Страница 166 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как из кубической параболы $y = x^3$ получить кубическую параболу: $y = 7x^3$; $y = \frac{1}{7}x^3$?

2. Как относительно друг друга расположены кубические параболы $y = 5x^3$ и $y = -5x^3$?

3. Объясните, почему начало координат является центром симметрии кубической параболы вида $y = ax^3$.

4. В каких координатных четвертях расположена кубическая парабола: $y = 7x^3$; $y = -7x^3$?

1. Чтобы получить график функции $y = 7x^3$ из графика функции $y = x^3$, необходимо выполнить преобразование растяжения графика $y = x^3$ от оси абсцисс (оси OX) вдоль оси ординат (оси OY) в 7 раз. Это означает, что для каждой точки графика $y = x^3$ с координатами $(x_0, y_0)$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 7y_0)$.

Чтобы получить график функции $y = \frac{1}{7}x^3$ из графика функции $y = x^3$, необходимо выполнить преобразование сжатия графика $y = x^3$ к оси абсцисс (оси OX) вдоль оси ординат (оси OY) в 7 раз. Это означает, что для каждой точки графика $y = x^3$ с координатами $(x_0, y_0)$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, \frac{1}{7}y_0)$.

Ответ: График $y=7x^3$ получается из графика $y=x^3$ растяжением в 7 раз вдоль оси OY. График $y=\frac{1}{7}x^3$ получается из графика $y=x^3$ сжатием в 7 раз к оси OX.

2. Графики кубических парабол $y = 5x^3$ и $y = -5x^3$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (OX). Это следует из того, что для любого значения $x$ ордината графика $y = -5x^3$ равна по модулю и противоположна по знаку ординате графика $y = 5x^3$. То есть, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = 5x^3$, то точка $(x_0, -y_0)$ принадлежит графику $y = -5x^3$.

Также эти графики симметричны друг другу и относительно оси ординат (OY). Это следует из того, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = 5x^3$, то точка $(-x_0, y_0)$ не принадлежит ему, но точка $(-x_0, -y_0)$ принадлежит. А для функции $y = -5x^3$ точка $(-x_0, y_0)$ будет иметь ординату $y = -5(-x_0)^3 = 5x_0^3 = y_0$. Таким образом, точка $(-x_0, y_0)$ лежит на графике $y = -5x^3$. Это свойство симметрии относительно оси OY.

Ответ: Графики кубических парабол $y = 5x^3$ и $y = -5x^3$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (OX) и относительно оси ординат (OY).

3. Начало координат является центром симметрии для графика функции, если для любой точки $(x, y)$, принадлежащей графику, точка $(-x, -y)$ также принадлежит этому графику. Это свойство характерно для нечетных функций, у которых выполняется условие $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Проверим, является ли функция $y = f(x) = ax^3$ нечетной. Область определения функции — все действительные числа, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:$f(-x) = a(-x)^3 = a(-1 \cdot x)^3 = a((-1)^3 \cdot x^3) = a(-1 \cdot x^3) = -ax^3$.

Сравним полученное выражение с $-f(x)$:$-f(x) = -(ax^3) = -ax^3$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат. Следовательно, начало координат является центром симметрии для кубической параболы вида $y=ax^3$.

Ответ: Начало координат является центром симметрии кубической параболы $y = ax^3$, потому что эта функция является нечетной ($f(-x) = -f(x)$), а графики всех нечетных функций симметричны относительно начала координат.

4. Для определения, в каких координатных четвертях расположен график, необходимо проанализировать знаки переменных $x$ и $y$.

Для кубической параболы $y = 7x^3$:

• Если $x > 0$, то $x^3 > 0$, следовательно $y = 7x^3 > 0$. Положительные значения $x$ и $y$ соответствуют I координатной четверти.

• Если $x < 0$, то $x^3 < 0$, следовательно $y = 7x^3 < 0$. Отрицательные значения $x$ и $y$ соответствуют III координатной четверти.

Для кубической параболы $y = -7x^3$:

• Если $x > 0$, то $x^3 > 0$, следовательно $y = -7x^3 < 0$. Положительное значение $x$ и отрицательное значение $y$ соответствуют IV координатной четверти.

• Если $x < 0$, то $x^3 < 0$, следовательно $y = -7x^3 > 0$. Отрицательное значение $x$ и положительное значение $y$ соответствуют II координатной четверти.

Ответ: Кубическая парабола $y = 7x^3$ расположена в I и III координатных четвертях. Кубическая парабола $y = -7x^3$ расположена во II и IV координатных четвертях.