Номер 39, страница 276 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 39, страница 276.

Условие.

39. а) Найдите натуральные числа x, y, z, для которых верно равенство

$\frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30}$

б) Найдите целые числа x, y, z, для которых верно то же равенство.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано равенство:

$$ \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}} = \frac{7}{30} $$

Требуется найти натуральные числа $x, y, z$. Натуральные числа — это целые положительные числа $(1, 2, 3, ...)$.

Перевернем обе части равенства, чтобы избавиться от основной дроби:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{30}{7} $$

Представим правую часть в виде смешанной дроби (выделим целую часть):

$$ \frac{30}{7} = 4 + \frac{2}{7} $$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = 4 + \frac{2}{7} $$

Поскольку $y$ и $z$ — натуральные числа, $y \ge 1$ и $z \ge 1$.
Следовательно, $y + \frac{1}{z} > 1$, а значит $0 < \frac{1}{y + \frac{1}{z}} < 1$.
В левой части уравнения $x$ является целой частью, а $\frac{1}{y + \frac{1}{z}}$ — дробной. Сравнивая целые и дробные части левой и правой частей уравнения, получаем:

$$ x = 4 $$

и

$$ \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{2}{7} $$

Теперь решим второе уравнение. Снова перевернем обе части:

$$ y + \frac{1}{z} = \frac{7}{2} $$

Выделим целую часть в правой части:

$$ \frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2} $$

Уравнение принимает вид:

$$ y + \frac{1}{z} = 3 + \frac{1}{2} $$

Аналогично первому шагу, так как $z$ — натуральное число ($z \ge 1$), то $0 < \frac{1}{z} \le 1$. Сравнивая целые и дробные части, получаем:

$$ y = 3 $$

и

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{2} $$

Из последнего равенства следует, что $z = 2$.
Таким образом, мы нашли единственное решение в натуральных числах.

Ответ: $x=4, y=3, z=2$.

б)

Теперь найдем все целые числа $x, y, z$, для которых верно то же равенство. Целые числа включают положительные, отрицательные числа и ноль. При этом из вида дроби следует, что $z \ne 0$ и $y + \frac{1}{z} \ne 0$.

Преобразуем левую часть исходного уравнения:

$$ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = x + \frac{1}{\frac{yz+1}{z}} = x + \frac{z}{yz+1} $$

Тогда исходное уравнение эквивалентно:

$$ x + \frac{z}{yz+1} = \frac{30}{7} $$

Выразим дробную часть:

$$ \frac{z}{yz+1} = \frac{30}{7} - x = \frac{30 - 7x}{7} $$

Рассмотрим дробь в левой части: $\frac{z}{yz+1}$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя. Любой общий делитель чисел $z$ и $yz+1$ должен также делить $yz$ и, следовательно, разность $(yz+1) - yz = 1$. Единственным таким положительным делителем является 1. Значит, $\text{НОД}(z, yz+1) = 1$.

Это означает, что дробь $\frac{z}{yz+1}$ является несократимой.

Дробь в правой части $\frac{30-7x}{7}$ также должна быть несократимой, чтобы равенство выполнялось (с учетом знака). $\text{НОД}(30-7x, 7) = \text{НОД}(30, 7) = \text{НОД}(4 \cdot 7 + 2, 7) = \text{НОД}(2, 7) = 1$. Таким образом, правая часть также является несократимой дробью.

Поскольку обе дроби несократимы и равны, их знаменатели должны быть равны по модулю:

$$ yz+1 = 7 \quad \text{или} \quad yz+1 = -7 $$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $yz+1 = 7$

Отсюда $yz=6$.
Приравнивая числители, получаем $z = 30-7x$.
Подставим это выражение для $z$ в $yz=6$:

$$ y(30-7x) = 6 $$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, $y$ должен быть делителем числа 6. Делители 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверим все варианты для $y$:

• Если $y=1$, то $30-7x=6 \implies 7x=24 \implies x=24/7$ (не целое).
• Если $y=2$, то $30-7x=3 \implies 7x=27 \implies x=27/7$ (не целое).
• Если $y=3$, то $30-7x=2 \implies 7x=28 \implies x=4$ (целое). Тогда $z=30-7(4)=2$. Проверяем: $yz=3 \cdot 2=6$. Это решение: $(4, 3, 2)$.
• Если $y=6$, то $30-7x=1 \implies 7x=29 \implies x=29/7$ (не целое).
• Если $y=-1$, то $30-7x=-6 \implies 7x=36 \implies x=36/7$ (не целое).
• Если $y=-2$, то $30-7x=-3 \implies 7x=33 \implies x=33/7$ (не целое).
• Если $y=-3$, то $30-7x=-2 \implies 7x=32 \implies x=32/7$ (не целое).
• Если $y=-6$, то $30-7x=-1 \implies 7x=31 \implies x=31/7$ (не целое).

В этом случае есть только одно решение в целых числах: $(4, 3, 2)$.

Случай 2: $yz+1 = -7$

Отсюда $yz=-8$.
Приравнивая дроби $\frac{z}{-7} = \frac{30-7x}{7}$, получаем $z = -(30-7x) = 7x-30$.
Подставим это выражение для $z$ в $yz=-8$:

$$ y(7x-30) = -8 $$

Здесь $y$ должен быть делителем числа -8. Делители -8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверим все варианты для $y$:

• Если $y=1$, то $7x-30=-8 \implies 7x=22 \implies x=22/7$ (не целое).
• Если $y=2$, то $7x-30=-4 \implies 7x=26 \implies x=26/7$ (не целое).
• Если $y=4$, то $7x-30=-2 \implies 7x=28 \implies x=4$ (целое). Тогда $z=7(4)-30=-2$. Проверяем: $yz=4 \cdot (-2)=-8$. Это решение: $(4, 4, -2)$.
• Если $y=8$, то $7x-30=-1 \implies 7x=29 \implies x=29/7$ (не целое).
• Если $y=-1$, то $7x-30=8 \implies 7x=38 \implies x=38/7$ (не целое).
• Если $y=-2$, то $7x-30=4 \implies 7x=34 \implies x=34/7$ (не целое).
• Если $y=-4$, то $7x-30=2 \implies 7x=32 \implies x=32/7$ (не целое).
• Если $y=-8$, то $7x-30=1 \implies 7x=31 \implies x=31/7$ (не целое).

В этом случае есть только одно решение в целых числах: $(4, 4, -2)$.

Итак, мы нашли все возможные решения в целых числах.

Ответ: $(4, 3, 2)$ и $(4, 4, -2)$.