Номер 6.162, страница 270 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 6. Обыкновенные и десятичные дроби. Дополнения к главе 6. Занимательные задачи - номер 6.162, страница 270.

Условие.

6.162. Задача Леонардо да Винчи. Докажите, что если две равные окружности пересекаются друг с другом, то любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, одинаково удалена от того и другого центра.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть даны две равные окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и одинаковым радиусом $R$. Пусть эти окружности пересекаются в двух точках, которые мы назовем $A$ и $B$.

Рассмотрим точку пересечения $A$. Так как точка $A$ лежит на первой окружности, расстояние от нее до центра $O_1$ равно радиусу $R$, то есть $AO_1 = R$. Так как точка $A$ также лежит и на второй окружности, расстояние от нее до центра $O_2$ тоже равно радиусу $R$, то есть $AO_2 = R$. Отсюда следует, что $AO_1 = AO_2$, а значит, точка $A$ равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

Аналогично рассмотрим вторую точку пересечения $B$. Так как она принадлежит обеим окружностям, то расстояния от нее до центров равны радиусу: $BO_1 = R$ и $BO_2 = R$. Следовательно, $BO_1 = BO_2$, и точка $B$ также равноудалена от центров $O_1$ и $O_2$.

Мы знаем, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае от $O_1$ и $O_2$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки (то есть к отрезку $O_1O_2$).

Поскольку обе точки $A$ и $B$ равноудалены от $O_1$ и $O_2$, они обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $O_1O_2$. Прямая, проходящая через две точки ($A$ и $B$), единственна. Следовательно, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей, и есть серединный перпендикуляр к отрезку $O_1O_2$.

По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Таким образом, любая точка $M$, лежащая на прямой, проходящей через $A$ и $B$, будет одинаково удалена от точек $O_1$ и $O_2$. То есть, для любой точки $M$ на этой прямой будет выполняться равенство $MO_1 = MO_2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проходящая через точки пересечения двух равных окружностей, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему их центры. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов этого отрезка (т.е. от центров окружностей).