Номер 177, страница 291 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 177, страница 291.

Условие.

177. Студент за 5 лет учёбы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов было на четвёртом курсе?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим количество экзаменов, которые студент сдавал каждый год, через $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ для первого, второго, третьего, четвертого и пятого курсов соответственно.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений и неравенств:

1. Общее количество экзаменов: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 31$.
2. Количество экзаменов с каждым годом увеличивалось: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$. Так как количество экзаменов — целое число, все эти числа являются различными натуральными числами.
3. На пятом курсе экзаменов было втрое больше, чем на первом: $x_5 = 3x_1$.

Подставим третье условие в первое:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 3x_1 = 31$

$4x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 31$

Из второго и третьего условий следует, что $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < 3x_1$. Это означает, что между числами $x_1$ и $3x_1$ должно быть как минимум три различных целых числа. Минимально возможные значения для этих чисел: $x_2 = x_1+1, x_3 = x_1+2, x_4 = x_1+3$. Чтобы все эти числа были меньше $3x_1$, необходимо, чтобы самое большое из них, $x_4$, было меньше $3x_1$. То есть, $x_1+3 < 3x_1$. Решая это неравенство, получаем $3 < 2x_1$, или $x_1 > 1.5$. Так как $x_1$ — целое число, то $x_1 \ge 2$.

Также из условия $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ мы можем записать минимально возможные значения для $x_2, x_3, x_4$ и подставить их в уравнение суммы, чтобы найти верхнюю границу для $x_1$:

$4x_1 + (x_1 + 1) + (x_1 + 2) + (x_1 + 3) \le 31$

$7x_1 + 6 \le 31$

$7x_1 \le 25$

$x_1 \le \frac{25}{7} \approx 3.57$

Объединяя два найденных условия ($x_1 \ge 2$ и $x_1 \le 3.57$), получаем, что для $x_1$ возможны только два целых значения: 2 и 3. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x_1 = 2$

Если $x_1 = 2$, то $x_5 = 3 \cdot 2 = 6$. Неравенство $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$ принимает вид $2 < x_2 < x_3 < x_4 < 6$. Единственными целыми числами в этом интервале являются 3, 4 и 5. Значит, однозначно $x_2 = 3$, $x_3 = 4$, $x_4 = 5$. Проверим сумму: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$. Это не соответствует условию, что сумма равна 31. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $x_1 = 3$

Если $x_1 = 3$, то $x_5 = 3 \cdot 3 = 9$. Неравенство $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5$ принимает вид $3 < x_2 < x_3 < x_4 < 9$. Подставим значения $x_1$ и $x_5$ в уравнение суммы:

$3 + x_2 + x_3 + x_4 + 9 = 31$

$x_2 + x_3 + x_4 = 31 - 12$

$x_2 + x_3 + x_4 = 19$

Нам нужно найти три различных целых числа $x_2, x_3, x_4$ из диапазона от 4 до 8 включительно, сумма которых равна 19. Перечислим возможные комбинации, начиная с наименьшего возможного $x_2$:

• Если $x_2 = 4$, то $x_3 + x_4 = 19 - 4 = 15$. Учитывая, что $4 < x_3 < x_4 < 9$, единственное решение — это $x_3 = 7$ и $x_4 = 8$. Получаем последовательность: 3, 4, 7, 8, 9. Проверяем сумму: $3+4+7+8+9=31$. Решение верное.
• Если $x_2 = 5$, то $x_3 + x_4 = 19 - 5 = 14$. Учитывая, что $5 < x_3 < x_4 < 9$, единственное решение — это $x_3 = 6$ и $x_4 = 8$. Получаем последовательность: 3, 5, 6, 8, 9. Проверяем сумму: $3+5+6+8+9=31$. Решение также верное.
• Если $x_2 \ge 6$, то минимальная сумма $x_2+x_3+x_4$ будет $6+7+8=21$, что больше 19. Следовательно, других решений нет.

Мы получили два возможных варианта распределения экзаменов по годам: (3, 4, 7, 8, 9) и (3, 5, 6, 8, 9). В обоих случаях количество экзаменов на четвёртом курсе ($x_4$) равно 8.

Ответ: 8.