Номер 6.161, страница 270 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 6. Занимательные задачи - номер 6.161, страница 270.

Условие.

6.161. Серединным перпендикуляром к отрезку называют прямую, перпендикулярную отрезку и делящую его пополам. Докажите, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку одинаково удалена от концов этого отрезка.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $m$, которая является его серединным перпендикуляром. Обозначим точку пересечения прямой $m$ и отрезка $AB$ буквой $M$.

Согласно определению серединного перпендикуляра:

1. Прямая $m$ перпендикулярна отрезку $AB$. Это означает, что углы, образованные при их пересечении, являются прямыми: $\angle AM P = \angle BMP = 90^\circ$ для любой точки $P$ на прямой $m$.
2. Прямая $m$ делит отрезок $AB$ пополам. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$, и, следовательно, длины отрезков $AM$ и $MB$ равны: $AM = MB$.

Требуется доказать, что любая точка на прямой $m$ одинаково удалена от концов отрезка $A$ и $B$.

Возьмем произвольную точку $P$ на прямой $m$. Расстояние от точки $P$ до точки $A$ — это длина отрезка $PA$, а расстояние до точки $B$ — это длина отрезка $PB$. Нам нужно доказать, что $PA = PB$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$.

Сравним эти треугольники:

• Катет $AM$ треугольника $\triangle PMA$ равен катету $MB$ треугольника $\triangle PMB$ (так как $M$ — середина $AB$).
• Катет $PM$ является общим для обоих треугольников.

Поскольку треугольники $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$ являются прямоугольными, и два их катета соответственно равны, то эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам). Также можно применить первый признак равенства для произвольных треугольников: они равны по двум сторонам ($AM=MB$ и общая сторона $PM$) и углу между ними ($\angle PMA = \angle PMB = 90^\circ$).

Из равенства треугольников $\triangle PMA = \triangle PMB$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, гипотенуза $PA$ треугольника $\triangle PMA$ равна гипотенузе $PB$ треугольника $\triangle PMB$.

Таким образом, $PA = PB$, что означает, что точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Так как $P$ была выбрана как произвольная точка на серединном перпендикуляре, это утверждение верно для любой точки серединного перпендикуляра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любая точка $P$, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, образует с его серединой $M$ и концами $A$ и $B$ два равных прямоугольных треугольника $\triangle PMA$ и $\triangle PMB$ (равенство по двум катетам). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз $PA$ и $PB$, что и означает, что точка $P$ равноудалена от концов отрезка $A$ и $B$.