Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как из параболы $y = x^2$ получить параболу: $y = -7x^2$; $y = \frac{1}{7}x^2$?

2. Как относительно друг друга расположены параболы $y = 25x^2$; $y = -25x^2$?

3. Объясните, почему ось ординат является осью симметрии параболы вида $y = ax^2$.

4. В каких координатных четвертях расположена парабола: $y = 9x^2$; $y = -9x^2$?

1. Чтобы получить параболу $y = -7x^2$ из параболы $y = x^2$, необходимо выполнить два геометрических преобразования. Сначала нужно растянуть график $y = x^2$ вдоль оси ординат (оси Oy) в 7 раз. Это означает, что ордината каждой точки графика умножается на 7. В результате этого преобразования получается парабола $y = 7x^2$. Затем, полученный график нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси Ox). Это преобразование соответствует изменению знака у ординаты каждой точки, что и дает итоговую параболу $y = -7x^2$.
Чтобы получить параболу $y = \frac{1}{7}x^2$ из параболы $y = x^2$, нужно сжать график $y = x^2$ вдоль оси ординат в 7 раз. Это означает, что ордината каждой точки графика умножается на коэффициент $\frac{1}{7}$. Так как коэффициент положителен, отражение относительно оси абсцисс не требуется.
Ответ: Параболу $y = -7x^2$ можно получить из параболы $y = x^2$ путем растяжения вдоль оси ординат в 7 раз и последующего симметричного отражения относительно оси абсцисс. Параболу $y = \frac{1}{7}x^2$ можно получить из параболы $y = x^2$ путем сжатия вдоль оси ординат в 7 раз.

2. Параболы $y = 25x^2$ и $y = -25x^2$ имеют одинаковый по модулю коэффициент при $x^2$ ($|25| = |-25| = 25$), но противоположные знаки. Это означает, что графики этих функций имеют одинаковую "форму", но разную направленность ветвей. У параболы $y = 25x^2$ коэффициент $a=25>0$, поэтому ее ветви направлены вверх. У параболы $y = -25x^2$ коэффициент $a=-25<0$, поэтому ее ветви направлены вниз. Для любого значения $x_0$, ординаты точек на параболах будут противоположны по знаку: $y_1 = 25x_0^2$ и $y_2 = -25x_0^2$. Это свойство означает, что одна парабола является зеркальным отражением другой относительно оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: Параболы $y = 25x^2$ и $y = -25x^2$ расположены симметрично друг другу относительно оси абсцисс.

3. Ось ординат (ось Oy) является осью симметрии графика функции, если эта функция является четной. Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.
Рассмотрим функцию $y = f(x) = ax^2$. Проверим, является ли она четной. Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = a(-x)^2 = a(x^2) = ax^2$.
Поскольку $f(-x) = ax^2$ и $f(x) = ax^2$, мы видим, что $f(-x) = f(x)$. Это доказывает, что функция $y=ax^2$ является четной. График любой четной функции симметричен относительно оси ординат. Геометрически это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на параболе, точка $(-x_0, y_0)$ также лежит на параболе.
Ответ: Функция $y = ax^2$ является четной, так как $a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$. График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат.

4. Расположение параболы в координатных четвертях зависит от знака коэффициента $a$ в уравнении $y = ax^2$.
Для параболы $y = 9x^2$:
Коэффициент $a = 9$ является положительным ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то и $y = 9x^2$ всегда будет неотрицательным ($y \ge 0$). Таким образом, график расположен выше оси абсцисс. Когда $x>0$, $y>0$ (I четверть), и когда $x<0$, $y>0$ (II четверть).
Для параболы $y = -9x^2$:
Коэффициент $a = -9$ является отрицательным ($a < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина также находится в точке $(0, 0)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $y = -9x^2$ всегда будет неположительным ($y \le 0$). Таким образом, график расположен ниже оси абсцисс. Когда $x>0$, $y<0$ (IV четверть), и когда $x<0$, $y<0$ (III четверть).
Ответ: Парабола $y = 9x^2$ расположена в I и II координатных четвертях. Парабола $y = -9x^2$ расположена в III и IV координатных четвертях.

25.1. Принадлежит ли графику функции $y = 3x^2$ точка:

1) A(1; 3);

2) B(0,5; 0,75);

3) C(-2; 8);

4) M(-4; 48);

5) P(-1; 3,5);

6) K($\pi$; $3\pi^2$)?

1) A(1; 3); Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции $y = 3x^2$, необходимо подставить координаты точки в уравнение. Для точки A(1; 3) имеем $x = 1$ и $y = 3$. Подставим значение $x$ в формулу функции: $y = 3 \cdot (1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$. Так как вычисленное значение $y$ (равное 3) совпадает с ординатой точки A, то точка принадлежит графику функции. Ответ: да, принадлежит.

2) B(0,5; 0,75); Для точки B(0,5; 0,75) имеем $x = 0,5$ и $y = 0,75$. Подставим значение $x$ в формулу функции: $y = 3 \cdot (0,5)^2 = 3 \cdot 0,25 = 0,75$. Вычисленное значение $y$ (равное 0,75) совпадает с ординатой точки B. Следовательно, точка принадлежит графику функции. Ответ: да, принадлежит.

3) C(-2; 8); Для точки C(-2; 8) имеем $x = -2$ и $y = 8$. Подставим значение $x$ в формулу функции: $y = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$. Вычисленное значение $y$ (равное 12) не совпадает с ординатой точки C (равной 8), так как $12 \neq 8$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции. Ответ: нет, не принадлежит.

4) M(-4; 48); Для точки M(-4; 48) имеем $x = -4$ и $y = 48$. Подставим значение $x$ в формулу функции: $y = 3 \cdot (-4)^2 = 3 \cdot 16 = 48$. Вычисленное значение $y$ (равное 48) совпадает с ординатой точки M. Следовательно, точка принадлежит графику функции. Ответ: да, принадлежит.

5) P(-1; 3,5); Для точки P(-1; 3,5) имеем $x = -1$ и $y = 3,5$. Подставим значение $x$ в формулу функции: $y = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$. Вычисленное значение $y$ (равное 3) не совпадает с ординатой точки P (равной 3,5), так как $3 \neq 3,5$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции. Ответ: нет, не принадлежит.

6) K(π; 3π²) ? Для точки K($\pi$; $3\pi^2$) имеем $x = \pi$ и $y = 3\pi^2$. Подставим значение $x$ в формулу функции: $y = 3 \cdot (\pi)^2 = 3\pi^2$. Вычисленное значение $y$ (равное $3\pi^2$) совпадает с ординатой точки K. Следовательно, точка принадлежит графику функции. Ответ: да, принадлежит.

25.2. Постройте график функции $y = -3x^2$. По графику найдите и запишите промежутки возрастания и убывания функции.

Построение графика функции $y = -3x^2$

Графиком функции $y = -3x^2$ является парабола. Это частный случай квадратичной функции $y=ax^2$ с коэффициентом $a=-3$.

Основные свойства графика:

1. Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.

3. Ось симметрии параболы — это ось OY (прямая $x=0$), поскольку функция является четной ($y(-x) = -3(-x)^2 = -3x^2 = y(x)$).

Для построения графика составим таблицу значений функции для нескольких точек, симметричных относительно оси OY:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Получим график функции:

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Проанализируем построенный график. Промежутки возрастания и убывания определяются по поведению функции при движении по графику слева направо (в направлении возрастания $x$).

Функция возрастает, если большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. На графике это выглядит как движение "вверх". Мы видим, что график идет вверх на интервале от $-\infty$ до $0$. Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Функция убывает, если большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. На графике это выглядит как движение "вниз". Мы видим, что после прохождения вершины в точке $(0; 0)$ график идет вниз. Таким образом, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.