Страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.1. Принадлежит ли графику функции $y = x^3$ точка:

1) A(2; 16);

2) B(-1; -1);

3) C(3; 54);

4) D(-2; -8);

5) M(-0,2; -0,008);

6) R(-3; 27);

7) P(0,3; 1,27);

8) X(-5; -125)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = x^3$, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если при подстановке $x = x_0$ значение функции $y$ окажется равным $y_0$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) A(2; 16)
Подставим абсциссу точки $x=2$ в уравнение функции: $y = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Полученное значение $y=8$ не равно ординате точки $16$. Так как $8 \neq 16$, точка не принадлежит графику.
Ответ: не принадлежит.

2) B(–1; –1)
Подставим абсциссу точки $x=-1$ в уравнение функции: $y = (-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$.
Полученное значение $y=-1$ равно ординате точки $-1$. Так как $-1 = -1$, точка принадлежит графику.
Ответ: принадлежит.

3) C(3; 54)
Подставим абсциссу точки $x=3$ в уравнение функции: $y = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Полученное значение $y=27$ не равно ординате точки $54$. Так как $27 \neq 54$, точка не принадлежит графику.
Ответ: не принадлежит.

4) D(–2; –8)
Подставим абсциссу точки $x=-2$ в уравнение функции: $y = (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Полученное значение $y=-8$ равно ординате точки $-8$. Так как $-8 = -8$, точка принадлежит графику.
Ответ: принадлежит.

5) M(–0,2; –0,008)
Подставим абсциссу точки $x=-0,2$ в уравнение функции: $y = (-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = -0,008$.
Полученное значение $y=-0,008$ равно ординате точки $-0,008$. Так как $-0,008 = -0,008$, точка принадлежит графику.
Ответ: принадлежит.

6) R(–3; 27)
Подставим абсциссу точки $x=-3$ в уравнение функции: $y = (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.
Полученное значение $y=-27$ не равно ординате точки $27$. Так как $-27 \neq 27$, точка не принадлежит графику.
Ответ: не принадлежит.

7) P(0,3; 1,27)
Подставим абсциссу точки $x=0,3$ в уравнение функции: $y = (0,3)^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027$.
Полученное значение $y=0,027$ не равно ординате точки $1,27$. Так как $0,027 \neq 1,27$, точка не принадлежит графику.
Ответ: не принадлежит.

8) X(–5; –125)
Подставим абсциссу точки $x=-5$ в уравнение функции: $y = (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$.
Полученное значение $y=-125$ равно ординате точки $-125$. Так как $-125 = -125$, точка принадлежит графику.
Ответ: принадлежит.

26.2. Постройте график функции $y = 0,5x^3$. По графику найдите:

1) значения $y$, соответствующие $x = -1,25; -0,75; 2,5; 4;$
2) значения $x$, которым соответствует $y = -3; -1; 4; 4,8.$

Для построения графика функции $y = 0,5x^3$ составим таблицу значений для нескольких точек. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Вычислим значения $y$ для некоторых $x$:

При $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0^3 = 0$.
При $x = 1$, $y = 0,5 \cdot 1^3 = 0,5$.
При $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2^3 = 0,5 \cdot 8 = 4$.
При $x = -1$, $y = 0,5 \cdot (-1)^3 = -0,5$.
При $x = -2$, $y = 0,5 \cdot (-2)^3 = 0,5 \cdot (-8) = -4$.
При $x = 2,5$, $y = 0,5 \cdot (2,5)^3 = 0,5 \cdot 15,625 \approx 7,8$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, чтобы построить график (кубическую параболу).

Теперь найдем требуемые значения по графику. Следует помнить, что значения, найденные по графику, являются приблизительными.

1) значения y, соответствующие $x = -1,25; -0,75; 2,5; 4$

Находим на оси абсцисс ($x$) заданное значение, проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси ординат ($y$) и считываем значение.
При $x = -1,25$ (середина между -1 и -1,5), опускаемся до графика и движемся к оси $y$. Получаем $y \approx -1$.
При $x = -0,75$ (середина между -0,5 и -1), опускаемся до графика и движемся к оси $y$. Получаем $y \approx -0,2$.
При $x = 2,5$, поднимаемся до графика и движемся к оси $y$. Получаем $y \approx 7,8$.
При $x = 4$ значение функции $y = 0,5 \cdot 4^3 = 32$ выходит далеко за пределы построенного графика, поэтому его можно найти только вычислением.

Ответ: при $x = -1,25$, $y \approx -1$; при $x = -0,75$, $y \approx -0,2$; при $x = 2,5$, $y \approx 7,8$; при $x = 4$, $y = 32$.

2) значения x, которым соответствует $y = -3; -1; 4; 4,8$

Находим на оси ординат ($y$) заданное значение, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения проводим вертикальную линию до оси абсцисс ($x$) и считываем значение.
При $y = -3$, движемся от оси $y$ к графику и поднимаемся к оси $x$. Получаем $x \approx -1,8$.
При $y = -1$, движемся к графику и поднимаемся к оси $x$. Получаем $x \approx -1,25$.
При $y = 4$, движемся к графику и опускаемся на ось $x$. Получаем точное значение $x = 2$.
При $y = 4,8$, движемся к графику и опускаемся на ось $x$. Получаем $x \approx 2,1$.

Ответ: при $y = -3$, $x \approx -1,8$; при $y = -1$, $x \approx -1,25$; при $y = 4$, $x = 2$; при $y = 4,8$, $x \approx 2,1$.

26.3. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^3$, $y = 5x^3$, $y = \frac{1}{4}x^3$, $y = 4x^3$;

2) $y = -5x^3$, $y = -\frac{1}{4}x^3$, $y = -4x^3$, $y = -\frac{1}{2}x^3$.

1)

Все функции в этом пункте имеют вид $y = kx^3$, где коэффициент $k > 0$. График такой функции называется кубической параболой.

Основные свойства для $k > 0$:

• График проходит через начало координат $(0,0)$.
• Функция является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
• Функция возрастает на всей области определения.
• График расположен в I и III координатных четвертях.

Коэффициент $k$ влияет на "крутизну" графика. Чем больше значение $k$, тем сильнее график растянут по вертикали (вдоль оси OY) и выглядит "круче". Если $0 < k < 1$, график сжат по вертикали и выглядит более "пологим".

Сравним коэффициенты заданных функций: $y=x^3$ ($k=1$), $y=5x^3$ ($k=5$), $y=\frac{1}{4}x^3$ ($k=0.25$), $y=4x^3$ ($k=4$).

В порядке возрастания "крутизны" графики располагаются следующим образом: $y=\frac{1}{4}x^3$ (самый пологий), $y=x^3$, $y=4x^3$, $y=5x^3$ (самый крутой).

Ответ:

2)

Все функции в этом пункте имеют вид $y = kx^3$, где коэффициент $k < 0$.

Основные свойства для $k < 0$:

• График проходит через начало координат $(0,0)$.
• Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
• Функция убывает на всей области определения.
• График расположен во II и IV координатных четвертях.
• Графики этих функций являются зеркальным отражением относительно оси OX графиков функций $y = |k|x^3$.

Абсолютное значение коэффициента $|k|$ влияет на "крутизну" графика. Чем больше $|k|$, тем круче график (сильнее растянут по вертикали).

Сравним модули коэффициентов заданных функций: $y=-5x^3$ ($|k|=5$), $y=-\frac{1}{4}x^3$ ($|k|=0.25$), $y=-4x^3$ ($|k|=4$), $y=-\frac{1}{2}x^3$ ($|k|=0.5$).

В порядке убывания "крутизны" (от самого крутого к самому пологому) графики располагаются так: $y=-5x^3$, $y=-4x^3$, $y=-\frac{1}{2}x^3$, $y=-\frac{1}{4}x^3$.

Ответ:

26.4. С помощью графика функции $y = x^3$ сравните числа:

1) $(-3)^3$ и $(-2)^3$;

2) $(-1.2)^3$ и $0.2^3$;

3) $4.4^3$ и $5.02^3$;

4) $0$ и $(-2)^3$.

Для решения задачи воспользуемся свойством функции $y = x^3$. Эта функция является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $y(x_1) < y(x_2)$, то есть $x_1^3 < x_2^3$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

На графике функции это свойство проявляется в том, что при движении по оси $x$ слева направо (от меньших значений к большим), график функции постоянно идет вверх. Ниже представлен график функции $y=x^3$.

1) $(-3)^3$ и $(-2)^3$
Сравниваемые числа являются значениями функции $y=x^3$ в точках $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Сравним аргументы: $-3 < -2$. Поскольку функция $y=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $y(-3) < y(-2)$, то есть $(-3)^3 < (-2)^3$.
Ответ: $(-3)^3 < (-2)^3$.

2) $(-1,2)^3$ и $0,2^3$
Сравниваем значения функции $y=x^3$ в точках $x_1 = -1,2$ и $x_2 = 0,2$. Сравним аргументы: $-1,2 < 0,2$. Так как функция $y=x^3$ возрастающая, то $(-1,2)^3 < 0,2^3$.
Также можно отметить, что $-1,2 < 0$, поэтому $(-1,2)^3 < 0$. А $0,2 > 0$, поэтому $0,2^3 > 0$. Любое отрицательное число меньше любого положительного, следовательно $(-1,2)^3 < 0,2^3$.
Ответ: $(-1,2)^3 < 0,2^3$.

3) $4,4^3$ и $5,02^3$
Сравниваем значения функции $y=x^3$ в точках $x_1 = 4,4$ и $x_2 = 5,02$. Сравним аргументы: $4,4 < 5,02$. Так как функция $y=x^3$ возрастающая, то $4,4^3 < 5,02^3$.
Ответ: $4,4^3 < 5,02^3$.

4) $0$ и $(-2)^3$
Представим число $0$ как значение функции $y=x^3$ в точке $x=0$, то есть $0 = 0^3$. Тогда нужно сравнить $0^3$ и $(-2)^3$. Сравниваем аргументы: $-2 < 0$. Поскольку функция $y=x^3$ возрастающая, то $(-2)^3 < 0^3$, то есть $(-2)^3 < 0$.
Ответ: $(-2)^3 < 0$.

26.5. Имеет ли корни уравнение:

1) $x^3 = 2x + 1$;

2) $2x^3 = -3x$;

3) $0,4x + 2 = x^3$;

4) $-1,2x - 1 = x^3$?

Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение корни, можно использовать графический или аналитический метод.
Аналитический метод: Каждое из предложенных уравнений можно привести к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен третьей степени ($ax^3+bx^2+cx+d=0$). Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Это связано с тем, что на бесконечности функция уходит в $+\infty$ и $-\infty$ (или наоборот), а поскольку функция непрерывна, она обязана пересечь ось абсцисс хотя бы один раз. Следовательно, все представленные уравнения имеют корни.
Графический метод: Корни уравнения $f(x) = g(x)$ являются абсциссами точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Во всех случаях мы будем рассматривать пересечение кубической параболы и прямой.

1) $x^3 = 2x + 1$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = 2x + 1$ (прямая).

График кубической параболы $y=x^3$ (синий) и график прямой $y=2x+1$ (красный) пересекаются. Видно, что есть три точки пересечения, а значит, три корня. Например, можно проверить, что $x=-1$ является корнем: $(-1)^3 = -1$ и $2(-1) + 1 = -1$. Так как корень существует, уравнение имеет решение.
Ответ: да, имеет.

2) $2x^3 = -3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $2x^3 + 3x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x^2 + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x = 0$.
2) $2x^2 + 3 = 0 \implies 2x^2 = -3 \implies x^2 = -1.5$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x=0$.
Графически это пересечение параболы $y=2x^3$ и прямой $y=-3x$ в начале координат.

Ответ: да, имеет.

3) $0.4x + 2 = x^3$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = 0.4x + 2$.

Прямая $y = 0.4x + 2$ (красный) пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$, а кубическая парабола $y=x^3$ (синий) — в точке $(0, 0)$. Поскольку одна функция уходит в $+\infty$, а другая в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$, графики обязательно пересекутся.
Например, при $x=1$, $y_{параболы}=1^3=1$, а $y_{прямой}=0.4(1)+2=2.4$. При $x=2$, $y_{параболы}=2^3=8$, а $y_{прямой}=0.4(2)+2=2.8$. На интервале $(1, 2)$ значения функций поменялись местами относительно друг друга, что доказывает наличие корня на этом интервале.
Ответ: да, имеет.

4) $-1.2x - 1 = x^3$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = -1.2x - 1$.

График $y=x^3$ (синий) и прямая $y = -1.2x - 1$ (красный) пересекаются. При $x=0$, $y_{параболы}=0$, а $y_{прямой}=-1$. При $x=-1$, $y_{параболы}=-1$, а $y_{прямой}=-1.2(-1)-1=0.2$. На интервале $(-1, 0)$ непрерывные функции меняют свое относительное положение, что гарантирует существование точки пересечения, а значит и корня уравнения.
Ответ: да, имеет.

26.6. Решите уравнение:

1) $x^3 = -8;$

2) $x^3 = 125;$

3) $2x^3 = -54;$

4) $-0.5x^3 = -4.$

1) Дано уравнение $x^3 = -8$.
Для нахождения $x$ необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения.
$x = \sqrt[3]{-8}$
Так как $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$, то корень уравнения равен -2.
$x = -2$
Ответ: -2.

2) Дано уравнение $x^3 = 125$.
Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения.
$x = \sqrt[3]{125}$
Поскольку $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, то решением является $x = 5$.
$x = 5$
Ответ: 5.

3) Дано уравнение $2x^3 = -54$.
Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить $x^3$.
$\frac{2x^3}{2} = \frac{-54}{2}$
$x^3 = -27$
Теперь извлечем кубический корень из обеих частей.
$x = \sqrt[3]{-27}$
Так как $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$, то $x$ равен -3.
$x = -3$
Ответ: -3.

4) Дано уравнение $-0,5x^3 = -4$.
Разделим обе части уравнения на коэффициент -0,5.
$x^3 = \frac{-4}{-0,5}$
Деление на -0,5 эквивалентно умножению на -2.
$x^3 = 8$
Теперь извлечем кубический корень из обеих частей уравнения.
$x = \sqrt[3]{8}$
Поскольку $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, то решением является $x=2$.
$x = 2$
Ответ: 2.

26.7. Пересекаются ли графики функций $y = -0,4x^3$ и $y = -0,3x + 5$?

Чтобы определить, пересекаются ли графики функций, необходимо выяснить, существуют ли такие значения $x$, при которых значения $y$ для обеих функций совпадают. Для этого приравняем правые части уравнений данных функций:

$y = -0,4x^3$

$y = -0,3x + 5$

Приравниваем выражения:

$-0,4x^3 = -0,3x + 5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$:

$-0,4x^3 + 0,3x - 5 = 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы определить, имеет ли это кубическое уравнение хотя бы один действительный корень. Рассмотрим функцию $f(x) = -0,4x^3 + 0,3x - 5$.

Эта функция является многочленом, а значит, она непрерывна на всей числовой оси.

Найдем пределы этой функции при $x$, стремящемся к $+\infty$ и $-\infty$. Поведение функции на бесконечности определяется ее старшим членом $-0,4x^3$.

1. При $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (-0,4x^3 + 0,3x - 5) = \lim_{x \to +\infty} (-0,4x^3) = -\infty$

Это означает, что при достаточно больших положительных значениях $x$ функция $f(x)$ принимает отрицательные значения.

2. При $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (-0,4x^3 + 0,3x - 5) = \lim_{x \to -\infty} (-0,4x^3) = +\infty$

Это означает, что при достаточно больших по модулю отрицательных значениях $x$ функция $f(x)$ принимает положительные значения.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то согласно теореме о промежуточном значении, должен существовать по крайней мере один корень, то есть такое значение $x_0$, при котором $f(x_0) = 0$.

Наличие хотя бы одного действительного корня у уравнения $-0,4x^3 + 0,3x - 5 = 0$ означает, что существует точка (или точки) с абсциссой $x_0$, в которой ординаты графиков исходных функций совпадают. Следовательно, графики функций пересекаются.

Ответ: да, графики функций пересекаются.

26.8. Найдите графическим способом приближенные значения корней уравнения:

1) $-0.3x^3 = -4$;

2) $-0.3x^3 = 5$;

3) $-0.3x^3 = 1.4$.

Для решения уравнений графическим способом необходимо построить в одной системе координат график функции $y = -0,3x^3$ и графики прямых, соответствующих правым частям уравнений. Корнями уравнений будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

Построим график функции $y = -0,3x^3$. Это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Составим таблицу значений для построения графика:

при $x = -3$, $y = -0,3 \cdot (-3)^3 = -0,3 \cdot (-27) = 8,1$;
при $x = -2$, $y = -0,3 \cdot (-2)^3 = -0,3 \cdot (-8) = 2,4$;
при $x = -1$, $y = -0,3 \cdot (-1)^3 = -0,3 \cdot (-1) = 0,3$;
при $x = 0$, $y = -0,3 \cdot 0^3 = 0$;
при $x = 1$, $y = -0,3 \cdot 1^3 = -0,3$;
при $x = 2$, $y = -0,3 \cdot 2^3 = -0,3 \cdot 8 = -2,4$;
при $x = 3$, $y = -0,3 \cdot 3^3 = -0,3 \cdot 27 = -8,1$.

Теперь построим график функции $y = -0,3x^3$ (синяя кривая) и прямые $y = -4$ (красная линия), $y = 5$ (зеленая линия) и $y = 1,4$ (оранжевая линия) в одной системе координат.

1) $-0,3x^3 = -4$

Найдем точку пересечения графика функции $y = -0,3x^3$ и прямой $y = -4$. Из графика видно, что абсцисса точки их пересечения приблизительно равна 2,4.

Ответ: $x \approx 2,4$.

2) $-0,3x^3 = 5$

Найдем точку пересечения графика функции $y = -0,3x^3$ и прямой $y = 5$. Из графика видно, что абсцисса точки их пересечения приблизительно равна -2,6.

Ответ: $x \approx -2,6$.

3) $-0,3x^3 = 1,4$

Найдем точку пересечения графика функции $y = -0,3x^3$ и прямой $y = 1,4$. Из графика видно, что абсцисса точки их пересечения приблизительно равна -1,7.

Ответ: $x \approx -1,7$.