Номер 26.5, страница 167 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.5. Имеет ли корни уравнение:

1) $x^3 = 2x + 1$;

2) $2x^3 = -3x$;

3) $0,4x + 2 = x^3$;

4) $-1,2x - 1 = x^3$?

Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение корни, можно использовать графический или аналитический метод.
Аналитический метод: Каждое из предложенных уравнений можно привести к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен третьей степени ($ax^3+bx^2+cx+d=0$). Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Это связано с тем, что на бесконечности функция уходит в $+\infty$ и $-\infty$ (или наоборот), а поскольку функция непрерывна, она обязана пересечь ось абсцисс хотя бы один раз. Следовательно, все представленные уравнения имеют корни.
Графический метод: Корни уравнения $f(x) = g(x)$ являются абсциссами точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Во всех случаях мы будем рассматривать пересечение кубической параболы и прямой.

1) $x^3 = 2x + 1$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = 2x + 1$ (прямая).

График кубической параболы $y=x^3$ (синий) и график прямой $y=2x+1$ (красный) пересекаются. Видно, что есть три точки пересечения, а значит, три корня. Например, можно проверить, что $x=-1$ является корнем: $(-1)^3 = -1$ и $2(-1) + 1 = -1$. Так как корень существует, уравнение имеет решение.
Ответ: да, имеет.

2) $2x^3 = -3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $2x^3 + 3x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x^2 + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x = 0$.
2) $2x^2 + 3 = 0 \implies 2x^2 = -3 \implies x^2 = -1.5$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x=0$.
Графически это пересечение параболы $y=2x^3$ и прямой $y=-3x$ в начале координат.

Ответ: да, имеет.

3) $0.4x + 2 = x^3$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = 0.4x + 2$.

Прямая $y = 0.4x + 2$ (красный) пересекает ось $y$ в точке $(0, 2)$, а кубическая парабола $y=x^3$ (синий) — в точке $(0, 0)$. Поскольку одна функция уходит в $+\infty$, а другая в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$, графики обязательно пересекутся.
Например, при $x=1$, $y_{параболы}=1^3=1$, а $y_{прямой}=0.4(1)+2=2.4$. При $x=2$, $y_{параболы}=2^3=8$, а $y_{прямой}=0.4(2)+2=2.8$. На интервале $(1, 2)$ значения функций поменялись местами относительно друг друга, что доказывает наличие корня на этом интервале.
Ответ: да, имеет.

4) $-1.2x - 1 = x^3$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = -1.2x - 1$.

График $y=x^3$ (синий) и прямая $y = -1.2x - 1$ (красный) пересекаются. При $x=0$, $y_{параболы}=0$, а $y_{прямой}=-1$. При $x=-1$, $y_{параболы}=-1$, а $y_{прямой}=-1.2(-1)-1=0.2$. На интервале $(-1, 0)$ непрерывные функции меняют свое относительное положение, что гарантирует существование точки пересечения, а значит и корня уравнения.
Ответ: да, имеет.