Номер 124, страница 285 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 124, страница 285.

Условие.

124. а) За 1 ч бригада маляров покрасила половину стены дома. Оставшуюся часть стены покрасил один человек за 4 ч. Сколько маляров в бригаде?

б) Бригада за полдня выполнила $ \frac{3}{4} $ задания. Оставшуюся часть задания выполнил один человек за полдня. Сколько человек в бригаде?

в) Бригада плотников выполнила $ \frac{3}{5} $ задания за полдня. Оставшуюся часть задания выполнил один плотник за день. Сколько плотников в бригаде?

г) Задача Л. Н. Толстого. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом луге и к вечеру его докосила, а другая — перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Пусть $N$ — искомое количество маляров в бригаде, а $V$ — объём всей работы (покраска стены). Производительность — это объём работы, делённый на время.

1. Найдём производительность одного человека. По условию, один человек покрасил оставшуюся половину стены ($V/2$) за 4 часа. Его производительность $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{V/2}{4} = \frac{V}{8}$ (частей стены в час).

2. Найдём производительность всей бригады. Бригада покрасила первую половину стены ($V/2$) за 1 час. Её производительность $P_{бр}$ равна:

$P_{бр} = \frac{V/2}{1} = \frac{V}{2}$ (частей стены в час).

3. Производительность бригады равна сумме производительностей всех её членов. Так как все маляры работают с одинаковой скоростью, то $P_{бр} = N \cdot P_1$. Подставим найденные значения:

$\frac{V}{2} = N \cdot \frac{V}{8}$

4. Решим уравнение относительно $N$, разделив обе части на $V$ (так как $V \neq 0$):

$\frac{1}{2} = N \cdot \frac{1}{8}$

$N = \frac{1/2}{1/8} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$

Ответ: в бригаде было 4 маляра.

б) В этой задаче время работы бригады и одного человека одинаково — полдня. Поэтому можно напрямую сравнить объёмы выполненной работы.

1. Бригада выполнила $\frac{3}{4}$ задания за полдня.

2. Найдём, какую часть задания выполнил один человек. Он выполнил оставшуюся часть:

$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

3. Итак, за одно и то же время (полдня) бригада выполнила $\frac{3}{4}$ задания, а один человек — $\frac{1}{4}$ задания.

4. Чтобы узнать, во сколько раз производительность бригады больше производительности одного человека, разделим объём работы бригады на объём работы одного человека:

$\frac{3/4}{1/4} = 3$

Поскольку производительность прямо пропорциональна количеству работников, это и есть количество человек в бригаде.

Ответ: в бригаде 3 человека.

в) В этой задаче время работы разное, поэтому необходимо сравнивать производительность (объём работы в единицу времени).

1. Найдём, какую часть задания выполнил один плотник. Он выполнил оставшуюся часть:

$1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

2. Найдём производительность одного плотника ($P_1$). Он выполнил $\frac{2}{5}$ задания за 1 день. Значит, его производительность:

$P_1 = \frac{2/5}{1} = \frac{2}{5}$ (задания в день).

3. Найдём производительность бригады ($P_{бр}$). Бригада выполнила $\frac{3}{5}$ задания за полдня (0.5 дня). Её производительность:

$P_{бр} = \frac{3/5}{1/2} = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}$ (задания в день).

4. Количество плотников в бригаде ($N$) равно отношению производительности бригады к производительности одного плотника:

$N = \frac{P_{бр}}{P_1} = \frac{6/5}{2/5} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: в бригаде 3 плотника.

г) Это классическая задача на совместную работу. Решим её, составив уравнения.

Пусть $N$ — количество косцов, $P$ — производительность одного косца (площадь, которую он выкашивает за один день), $A_1$ — площадь большого луга, $A_2$ — площадь малого луга.

По условию, $A_2 = A_1 / 2$, или $A_1 = 2A_2$.

Распишем работу по этапам:

1. Первый день, утро (0.5 дня): все $N$ косцов косили большой луг. Выполненный объём работы: $W_1 = N \cdot P \cdot 0.5$.

2. Первый день, вечер (0.5 дня): косцы разделились.

- Первая половина ($N/2$ косцов) осталась на большом лугу и докосила его. Объём их работы: $W_2 = (N/2) \cdot P \cdot 0.5 = 0.25 NP$.

- Вторая половина ($N/2$ косцов) перешла на малый луг. Объём их работы: $W_3 = (N/2) \cdot P \cdot 0.5 = 0.25 NP$.

3. Второй день (1 день): один косец докосил малый луг. Объём его работы: $W_4 = 1 \cdot P \cdot 1 = P$.

Теперь составим уравнения на основе площадей лугов:

- Площадь большого луга равна сумме работ на нём: $A_1 = W_1 + W_2 = 0.5NP + 0.25NP = 0.75NP$.

- Площадь малого луга равна сумме работ на нём: $A_2 = W_3 + W_4 = 0.25NP + P$.

Подставим эти выражения в соотношение $A_1 = 2A_2$:

$0.75NP = 2 \cdot (0.25NP + P)$

Раскроем скобки:

$0.75NP = 0.5NP + 2P$

Поскольку производительность $P$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $P$:

$0.75N = 0.5N + 2$

Теперь решим это линейное уравнение:

$0.75N - 0.5N = 2$

$0.25N = 2$

$N = \frac{2}{0.25} = 8$

Ответ: было 8 косцов.