Номер 67, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

67. После каждой стирки кусок мыла уменьшается на 20%. После скольких стирок кусок мыла уменьшится не менее чем на две трети? Найдите наименьшее такое число.

Пусть $M_0$ — начальная масса куска мыла.

После каждой стирки масса мыла уменьшается на 20%, следовательно, от неё остаётся $100\% - 20\% = 80\%$. Это означает, что после каждой стирки масса умножается на коэффициент $0,8$.

Масса мыла после $n$ стирок, $M_n$, может быть выражена формулой геометрической прогрессии: $M_n = M_0 \cdot (0,8)^n$.

Условие задачи гласит, что кусок мыла должен уменьшиться не менее чем на две трети. Это эквивалентно тому, что оставшаяся масса мыла, $M_n$, должна составлять не более чем $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ от начальной массы $M_0$.

Сформулируем это в виде неравенства: $M_n \le \frac{1}{3} M_0$

Подставим в неравенство выражение для $M_n$: $M_0 \cdot (0,8)^n \le \frac{1}{3} M_0$

Поскольку начальная масса $M_0$ — положительная величина, мы можем разделить обе части неравенства на $M_0$, не меняя знака неравенства: $(0,8)^n \le \frac{1}{3}$

Чтобы найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, будем последовательно вычислять степени $0,8$ и сравнивать результат с $\frac{1}{3} \approx 0,333...$:

При $n=1$: $(0,8)^1 = 0,8$. Неравенство $0,8 \le \frac{1}{3}$ не выполняется.

При $n=2$: $(0,8)^2 = 0,64$. Неравенство $0,64 \le \frac{1}{3}$ не выполняется.

При $n=3$: $(0,8)^3 = 0,512$. Неравенство $0,512 \le \frac{1}{3}$ не выполняется.

При $n=4$: $(0,8)^4 = 0,4096$. Неравенство $0,4096 \le \frac{1}{3}$ не выполняется.

При $n=5$: $(0,8)^5 = 0,32768$. Неравенство $0,32768 \le \frac{1}{3}$ выполняется, так как $0,32768 < 0,333...$.

Следовательно, наименьшее количество стирок, при котором кусок мыла уменьшится не менее чем на две трети, равно 5.

Ответ: 5.