Номер 6.160, страница 270 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 6. Занимательные задачи. Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби - номер 6.160, страница 270.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ

6.160. Дан отрезок $AB$. Провели две пересекающиеся окружности одинакового радиуса с центрами в точках $A$ и $B$. Точки пересечения окружностей обозначили буквами $M$ и $N$. Докажите, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $MN$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что точки A и B симметричны относительно прямой MN, необходимо доказать, что прямая MN является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Рассмотрим четырехугольник, образованный точками A, M, B и N.

По условию, точка M является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в точке A и радиусом R, и другой с центром в точке B и таким же радиусом R. Следовательно, расстояние от M до центра A равно радиусу, и расстояние от M до центра B равно радиусу. То есть, $AM = R$ и $BM = R$. Отсюда следует, что $AM = BM$.

Аналогично, точка N также является точкой пересечения этих двух окружностей. Следовательно, расстояние от N до центра A равно радиусу, и расстояние от N до центра B равно радиусу. То есть, $AN = R$ и $BN = R$. Отсюда следует, что $AN = BN$.

Таким образом, в четырехугольнике AMBN все стороны равны друг другу: $AM = BM = AN = BN = R$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, AMBN — ромб.

Одним из свойств ромба является то, что его диагонали (в нашем случае AB и MN) взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что прямая MN перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину, то есть является его серединным перпендикуляром.

По определению, две точки симметричны относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Следовательно, точки A и B симметричны относительно прямой MN.

Ответ: Что и требовалось доказать.