Номер 6.164, страница 270 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 6. Занимательные задачи - номер 6.164, страница 270.

Условие.

6.164. Разделите отрезок пополам циркулем и линейкой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки (без делений), необходимо выполнить построение серединного перпендикуляра к этому отрезку. Точка пересечения перпендикуляра и отрезка и будет его серединой.

Пусть нам дан отрезок $AB$.

Алгоритм построения

1. Установите иглу циркуля в точку $A$. Выберите раствор циркуля (радиус) $r$, который будет заведомо больше половины длины отрезка $AB$.

2. Сохраняя выбранный радиус, проведите дугу окружности с центром в точке $A$ так, чтобы она проходила и над, и под отрезком $AB$.

3. Не меняя раствор циркуля ($r$), перенесите иглу в точку $B$. Проведите вторую дугу окружности с центром в точке $B$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках. Назовем эти точки пересечения $C$ и $D$.

4. С помощью линейки проведите прямую через точки $C$ и $D$.

5. Точка, в которой прямая $CD$ пересекает отрезок $AB$, является его серединой. Обозначим эту точку буквой $M$.

Обоснование

Рассмотрим треугольники $\triangle CAD$ и $\triangle CBD$. По построению, мы использовали один и тот же радиус $r$ для построения дуг из точек $A$ и $B$. Следовательно, отрезки $AC$, $AD$, $BC$ и $BD$ равны этому радиусу:

$AC = AD = BC = BD = r$

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Они имеют общую сторону $AB$, и по построению $AC = BC$ и $AD = BD$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Так как все его стороны равны ($AC = CB = BD = DA = r$), то этот четырехугольник является ромбом.

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали ($AB$ и $CD$) взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка их пересечения $M$ делит диагональ $AB$ на две равные части:

$AM = MB$

Таким образом, точка $M$ является искомой серединой отрезка $AB$.

Ответ: Построенная точка $M$ делит отрезок $AB$ пополам.