Номер 6.150, страница 267 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 6. Развёртки и проволочные каркасы. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.150, страница 267.

Условие.

6.150. Сколько различных развёрток имеет пирамида $SABC$, если $AB = BC = AC = 1$, а $SA = SB = SC = 2$. Развёртки считают различными, если их невозможно совместить при наложении (даже с переворачиванием листа с развёрткой).

Решение 1.

Решение 5.

Данная пирамида $SABC$ имеет в основании равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 1, так как $AB = BC = AC = 1$. Боковые грани $SAB$, $SBC$ и $SCA$ являются тремя равными равнобедренными треугольниками со сторонами 2, 2 и 1, так как $SA = SB = SC = 2$.

Развёртка пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из всех её четырех граней (одного треугольника основания и трех боковых), соединенных по ребрам так, что при сгибании по этим ребрам снова образуется пирамида. Структурно, любая развёртка соответствует остовному дереву в дуальном графе многогранника. Для тетраэдра (треугольной пирамиды) дуальный граф является полным графом на 4 вершинах ($K_4$), где каждая вершина соответствует грани, а ребро соединяет вершины, соответствующие смежным граням.

Остовные деревья для 4 вершин бывают двух неизоморфных типов:

1. "Звезда" ($K_{1,3}$): одна центральная грань соединена с тремя другими.
2. "Цепочка" ($P_4$): четыре грани соединены последовательно в линию.

Рассмотрим все возможные развёртки, сгруппировав их по этим двум типам. В условии сказано, что развёртки считаются различными, если их невозможно совместить наложением, даже переворачивая. Это означает, что хиральная развёртка и её зеркальное отражение считаются двумя разными развёртками.

1. Развёртки типа "Звезда"

В этом случае одна из граней является центральной, а три остальные примыкают к её сторонам.

a) Центральная грань — основание $ABC$.К каждой стороне равностороннего треугольника $ABC$ примыкает по одной из трех одинаковых боковых граней. Поскольку основание является правильным треугольником, а все боковые грани равны, эта развёртка обладает высокой симметрией (осевой симметрией третьего порядка). Она является ахиральной (совпадает со своим зеркальным отражением). Такая развёртка единственна.
Это дает 1 различную развёртку.

б) Центральная грань — боковая, например, $SAB$.К основанию $AB$ равнобедренного треугольника $SAB$ примыкает грань основания $ABC$. К двум равным боковым сторонам $SA$ и $SB$ примыкают две оставшиеся боковые грани $SCA$ и $SBC$ соответственно. Поскольку центральная грань $SAB$ равнобедренная, а примыкающие к равным сторонам грани $SCA$ и $SBC$ равны, эта развёртка имеет ось симметрии (проходящую через вершину $S$ и середину ребра $AB$). Следовательно, она ахиральна. Так как все боковые грани одинаковы, выбор любой из них в качестве центральной приведет к такой же развёртке.
Это дает еще 1 различную развёртку.

2. Развёртки типа "Цепочка"

В этом случае четыре грани выстроены в линию, где каждая внутренняя грань соединена с двумя соседними.

a) Грань основания $ABC$ находится на краю цепочки.Цепочка имеет вид $T_B - T_{L1} - T_{L2} - T_{L3}$, где $T_B$ — основание, а $T_L$ — боковые грани. Это означает, что к основанию примыкает "полоса" из трех боковых граней. Существует два принципиально разных способа составить полосу из трех боковых граней:

• Симметричная полоса: Например, $SBC - SAB - SCA$ (соединены по ребрам $SB$ и $SA$). Эта полоса имеет ось симметрии, проходящую через вершину $S$ и середину ребра $AB$ центральной грани $SAB$. Если прикрепить основание $ABC$ к одному из краев полосы (например, к грани $SBC$ по ребру $BC$), симметрия нарушится, и полученная развёртка станет хиральной. Прикрепление основания к другому краю (к $SCA$ по ребру $AC$) даст зеркально-симметричную развёртку. Таким образом, этот случай дает одну хиральную пару.
  Это дает 2 различные развёртки.
• Асимметричная полоса: Например, $SAB - SBC - SCA$ (соединены по ребрам $SB$ и $SC$). Эта полоса не имеет симметрии, она "закручивается" в одну сторону. Края этой полосы (грани $SAB$ и $SCA$) не эквивалентны. Присоединение основания $ABC$ к грани $SAB$ (по ребру $AB$) дает одну хиральную развёртку. Присоединение основания $ABC$ к грани $SCA$ (по ребру $AC$) дает другую хиральную развёртку, которая не является ни той же самой, ни зеркальной копией первой. Каждая из этих двух развёрток имеет свою зеркальную копию (которая получится из зеркальной полосы $SCA - SBC - SAB$).
  Это дает еще 4 различные развёртки (две хиральные пары).

Всего для этого случая получаем $2 + 4 = 6$ развёрток.

б) Грань основания $ABC$ находится в середине цепочки.Цепочка имеет вид $T_{L1} - T_B - T_{L2} - T_{L3}$. Построим такую развёртку. Возьмем основание $ABC$. Присоединим к двум его смежным сторонам, например $AB$ и $BC$, две боковые грани $SAB$ и $SBC$. Получится "уголок" $SAB - ABC - SBC$. Оставшуюся грань $SCA$ нужно присоединить к одной из крайних боковых граней (так как это "цепочка"). Например, присоединим $SCA$ к $SBC$ по общему ребру $SC$. Получится развёртка, соответствующая последовательности $SAB - ABC - SBC - SCA$. Эта развёртка несимметрична, то есть хиральна. Ее зеркальное отражение будет отличаться и получится, например, если изначально к основанию $ABC$ присоединять грани к сторонам $AC$ и $CB$. Таким образом, этот случай дает одну хиральную пару.
Это дает еще 2 различные развёртки.

Итог

Суммируя количество развёрток из всех рассмотренных случаев:

• Развёртки типа "Звезда": $1 + 1 = 2$.
• Развёртки типа "Цепочка": $6 + 2 = 8$.

Общее количество различных развёрток равно $2 + 8 = 10$.

Ответ: 10.