Номер 175, страница 291 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 175, страница 291.

Условие.

175. а) Можно ли написать 45 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

б) Можно ли написать 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Да, можно. Рассмотрим все двузначные числа от 50 до 99 включительно. Их количество равно $99 - 50 + 1 = 50$. Мы можем выбрать любые 45 из этих 50 чисел. Сумма любых двух чисел из этого набора будет больше 100, так как даже сумма двух самых маленьких из них равна $50 + 51 = 101$. Следовательно, среди выбранных 45 чисел не будет двух, дающих в сумме 100.
Ответ: можно.

б) Нет, нельзя. Всего существует 90 двузначных чисел: от 10 до 99. Разобьем все эти числа на группы так, чтобы сумма чисел в некоторых группах была равна 100.

• Пары чисел, дающие в сумме 100: $(10, 90)$, $(11, 89)$, ..., $(49, 51)$. Таких пар всего $49 - 10 + 1 = 40$.
• Число 50, которое не имеет другого двузначного числа в пару, так как $100 - 50 = 50$. Это одна отдельная группа: $\{50\}$.
• Числа, у которых "партнер" для суммы 100 является однозначным числом. Это числа от 91 до 99. Их 9 штук. Каждое из них составляет отдельную группу.

Таким образом, мы получили $40$ (пар) $+ 1$ (число 50) $+ 9$ (числа 91-99) $= 50$ групп. Для того чтобы в выбранном наборе не было двух чисел, дающих в сумме 100, из каждой группы можно взять не более одного числа. Это означает, что максимальное количество чисел, удовлетворяющих условию, равно количеству групп, то есть 50. Поскольку требуется написать 55 чисел, а $55 > 50$, то по принципу Дирихле как минимум два числа окажутся из одной и той же группы. Так как группы, состоящие из одного элемента (50 и числа 91-99), не могут дать два числа, значит, эти два числа обязательно попадут в одну из 40 пар, и их сумма будет равна 100.
Ответ: нельзя.