Номер 98, страница 283 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 98, страница 283.

Условие.

98. Из пункта А в пункт В отправили плот вниз по реке. Одновременно с ним из пункта В в пункт А вышел катер, который прибыл в пункт А через 5 ч. Через сколько часов катер встретил плот, если плот прибыл в пункт В через 20 ч после начала движения?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами A и B (в км).
• $v_k$ – собственная скорость катера, т.е. скорость в стоячей воде (в км/ч).
• $v_p$ – скорость течения реки (в км/ч).

Плот не имеет собственного двигателя, поэтому его скорость равна скорости течения реки ($v_p$). Плот движется из пункта A в пункт B, то есть вниз по реке.

Катер движется из пункта B в пункт A, то есть против течения реки. Его скорость относительно берега равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_k - v_p$.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. Уравнение движения для плота

Плот проплывает расстояние $S$ от A до B за 20 часов. Его скорость равна $v_p$.

$S = v_p \cdot 20$

Из этого уравнения мы можем выразить скорость течения реки через расстояние:

$v_p = \frac{S}{20}$

2. Уравнение движения для катера

Катер проходит расстояние $S$ от B до A (против течения) за 5 часов. Его скорость равна $v_k - v_p$.

$S = (v_k - v_p) \cdot 5$

Отсюда можем выразить скорость катера против течения:

$v_k - v_p = \frac{S}{5}$

3. Нахождение времени встречи

Плот и катер начинают движение одновременно навстречу друг другу. Время до их встречи ($t_{встр}$) можно найти, разделив начальное расстояние между ними ($S$) на их скорость сближения ($v_{сбл}$).

Скорость сближения равна сумме их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу:

$v_{сбл} = (\text{скорость плота}) + (\text{скорость катера против течения})$

$v_{сбл} = v_p + (v_k - v_p) = v_k$

Таким образом, скорость их сближения равна собственной скорости катера.

Теперь найдем время встречи:

$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{S}{v_k}$

Для вычисления времени нам нужно найти $v_k$. Воспользуемся уравнениями из первых двух пунктов. Подставим выражение для $v_p$ из первого пункта в уравнение из второго:

$v_k - \frac{S}{20} = \frac{S}{5}$

Теперь выразим собственную скорость катера $v_k$:

$v_k = \frac{S}{5} + \frac{S}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю (20):

$v_k = \frac{4S}{20} + \frac{S}{20} = \frac{5S}{20} = \frac{S}{4}$

Мы нашли, что собственная скорость катера равна четверти расстояния в час.

Наконец, подставим найденное значение $v_k$ в формулу для времени встречи:

$t_{встр} = \frac{S}{v_k} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = S \cdot \frac{4}{S} = 4$

Следовательно, катер и плот встретятся через 4 часа после начала движения.

Ответ: 4 ч.