Номер 168, страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 168, страница 290.

Условие.

168. Кузнечик прыгает по прямой большими прыжками по 12 см и малыми прыжками по 7 см. Сможет ли кузнечик из одной точки прямой попасть в другую, если расстояние между ними 3 см?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Да, кузнечик сможет попасть в точку на расстоянии 3 см от начальной.

Пусть кузнечик находится в начале координат на прямой, то есть в точке 0. Ему нужно попасть в точку 3. Кузнечик может прыгать как вперед (положительное направление), так и назад (отрицательное направление). Обозначим количество больших прыжков по 12 см как $x$, а количество малых прыжков по 7 см как $y$. При этом $x$ и $y$ могут быть любыми целыми числами (положительными, если прыжок вперед, и отрицательными, если прыжок назад).

Тогда итоговое смещение кузнечика можно выразить формулой:

$12x + 7y$

Нам нужно выяснить, может ли это выражение равняться 3. То есть, имеет ли уравнение

$12x + 7y = 3$

решение в целых числах.

Такое уравнение называется линейным диофантовым уравнением. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $x$ и $y$ делит свободный член (число справа от знака равенства).

Найдем НОД для чисел 12 и 7:

$НОД(12, 7) = 1$

Так как число 1 делит любое целое число, то оно делит и 3. Следовательно, уравнение имеет решения в целых числах, а значит, кузнечик сможет переместиться на 3 см.

Чтобы убедиться в этом, найдем один из возможных вариантов прыжков. Можно подобрать значения $x$ и $y$ методом перебора.Попробуем найти такое целое $x$, чтобы выражение $(3 - 12x)$ было кратно 7:

• При $x = 1$, $3 - 12 \cdot 1 = -9$ (не делится на 7)
• При $x = 2$, $3 - 12 \cdot 2 = 3 - 24 = -21$ (делится на 7)

Если $x=2$, то $7y = -21$, откуда $y = -3$.

Таким образом, мы нашли одно из решений: $x=2, y=-3$. Это означает, что кузнечик может совершить 2 больших прыжка в одну сторону и 3 малых прыжка в противоположную сторону.

Проверим результат:

$2 \cdot 12 \text{ см} - 3 \cdot 7 \text{ см} = 24 \text{ см} - 21 \text{ см} = 3 \text{ см}.$

Ответ: Да, сможет. Например, он может сделать два прыжка по 12 см в одну сторону и три прыжка по 7 см в противоположную сторону: $2 \cdot 12 - 3 \cdot 7 = 3$ см.