Номер 26.10, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 2x^3$ на промежутке:

1) $ [-2; 5] $;

2) $ [-1; -0,5] $;

3) $ [-3; 3,5] $.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y=2x^3$ на заданных промежутках исследуем ее поведение. Найдем производную функции: $y' = (2x^3)' = 6x^2$. Поскольку производная $y' = 6x^2$ неотрицательна при любых значениях $x$ (равна нулю только в точке $x=0$), функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что на любом замкнутом промежутке $[a, b]$ наименьшее значение функция будет принимать в его левой конечной точке $x=a$, а наибольшее — в правой конечной точке $x=b$. Таким образом, для решения задачи достаточно вычислить значения функции на концах каждого из заданных промежутков.

1) На промежутке $[-2; 5]$:

Наименьшее значение функция принимает в точке $x = -2$. Вычислим его:

$y(-2) = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16$.

Наибольшее значение функция принимает в точке $x = 5$. Вычислим его:

$y(5) = 2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 125 = 250$.

Ответ: наименьшее значение функции -16, наибольшее значение 250.

2) На промежутке $[-1; -0,5]$:

Наименьшее значение функция принимает в точке $x = -1$. Вычислим его:

$y(-1) = 2 \cdot (-1)^3 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Наибольшее значение функция принимает в точке $x = -0,5$. Вычислим его:

$y(-0,5) = 2 \cdot (-0,5)^3 = 2 \cdot (-0,125) = -0,25$.

Ответ: наименьшее значение функции -2, наибольшее значение -0,25.

3) На промежутке $[-3; 3,5]$:

Наименьшее значение функция принимает в точке $x = -3$. Вычислим его:

$y(-3) = 2 \cdot (-3)^3 = 2 \cdot (-27) = -54$.

Наибольшее значение функция принимает в точке $x = 3,5$. Вычислим его:

$y(3,5) = 2 \cdot (3,5)^3 = 2 \cdot 42,875 = 85,75$.

Ответ: наименьшее значение функции -54, наибольшее значение 85,75.