Номер 181, страница 292 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 181, страница 292.

Условие.

181. Женя и Дима катаются на роликах. Женя проезжает круг за 4 мин, а Дима — за 3 мин. Через сколько минут Дима обгонит Женю на круг, если они одновременно стартуют из одной точки в одном направлении?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи найдем скорости Жени и Димы в долях круга, которые они проезжают за одну минуту. Затем найдем их относительную скорость (скорость обгона) и время, за которое Дима опередит Женю на один полный круг.

1. Скорость Жени ($v_Ж$). Женя проезжает один круг за 4 минуты, значит, его скорость равна $\frac{1}{4}$ круга в минуту.

2. Скорость Димы ($v_Д$). Дима проезжает один круг за 3 минуты, значит, его скорость равна $\frac{1}{3}$ круга в минуту.

3. Скорость обгона. Поскольку Дима едет быстрее и они движутся в одном направлении, он будет обгонять Женю. Скорость, с которой Дима опережает Женю, равна разности их скоростей:

$v_{обгона} = v_Д - v_Ж = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю 12:

$v_{обгона} = \frac{4 \times 1}{12} - \frac{3 \times 1}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$ круга в минуту.

Это значит, что каждую минуту Дима становится ближе к обгону на $\frac{1}{12}$ часть круга.

4. Время до обгона на круг. Чтобы Дима обогнал Женю на один полный круг, ему нужно "наверстать" расстояние, равное одному кругу, со скоростью обгона $\frac{1}{12}$ круга в минуту. Найдем время $t$, разделив расстояние (1 круг) на скорость обгона:

$t = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 1 \div \frac{1}{12} = 1 \times 12 = 12$ минут.

Проверка: за 12 минут Дима проедет $12 \text{ мин} \div 3 \text{ мин/круг} = 4$ круга. За это же время Женя проедет $12 \text{ мин} \div 4 \text{ мин/круг} = 3$ круга. Разница составит $4 - 3 = 1$ круг, что и требовалось найти.

Ответ: 12 минут.