Страница 264 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 172

Рис. 173

Рис. 174

Рис. 175

6.139. У шахматной доски отрезали две противоположные угловые клетки (рис. 172). Можно ли эту доску разрезать на фигуры домино, состоящие из двух клеток?

Стандартная шахматная доска имеет размер $8 \times 8$ клеток, что в сумме составляет $64$ клетки. Эти клетки окрашены в два цвета (назовем их черным и белым) в шахматном порядке. При этом количество белых и черных клеток на полной доске одинаково: $32$ белых и $32$ черных.

Противоположные угловые клетки на шахматной доске всегда имеют один и тот же цвет. Например, если клетка в левом верхнем углу белая, то и клетка в правом нижнем углу тоже будет белой. Таким образом, отрезав две противоположные угловые клетки, мы удаляем две клетки одинакового цвета.

Предположим, что удаленные клетки были белыми. Тогда на доске останется $32 - 2 = 30$ белых клеток и $32$ черные клетки. Если бы удаленные клетки были черными, то осталось бы $32$ белых и $30$ черных клеток. В любом случае, количество клеток одного цвета будет на две больше, чем другого. Общее число клеток на доске станет $64 - 2 = 62$.

Фигура домино состоит из двух смежных клеток. Поскольку на шахматной доске любая клетка граничит только с клетками противоположного цвета, любая фигура домино, размещенная на доске, будет покрывать ровно одну белую и одну черную клетку.

Чтобы разрезать доску на фигуры домино, нам понадобится $62 / 2 = 31$ фигура. Если бы такое разрезание было возможно, то все $31$ домино покрыли бы $31$ белую и $31$ черную клетку. Однако, как мы выяснили, на нашей доске осталось $30$ клеток одного цвета и $32$ другого. Поскольку количество белых и черных клеток не совпадает, покрыть такую доску фигурами домино невозможно.

Ответ: Нельзя.

6.140. Прямоугольник $2 \times 4$ состоит из 8 квадратов. Разрежьте прямоугольник на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов. Найдите три способа разрезания.

Для того чтобы разрезать прямоугольник $2 \times 4$ на две равные части, линия разреза должна обладать центральной симметрией относительно центра прямоугольника. Центр прямоугольника находится на пересечении его осей симметрии. Площадь прямоугольника равна $2 \times 4 = 8$ квадратных единиц. Каждая из двух равных частей должна иметь площадь $8 / 2 = 4$ квадратных единицы.

Рассмотрим три способа такого разрезания.

Способ 1

Проведем разрез вертикально по средней линии прямоугольника. Линия разреза будет представлять собой вертикальный отрезок, делящий сторону длиной 4 пополам.

В результате получаются две равные части, каждая из которых является квадратом $2 \times 2$. Площадь каждой части равна $2 \times 2 = 4$ квадратных единицы.

Ответ: Разрезать прямоугольник пополам по вертикали.

Способ 2

Проведем разрез горизонтально по средней линии прямоугольника. Линия разреза будет представлять собой горизонтальный отрезок, делящий сторону длиной 2 пополам.

В результате получаются две равные части, каждая из которых является прямоугольником $1 \times 4$. Площадь каждой части равна $1 \times 4 = 4$ квадратных единицы.

Ответ: Разрезать прямоугольник пополам по горизонтали.

Способ 3

Проведем ступенчатый разрез, который обладает центральной симметрией. Линия разреза может начинаться на верхней стороне прямоугольника, смещенной от центра, и заканчиваться в симметричной точке на нижней стороне.

Например, линия разреза может состоять из трех отрезков, идущих по сторонам квадратов:

1. Вертикальный отрезок длиной 1, идущий вниз от точки на верхней стороне, отстоящей на 1 единицу от левого края.
2. Горизонтальный отрезок длиной 2, идущий вправо по центральной оси.
3. Вертикальный отрезок длиной 1, идущий вниз до нижней стороны.

В результате получаются две равные (конгруэнтные) фигуры, состоящие из 4 квадратов каждая. Если одну из фигур повернуть на $180^\circ$ вокруг центра прямоугольника, она полностью совпадет с другой. Каждая из этих фигур является полимино, известным как Т-тетромино (если учесть зеркальные отражения и повороты).

Ответ: Сделать ступенчатый разрез, симметричный относительно центра прямоугольника.

6.141. Квадрат $4 \times 4$ состоит из 16 квадратов. Разрежьте его на: а) две; б) четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов. Сколько способов разрезания вы найдёте?

Квадрат размером $4 \times 4$ состоит из 16 единичных квадратов. Задача состоит в том, чтобы разрезать его на равные (конгруэнтные) части, причем линии разреза должны проходить по сторонам единичных квадратов.

Нужно разрезать квадрат $4 \times 4$ на две равные части. Общая площадь квадрата равна 16 единичным квадратам, следовательно, каждая часть должна иметь площадь 8 единичных квадратов. Части должны быть конгруэнтными, то есть совпадать при наложении (с учетом поворотов и отражений).

Любая линия разреза, обладающая центральной симметрией относительно центра квадрата, разделит его на две конгруэнтные части. Вот несколько способов такого разрезания.

Способ 1: Прямолинейный разрез по вертикали
Разрезаем квадрат вертикальной линией ровно посередине. В результате получаются два одинаковых прямоугольника размером $2 \times 4$.

Способ 2: Прямолинейный разрез по горизонтали
Аналогично первому способу, разрезаем квадрат горизонтальной линией посередине. Получаем два одинаковых прямоугольника размером $4 \times 2$.

Способ 3: Фигурный разрез
Существуют и более сложные способы разрезания, при которых получаются фигуры, не являющиеся прямоугольниками. Пример такого разрезания показан ниже. Обе части конгруэнтны (одна получается из другой поворотом на 180° вокруг центра квадрата).

Ответ: Существует множество способов разрезать квадрат $4 \times 4$ на две равные части. Три примера приведены выше: два прямолинейных разреза (вертикальный и горизонтальный) и один фигурный.

Нужно разрезать квадрат $4 \times 4$ на четыре равные части. Каждая часть будет иметь площадь $16 / 4 = 4$ единичных квадрата. Такие фигуры называются тетрамино. Существует 5 видов тетрамино (I, O, T, L, S), и квадрат $4 \times 4$ можно разрезать на четыре конгруэнтные части в форме каждого из этих видов.

Способ 1: Прямые тетрамино (I-форма)
Квадрат можно разрезать на четыре полоски размером $1 \times 4$ или $4 \times 1$.

Способ 2: Квадратные тетрамино (O-форма)
Квадрат можно разрезать на четыре квадрата размером $2 \times 2$.

Способ 3: T-образные тетрамино

Способ 4: L-образные тетрамино

Способ 5: S-образные тетрамино

Ответ: Квадрат $4 \times 4$ можно разрезать на четыре равные части множеством способов. Выше приведены пять примеров, где частями являются все пять видов фигур тетрамино.

6.142. Прямоугольник $4 \times 6$ состоит из 24 квадратов. Разрежьте его на шесть равных частей так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Для решения задачи необходимо разрезать прямоугольник размером $4 \times 6$ на шесть равных частей. Линия разреза должна проходить по сторонам квадратов, из которых состоит прямоугольник.

1. Сначала найдем общую площадь прямоугольника. Она составляет $4 \times 6 = 24$ квадратных единицы (квадрата).

2. Так как прямоугольник нужно разделить на шесть равных частей, найдем площадь каждой такой части: $24 \div 6 = 4$ квадрата.

3. Таким образом, каждая из шести частей должна быть фигурой, состоящей из четырех квадратов, соединенных сторонами. Такие фигуры называются тетромино.

Задача имеет несколько решений, так как существуют разные способы разрезать прямоугольник на шесть одинаковых фигур-тетромино.

Решение 1: Прямоугольники 1×4

Самый простой способ — разрезать исходный прямоугольник на шесть одинаковых прямоугольников размером 4×1 (или 1×4). В данном случае это будут шесть вертикальных полос.

Ответ: Прямоугольник 4×6 разрезается на 6 равных частей, каждая из которых является прямоугольником 4×1.

Решение 2: Квадраты 2×2

Прямоугольник 4×6 можно разрезать на шесть одинаковых квадратов размером 2×2.

Ответ: Прямоугольник 4×6 разрезается на 6 равных частей, каждая из которых является квадратом 2×2.

Решение 3: Г-образные фигуры (L-тетромино)

Более сложный вариант — разрезать прямоугольник на шесть одинаковых Г-образных фигур.

Ответ: Прямоугольник 4×6 разрезается на 6 равных частей, каждая из которых имеет Г-образную форму (L-тетромино).

6.143. Разрежьте фигуру, состоящую из квадратов (рис. 173), на три равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Задача состоит в том, чтобы разрезать фигуру, состоящую из 12 квадратов, на три равные (конгруэнтные) части. Линии разреза должны проходить по сторонам квадратов, а это значит, что каждая часть будет являться полимино.

1. Анализ фигуры и условий

Исходная фигура, известная как "гномон", представляет собой квадрат 4x4, из которого вырезан угол в виде квадрата 2x2. Общая площадь фигуры составляет $16 - 4 = 12$ единичных квадратов.

Так как фигуру нужно разделить на три равные части, площадь каждой части должна быть равна $12 / 3 = 4$ единичным квадратам. Каждая такая часть является "тетрамино" — фигурой, состоящей из четырех квадратов, соединенных сторонами.

2. Поиск решения

Задача сводится к тому, чтобы найти способ замостить гномон тремя одинаковыми (конгруэнтными) тетрамино. Путем перебора можно убедиться, что ни один из 5 стандартных видов тетрамино (I, O, T, S, L из игры "Тетрис") не подходит для этой цели.

Однако решение существует. Искомые части являются тремя конгруэнтными L-образными тетрамино (в данном контексте L-тетрамино — это полоска из трех квадратов с одним квадратом, присоединенным сбоку к одному из крайних квадратов). Разрез показан на рисунке ниже.

3. Изображение решения

Представим фигуру в виде сетки, где каждая из трех частей окрашена в свой цвет (синий, зеленый и красный). Все три части имеют одинаковую L-образную форму, но по-разному ориентированы в пространстве.

Как видно из схемы, фигура разрезана на три L-образных тетрамино. Первая часть (синяя) расположена в левой части фигуры. Вторая (зеленая) — в верхней части и повернута на 90 градусов. Третья (красная) — в правом нижнем углу и является отражением и поворотом первых двух.

Ответ: Фигуру следует разрезать на три конгруэнтные части, имеющие форму L-образного тетрамино, как показано на рисунке.

6.144. Разрежьте фигуру, состоящую из квадратов (рис. 174), на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Для решения этой задачи необходимо сначала проанализировать исходную фигуру. Хотя сама фигура не показана, в задачах такого типа обычно используется фигура, состоящая из 12 единичных квадратов, известная как гномон. Она представляет собой квадрат размером 4x4, из которого вырезан угловой квадрат размером 2x2. Общая площадь такой фигуры составляет $S_{общ} = 4 \times 4 - 2 \times 2 = 16 - 4 = 12$ единичных квадратов.

Согласно условию, фигуру нужно разделить на четыре равные части. Это означает, что все части должны быть конгруэнтны, то есть иметь одинаковую форму и размер. Площадь каждой части будет равна $S_{часть} = S_{общ} / 4 = 12 / 4 = 3$ единичных квадрата.

Фигура, состоящая из трех квадратов, называется тромино. Таким образом, задача сводится к разрезанию гномона на четыре одинаковых тромино. Существует два типа тромино: прямое (I-тромино) и угловое (L-тромино). Данную фигуру можно разрезать на четыре конгруэнтных L-образных тромино.

Один из возможных способов такого разрезания показан на схеме ниже. Линии разреза проходят по сторонам квадратов, а каждая из четырех равных частей для наглядности окрашена в свой цвет.

Каждая цветная область на схеме представляет собой L-образное тромино, состоящее из трех квадратов. Все четыре фигуры полностью идентичны по форме и размеру.

Ответ: Фигуру необходимо разрезать на четыре одинаковые (конгруэнтные) L-образные части, каждая из которых состоит из трех квадратов, как показано на приведенной схеме.

6.145. Разрежьте фигуру, состоящую из квадратов (рис. 175), на четыре равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить свойства исходной фигуры. Стандартная фигура для этой задачи представляет собой квадрат размером 4x4, из которого в одном из углов вырезан квадрат 2x2. Общее количество единичных квадратов в такой фигуре составляет $4 \times 4 - 2 \times 2 = 16 - 4 = 12$ квадратов.

Фигуру требуется разрезать на четыре равные части. "Равные части" означает, что они должны быть конгруэнтными, то есть одинаковыми по форме и размеру. Таким образом, каждая из четырех частей должна состоять из $12 \div 4 = 3$ единичных квадратов.

Геометрическая фигура, состоящая из трех квадратов, соединенных сторонами, называется тромино. Существует два вида тромино: прямое (I-тромино, три квадрата в ряд) и угловое (L-тромино). Путем анализа можно установить, что данную фигуру невозможно разрезать на четыре прямых тромино. Следовательно, все четыре части должны быть L-образными тромино.

Ответ:

Один из возможных способов разрезать фигуру на четыре равные части показан на схеме ниже. Фигура разрезана на четыре конгруэнтные L-образные части, которые для наглядности выделены разными цветами. Каждая часть состоит из трех квадратов, и линии разреза проходят по сторонам квадратов, что соответствует условию задачи.

6.146. Из трёх различных фигур пентамино составьте прямоугольник $3 \times 5$. Сколько различных решений имеет задача?

Задача состоит из двух частей: составить прямоугольник 3x5 из трёх различных фигур пентамино и определить количество различных решений.

Пентамино — это геометрические фигуры, состоящие из пяти соединённых между собой квадратов. Всего существует 12 различных фигур пентамино (их принято обозначать буквами латинского алфавита, которые они напоминают):

Площадь прямоугольника 3x5 равна $3 \times 5 = 15$ квадратов. Каждая фигура пентамино состоит из 5 квадратов, поэтому три фигуры как раз занимают нужную площадь ($3 \times 5 = 15$).

Это известная комбинаторная задача. Существует всего 3 набора по три различных фигуры пентамино, из которых можно составить прямоугольник 3x5. Для каждого такого набора существует по два уникальных способа укладки (не считая симметрий — поворотов и отражений всего прямоугольника).

Наборы фигур, из которых можно составить прямоугольник 3x5:

1. Набор 1: {L, P, Y}
2. Набор 2: {N, P, Y}
3. Набор 3: {F, N, P}

Ниже приведены примеры решений для каждого набора фигур. Фигуры на схемах обозначены соответствующими им буквами.

1. Решение для набора {L, P, Y}

Одно из возможных решений для этого набора показано на схеме ниже. Каждая буква на поле 3x5 указывает, к какой фигуре относится данный квадрат.

2. Решение для набора {N, P, Y}

Пример укладки для второго набора фигур:

3. Решение для набора {F, N, P}

Пример укладки для третьего набора фигур (здесь используется зеркальная версия фигуры F):

Сколько различных решений имеет задача?

Как было сказано, существует 3 набора фигур, которые могут составить прямоугольник 3x5. Для каждого из этих наборов есть 2 принципиально разных способа укладки. Таким образом, общее количество уникальных решений (без учёта симметрий) составляет $3 \times 2 = 6$.

Ответ: Задачу можно решить, используя один из трёх наборов фигур: {L, P, Y}, {N, P, Y} или {F, N, P}. Всего задача имеет 6 различных решений (способов укладки).

6.147. Из фигур тримино, домино и одного квадрата (рис. 176) сложите квадрат $3 \times 3$. Сколькими способами это можно сделать?

Для того чтобы сложить квадрат размером $3 \times 3$, нам нужны фигуры, общая площадь которых равна $3 \times 3 = 9$ единичным клеткам. В условии сказано, что мы используем фигуры тримино (площадь 3), домино (площадь 2) и один квадрат (площадь 1).

Пусть $t$ — количество используемых фигур тримино, а $d$ — количество фигур домино. Поскольку используется ровно один квадрат, оставшуюся площадь $9 - 1 = 8$ клеток нужно покрыть фигурами тримино и домино. Таким образом, мы получаем диофантово уравнение:

$3t + 2d = 8$

где $t$ и $d$ — целые неотрицательные числа. У этого уравнения есть два возможных решения:

1. Если $t = 0$, то $2d = 8$, откуда $d = 4$. В этом случае набор фигур состоит из 1 квадрата и 4 домино.
2. Если $t = 2$, то $3 \cdot 2 + 2d = 8$, откуда $2d = 2$ и $d = 1$. В этом случае набор фигур состоит из 1 квадрата, 2 тримино и 1 домино.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Раскрасим квадрат $3 \times 3$ в шахматном порядке. В нем будет 5 клеток одного цвета (например, черного) и 4 клетки другого (белого). Фигура домино всегда покрывает одну черную и одну белую клетку. Следовательно, 4 фигуры домино покроют 4 черные и 4 белые клетки. Оставшаяся одна клетка, которую займет квадрат, должна быть черной. В квадрате $3 \times 3$ черными являются 4 угловые клетки и 1 центральная.

• Квадрат в центре.
  Если квадрат находится в центральной клетке, оставшуюся "рамку" из 8 клеток нужно замостить четырьмя домино. Существует 2 способа это сделать (один получается из другого поворотом на 90 градусов).
  
• Квадрат в углу.
  Пусть квадрат находится в одном из 4-х углов. Для каждого углового положения существует 8 способов замостить оставшуюся L-образную область из 8 клеток четырьмя домино. Например, если квадрат в левом верхнем углу, то возможны следующие варианты разбиения оставшейся области:
  • Домино покрывает две верхние клетки в первом ряду. Оставшийся прямоугольник $2 \times 3$ можно замостить 3 способами.
  • Домино покрывает две левые клетки в первом столбце. Оставшийся прямоугольник $3 \times 2$ можно замостить 3 способами.
  • Оставшиеся 2 способа имеют более сложную структуру.
  Всего для одного угла $3 + 3 + 2 = 8$ способов. Так как есть 4 угла, получаем $4 \times 8 = 32$ способа.

Итого для этого случая: $2 (\text{центр}) + 32 (\text{углы}) = 34$ способа.

Ответ: 34 способа.

Фигура тримино бывает двух видов: прямая (I-тримино) и угловая (L-тримино). Следовательно, пара тримино может быть трех видов: {I, I}, {L, L} или {I, L}.

• Поднабор {1 квадрат, 2 L-тримино, 1 домино}
  Можно показать, что квадрат не может находиться в центре (оставшуюся рамку нельзя замостить двумя L-тримино и одним домино). Квадрат должен находиться в углу. Для каждого из 4 угловых положений квадрата существует 4 способа разместить остальные фигуры. Например, если квадрат в углу, домино должно примыкать к нему по одной из сторон, а оставшийся прямоугольник $2 \times 3$ или $3 \times 2$ можно замостить двумя L-тримино двумя способами. Всего $4 \text{ угла} \times (2+2) \text{ способа} = 16$ способов.
• Поднабор {1 квадрат, 2 I-тримино, 1 домино}
  В этом случае квадрат также должен находиться в углу. Два I-тримино должны быть параллельны друг другу (оба горизонтальны или оба вертикальны), а домино и квадрат занимают оставшийся ряд или столбец. Для каждого из 4 углов есть 2 таких способа (I-тримино по горизонтали или по вертикали). Всего $4 \text{ угла} \times 2 \text{ способа} = 8$ способов.
• Поднабор {1 квадрат, 1 L-тримино, 1 I-тримино, 1 домино}
  I-тримино не может располагаться в среднем ряду или столбце, так как оно разделит оставшуюся область на две несвязные части, в которых нельзя разместить L-тримино. Следовательно, I-тримино должно занимать один из крайних рядов или столбцов (4 варианта). Оставшийся прямоугольник $2 \times 3$ нужно замостить квадратом, L-тримино и домино. Можно показать, что это можно сделать 12 способами. Всего $4 \text{ положения I-тримино} \times 12 \text{ способов} = 48$ способов.

Итого для этого случая: $16 + 8 + 48 = 72$ способа.

Ответ: 72 способа.

Суммируя количество способов для всех возможных наборов фигур, получаем общее количество способов сложить квадрат $3 \times 3$:

$34 (\text{Случай 1}) + 72 (\text{Случай 2}) = 106$

Ответ: 106 способов.