Номер 123, страница 285 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 123, страница 285.

Условие.

123. Из A в B вышел пешеход со скоростью $4.8 \text{ км/ч}$. Одновременно с ним из B в A выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$, который доехал до A, повернул назад и поехал с той же скоростью. Догонит ли велосипедист пешехода до его прихода в B?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменную $S$ для обозначения расстояния между пунктами А и В. Скорость пешехода $v_п = 4.8$ км/ч, а скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Сначала определим время, которое потребуется пешеходу, чтобы пройти весь путь из А в В. Это время равно:

$t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{4.8}$ ч.

Теперь рассмотрим движение велосипедиста. Сначала он едет из В в А. Время, затраченное на этот участок пути, составляет:

$t_{в1} = \frac{S}{v_в} = \frac{S}{10}$ ч.

За то время, пока велосипедист ехал в пункт А ($t_{в1}$), пешеход шел из А в В. Найдем расстояние, которое он прошел за это время:

$S_п = v_п \cdot t_{в1} = 4.8 \cdot \frac{S}{10} = 0.48S$ км.

Таким образом, в тот момент, когда велосипедист прибыл в пункт А и развернулся, пешеход находился на расстоянии $0.48S$ от пункта А. Теперь велосипедист начинает догонять пешехода. Оба движутся в одном направлении.

Скорость сближения (скорость, с которой велосипедист догоняет пешехода) равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_в - v_п = 10 - 4.8 = 5.2$ км/ч.

Время, которое потребуется велосипедисту, чтобы догнать пешехода (т.е. покрыть начальное расстояние $0.48S$ между ними), равно:

$t_{догон} = \frac{0.48S}{v_{сбл}} = \frac{0.48S}{5.2} = \frac{48S}{520} = \frac{12S}{130} = \frac{6S}{65}$ ч.

Чтобы найти общее время с момента старта до момента встречи, нужно сложить время движения велосипедиста до пункта А и время погони:

$t_{встречи} = t_{в1} + t_{догон} = \frac{S}{10} + \frac{6S}{65}$

Приведем дроби к общему знаменателю 130:

$t_{встречи} = \frac{13S}{130} + \frac{12S}{130} = \frac{25S}{130} = \frac{5S}{26}$ ч.

Теперь сравним время, через которое произойдет встреча ($t_{встречи}$), с общим временем, которое нужно пешеходу, чтобы дойти до B ($t_п$).

Время пешехода: $t_п = \frac{S}{4.8} = \frac{10S}{48} = \frac{5S}{24}$ ч.

Время встречи: $t_{встречи} = \frac{5S}{26}$ ч.

Сравним дроби $\frac{5S}{24}$ и $\frac{5S}{26}$. У этих дробей одинаковые числители, поэтому большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $24 < 26$, то $\frac{5S}{24} > \frac{5S}{26}$.

Это означает, что $t_п > t_{встречи}$. Следовательно, велосипедист догонит пешехода до того, как пешеход прибудет в пункт В.

Ответ: да, догонит.