исходя из того, что чистое золото при взвешивании в воде теряет двадцатую долю своего веса, а серебро теряет десятую долю своего веса. Определите, сколько золота утаил мастер, если ему выдали 8 кг золота и 2 кг серебра, а корона весила в воде $9 \frac{1}{4}$ кг.

Для решения этой классической задачи, известной как задача о короне Гиерона, воспользуемся алгебраическим методом.

1. Определение исходных данных и переменных.

Пусть $x$ — масса золота в изготовленной короне (в кг), а $y$ — масса серебра в короне (в кг).
Мастеру было выдано 8 кг золота и 2 кг серебра. Общий вес материалов составляет:
$8 + 2 = 10$ кг.

По условию, вес готовой короны равен весу выданных материалов, значит, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 10$

2. Составление уравнения на основе взвешивания в воде.

Согласно условию, чистое золото при взвешивании в воде теряет двадцатую долю ( $\frac{1}{20}$ ) своего веса. Это означает, что его вес в воде составляет $1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ от первоначального.

Серебро теряет в воде десятую долю ( $\frac{1}{10}$ ) своего веса, то есть его вес в воде составляет $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ от первоначального.

Общий вес короны в воде равен сумме весов её золотой и серебряной частей в воде. Известно, что корона весила в воде $9 \frac{1}{4}$ кг. Составим второе уравнение:

$\frac{19}{20}x + \frac{9}{10}y = 9 \frac{1}{4}$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

1) $x + y = 10$
2) $\frac{19}{20}x + \frac{9}{10}y = \frac{37}{4}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 10 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{19}{20}x + \frac{9}{10}(10 - x) = \frac{37}{4}$

Раскроем скобки:

$\frac{19}{20}x + 9 - \frac{9}{10}x = \frac{37}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 20 (наименьшее общее кратное для знаменателей 20, 10 и 4):

$20 \cdot (\frac{19}{20}x) + 20 \cdot 9 - 20 \cdot (\frac{9}{10}x) = 20 \cdot (\frac{37}{4})$

$19x + 180 - 18x = 5 \cdot 37$

$x + 180 = 185$

$x = 185 - 180$

$x = 5$

Таким образом, масса золота в короне составляет 5 кг.

4. Определение количества утаенного золота.

Мастеру было выдано 8 кг золота, а в короне он использовал только 5 кг. Следовательно, количество утаенного золота равно разнице:

$8 \text{ кг} - 5 \text{ кг} = 3 \text{ кг}$

Мастер заменил утаенные 3 кг золота на 3 кг серебра. Изначально было 2 кг серебра, значит в короне стало $2 + 3 = 5$ кг серебра, что согласуется с нашим первым уравнением ($x+y=5+5=10$).

Ответ: мастер утаил 3 кг золота.

179. Вася перемножил числа 888 888 и 999 999. Коля увеличил первое число на $\frac{1}{8}$ его часть, второе — на $\frac{1}{9}$ его часть и тоже перемножил свои числа. Во сколько раз произведение чисел у Коли больше, чем произведение чисел у Васи?

Обозначим числа, которые перемножил Вася, как $A$ и $B$. В условии задачи $A = 888 888$ и $B = 999 999$. Произведение чисел у Васи равно $P_В = A \times B$.

Коля увеличил первое число ($A$) на $\frac{1}{8}$ его части. Новое число ($A_К$) стало:
$A_К = A + \frac{1}{8}A = A \cdot (1 + \frac{1}{8}) = A \cdot \frac{9}{8}$.

Второе число ($B$) Коля увеличил на $\frac{1}{9}$ его части. Новое число ($B_К$) стало:
$B_К = B + \frac{1}{9}B = B \cdot (1 + \frac{1}{9}) = B \cdot \frac{10}{9}$.

Произведение чисел у Коли равно $P_К = A_К \times B_К = (A \cdot \frac{9}{8}) \times (B \cdot \frac{10}{9})$.

Чтобы найти, во сколько раз произведение у Коли больше, чем произведение у Васи, необходимо найти отношение их произведений $\frac{P_К}{P_В}$.

$\frac{P_К}{P_В} = \frac{(A \cdot \frac{9}{8}) \times (B \cdot \frac{10}{9})}{A \times B}$

Перегруппируем множители в числителе:

$\frac{P_К}{P_В} = \frac{A \times B \times \frac{9}{8} \times \frac{10}{9}}{A \times B}$

Мы видим, что множители $A$ и $B$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому их можно сократить. Это означает, что итоговый результат не зависит от исходных чисел.

$\frac{P_К}{P_В} = \frac{9}{8} \times \frac{10}{9}$

Сократим общий множитель 9:

$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

Ответ: Произведение чисел у Коли в 1,25 раза больше, чем произведение чисел у Васи.