Номер 178, страница 291 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 178, страница 291.

Условие.

178. Предание повествует, что царь Гиерон поручил мастеру изготовить корону и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда корона была доставлена, взвешивание показало, что она весит столько же, сколько весили золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и серебра заключает изготовленная корона. Архимед решил задачу, исходя из того, что чистое золото при взвешивании в воде теряет двадцатую долю своего веса, а серебро теряет десятую долю своего веса. Определите, сколько золота утаил мастер, если ему выдали 8 кг золота и 2 кг серебра, а корона весила в воде $9 \frac{1}{4}$ кг.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой классической задачи, известной как задача о короне Гиерона, воспользуемся алгебраическим методом.

1. Определение исходных данных и переменных.

Пусть $x$ — масса золота в изготовленной короне (в кг), а $y$ — масса серебра в короне (в кг).
Мастеру было выдано 8 кг золота и 2 кг серебра. Общий вес материалов составляет:
$8 + 2 = 10$ кг.

По условию, вес готовой короны равен весу выданных материалов, значит, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 10$

2. Составление уравнения на основе взвешивания в воде.

Согласно условию, чистое золото при взвешивании в воде теряет двадцатую долю ( $\frac{1}{20}$ ) своего веса. Это означает, что его вес в воде составляет $1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ от первоначального.

Серебро теряет в воде десятую долю ( $\frac{1}{10}$ ) своего веса, то есть его вес в воде составляет $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ от первоначального.

Общий вес короны в воде равен сумме весов её золотой и серебряной частей в воде. Известно, что корона весила в воде $9 \frac{1}{4}$ кг. Составим второе уравнение:

$\frac{19}{20}x + \frac{9}{10}y = 9 \frac{1}{4}$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

1) $x + y = 10$
2) $\frac{19}{20}x + \frac{9}{10}y = \frac{37}{4}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 10 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{19}{20}x + \frac{9}{10}(10 - x) = \frac{37}{4}$

Раскроем скобки:

$\frac{19}{20}x + 9 - \frac{9}{10}x = \frac{37}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 20 (наименьшее общее кратное для знаменателей 20, 10 и 4):

$20 \cdot (\frac{19}{20}x) + 20 \cdot 9 - 20 \cdot (\frac{9}{10}x) = 20 \cdot (\frac{37}{4})$

$19x + 180 - 18x = 5 \cdot 37$

$x + 180 = 185$

$x = 185 - 180$

$x = 5$

Таким образом, масса золота в короне составляет 5 кг.

4. Определение количества утаенного золота.

Мастеру было выдано 8 кг золота, а в короне он использовал только 5 кг. Следовательно, количество утаенного золота равно разнице:

$8 \text{ кг} - 5 \text{ кг} = 3 \text{ кг}$

Мастер заменил утаенные 3 кг золота на 3 кг серебра. Изначально было 2 кг серебра, значит в короне стало $2 + 3 = 5$ кг серебра, что согласуется с нашим первым уравнением ($x+y=5+5=10$).

Ответ: мастер утаил 3 кг золота.