Номер 6.146, страница 264 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 6. Задачи на составление и разрезание фигур - номер 6.146, страница 264.

Условие.

6.146. Из трёх различных фигур пентамино составьте прямоугольник $3 \times 5$. Сколько различных решений имеет задача?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит из двух частей: составить прямоугольник 3x5 из трёх различных фигур пентамино и определить количество различных решений.

Пентамино — это геометрические фигуры, состоящие из пяти соединённых между собой квадратов. Всего существует 12 различных фигур пентамино (их принято обозначать буквами латинского алфавита, которые они напоминают):

Площадь прямоугольника 3x5 равна $3 \times 5 = 15$ квадратов. Каждая фигура пентамино состоит из 5 квадратов, поэтому три фигуры как раз занимают нужную площадь ($3 \times 5 = 15$).

Это известная комбинаторная задача. Существует всего 3 набора по три различных фигуры пентамино, из которых можно составить прямоугольник 3x5. Для каждого такого набора существует по два уникальных способа укладки (не считая симметрий — поворотов и отражений всего прямоугольника).

Наборы фигур, из которых можно составить прямоугольник 3x5:

1. Набор 1: {L, P, Y}
2. Набор 2: {N, P, Y}
3. Набор 3: {F, N, P}

Ниже приведены примеры решений для каждого набора фигур. Фигуры на схемах обозначены соответствующими им буквами.

1. Решение для набора {L, P, Y}

Одно из возможных решений для этого набора показано на схеме ниже. Каждая буква на поле 3x5 указывает, к какой фигуре относится данный квадрат.

Y	L	P	P	P
Y	L	L	L	P
Y	Y	Y	L	P

2. Решение для набора {N, P, Y}

Пример укладки для второго набора фигур:

P	P	N	Y	Y
P	N	N	N	Y
P	P	N	Y	Y

3. Решение для набора {F, N, P}

Пример укладки для третьего набора фигур (здесь используется зеркальная версия фигуры F):

F	F	P	P	P
F	N	N	P	P
N	N	N	F	F

Сколько различных решений имеет задача?

Как было сказано, существует 3 набора фигур, которые могут составить прямоугольник 3x5. Для каждого из этих наборов есть 2 принципиально разных способа укладки. Таким образом, общее количество уникальных решений (без учёта симметрий) составляет $3 \times 2 = 6$.

Ответ: Задачу можно решить, используя один из трёх наборов фигур: {L, P, Y}, {N, P, Y} или {F, N, P}. Всего задача имеет 6 различных решений (способов укладки).