Номер 6.147, страница 264 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 6. Задачи на составление и разрезание фигур - номер 6.147, страница 264.

Условие.

6.147. Из фигур тримино, домино и одного квадрата (рис. 176) сложите квадрат $3 \times 3$. Сколькими способами это можно сделать?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы сложить квадрат размером $3 \times 3$, нам нужны фигуры, общая площадь которых равна $3 \times 3 = 9$ единичным клеткам. В условии сказано, что мы используем фигуры тримино (площадь 3), домино (площадь 2) и один квадрат (площадь 1).

Пусть $t$ — количество используемых фигур тримино, а $d$ — количество фигур домино. Поскольку используется ровно один квадрат, оставшуюся площадь $9 - 1 = 8$ клеток нужно покрыть фигурами тримино и домино. Таким образом, мы получаем диофантово уравнение:

$3t + 2d = 8$

где $t$ и $d$ — целые неотрицательные числа. У этого уравнения есть два возможных решения:

1. Если $t = 0$, то $2d = 8$, откуда $d = 4$. В этом случае набор фигур состоит из 1 квадрата и 4 домино.
2. Если $t = 2$, то $3 \cdot 2 + 2d = 8$, откуда $2d = 2$ и $d = 1$. В этом случае набор фигур состоит из 1 квадрата, 2 тримино и 1 домино.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: 1 квадрат и 4 домино

Раскрасим квадрат $3 \times 3$ в шахматном порядке. В нем будет 5 клеток одного цвета (например, черного) и 4 клетки другого (белого). Фигура домино всегда покрывает одну черную и одну белую клетку. Следовательно, 4 фигуры домино покроют 4 черные и 4 белые клетки. Оставшаяся одна клетка, которую займет квадрат, должна быть черной. В квадрате $3 \times 3$ черными являются 4 угловые клетки и 1 центральная.

• Квадрат в центре.
  Если квадрат находится в центральной клетке, оставшуюся "рамку" из 8 клеток нужно замостить четырьмя домино. Существует 2 способа это сделать (один получается из другого поворотом на 90 градусов).
  
• Квадрат в углу.
  Пусть квадрат находится в одном из 4-х углов. Для каждого углового положения существует 8 способов замостить оставшуюся L-образную область из 8 клеток четырьмя домино. Например, если квадрат в левом верхнем углу, то возможны следующие варианты разбиения оставшейся области:
  • Домино покрывает две верхние клетки в первом ряду. Оставшийся прямоугольник $2 \times 3$ можно замостить 3 способами.
  • Домино покрывает две левые клетки в первом столбце. Оставшийся прямоугольник $3 \times 2$ можно замостить 3 способами.
  • Оставшиеся 2 способа имеют более сложную структуру.
  Всего для одного угла $3 + 3 + 2 = 8$ способов. Так как есть 4 угла, получаем $4 \times 8 = 32$ способа.

Итого для этого случая: $2 (\text{центр}) + 32 (\text{углы}) = 34$ способа.

Ответ: 34 способа.

Случай 2: 1 квадрат, 2 тримино и 1 домино

Фигура тримино бывает двух видов: прямая (I-тримино) и угловая (L-тримино). Следовательно, пара тримино может быть трех видов: {I, I}, {L, L} или {I, L}.

• Поднабор {1 квадрат, 2 L-тримино, 1 домино}
  Можно показать, что квадрат не может находиться в центре (оставшуюся рамку нельзя замостить двумя L-тримино и одним домино). Квадрат должен находиться в углу. Для каждого из 4 угловых положений квадрата существует 4 способа разместить остальные фигуры. Например, если квадрат в углу, домино должно примыкать к нему по одной из сторон, а оставшийся прямоугольник $2 \times 3$ или $3 \times 2$ можно замостить двумя L-тримино двумя способами. Всего $4 \text{ угла} \times (2+2) \text{ способа} = 16$ способов.
• Поднабор {1 квадрат, 2 I-тримино, 1 домино}
  В этом случае квадрат также должен находиться в углу. Два I-тримино должны быть параллельны друг другу (оба горизонтальны или оба вертикальны), а домино и квадрат занимают оставшийся ряд или столбец. Для каждого из 4 углов есть 2 таких способа (I-тримино по горизонтали или по вертикали). Всего $4 \text{ угла} \times 2 \text{ способа} = 8$ способов.
• Поднабор {1 квадрат, 1 L-тримино, 1 I-тримино, 1 домино}
  I-тримино не может располагаться в среднем ряду или столбце, так как оно разделит оставшуюся область на две несвязные части, в которых нельзя разместить L-тримино. Следовательно, I-тримино должно занимать один из крайних рядов или столбцов (4 варианта). Оставшийся прямоугольник $2 \times 3$ нужно замостить квадратом, L-тримино и домино. Можно показать, что это можно сделать 12 способами. Всего $4 \text{ положения I-тримино} \times 12 \text{ способов} = 48$ способов.

Итого для этого случая: $16 + 8 + 48 = 72$ способа.

Ответ: 72 способа.

Общее количество способов

Суммируя количество способов для всех возможных наборов фигур, получаем общее количество способов сложить квадрат $3 \times 3$:

$34 (\text{Случай 1}) + 72 (\text{Случай 2}) = 106$

Ответ: 106 способов.