Номер 87, страница 282 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 87, страница 282.

Условие.

87. В классе каждый ученик выполнил нормативы по бегу или по метанию мяча. Половина класса сдала норматив по бегу, $\frac{2}{3}$ класса — по метанию мяча. Какая часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием множеств. Пусть весь класс — это универсальное множество, которое мы принимаем за 1.

Пусть $A$ — это множество учеников, которые сдали норматив по бегу. По условию, их доля от всего класса составляет $\frac{1}{2}$.

$|A| = \frac{1}{2}$

Пусть $B$ — это множество учеников, которые сдали норматив по метанию мяча. Их доля от всего класса составляет $\frac{2}{3}$.

$|B| = \frac{2}{3}$

В условии сказано, что каждый ученик выполнил норматив по бегу или по метанию мяча. Это означает, что объединение множеств $A$ и $B$ составляет весь класс, то есть 1.

$|A \cup B| = 1$

Нам нужно найти, какая часть класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча. Это соответствует пересечению множеств $A$ и $B$, то есть $|A \cap B|$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Из этой формулы можно выразить искомую величину — пересечение множеств:

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Подставим известные нам значения в формулу:

$|A \cap B| = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 1$

Для того чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Теперь выполним сложение и вычитание:

$|A \cap B| = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - 1 = \frac{7}{6} - 1$

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 6 ($1 = \frac{6}{6}$):

$|A \cap B| = \frac{7}{6} - \frac{6}{6} = \frac{1}{6}$

Таким образом, $\frac{1}{6}$ класса выполнила нормативы и по бегу, и по метанию мяча.

Ответ: $\frac{1}{6}$